2. ANALIZA OBIEKTU DANEGO MODELEM STANOWYM

Zadany obiekt do analizy ma postać:

2.1 ANALIZA OBIEKTU

Zadany obiekt jest typu SIMO, posiada 1 wejście i 3 wyjścia, w związku z czym analizujemy układ dla każdego wyjścia z osobna, co prowadzi do rozbicia macierzy na 3 wiersze i analizy takiej postaci obiektu. Jednakże należy zauważyć, że w naszym przypadku transmitancje dla różnych wejść różnią się niewiele jedynie położeniem zer układu otwartego, co nie wpływa na wyniki analizowanych przez nas wielkości, dlatego analizę przeprowadziliśmy tylko dla Wy-1.

ANALIZA DLA WY-1:

Aby dokonać analizy wstępnej obiektu, korzystając z programu CC sprowadziliśmy powyższy model stanowy do postaci CCF (kanonicznej formy sterowalnej) i na jej podstawie określiliśmy transmitancję obiektu, która przedstawia się następująco:

Aby dokonać analizy wstępnej obiektu, korzystając z programu CC wyznaczyliśmy bieguny odpowiadające modelowi P:

Zatem ponieważ występują bieguny, które leżą w otwartej prawej półpłaszczyźnie, stwierdzamy, że układ jest niestabilny. Zamykając układ jednostkową pętlą ujemnego sprzężenia zwrotnego od wyjścia uzyskujemy transmitację układu zamkniętego:

Wykonując po raz kolejny test Routha uzyskujemy bieguny:

Zamknięty układ (wciąż niestabilny) odpowiada na skok jednostkowy w następujący sposób:

Jak widać zastosowanie ujemnego sprzężenia zwrotnego od wyjścia nie ustabilizuje obiektu. Zatem nie ma sensu określanie wskaźników odpowiedzi tego układu. Możemy jednak określić na podstawie zadanego modelu stanowego obiektu , czy układ jest sterowalny i/lub obserwowalny, gdzie obserwowalność i sterowalność obiektu jest warunkiem koniecznym do wyznaczenia wektora sprzężeń od stanu i wektora wzmocnień obserwatora.

Test Sterowalności:

Sterowalność obiektu wyznacza się określając wyznacznik z macierzy skonstruowanej na podstawie macierzy A oraz B:

Zatem obiekt jest sterowalny.

Test Obserwowalności:

Obserwowalność obiektu wyznaczymy na podstawie macierzy V wyznaczonej w oparciu o macierze A i C:

Obiekt jest także obserwowalny.

2.2 SYNTEZA STEROWANIA ZE SPRZĘŻENIEM OD STANU

Ponieważ objęcie obiektu ujemnym, jednostkowym sprzężeniem zwrotnym nie ustabilizowało obiektu,

zamiast tego zastosujemy odpowiednie sprzężenia od stanów przesuwając bieguny obiektu leżące w otwartej prawej półpłaszczyźnie na „lustrzane” pozycje w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s.

Opierając się na równaniu charakterystycznym obiektu z niewiadomymi współczynnikami wektora k, związanego z wejściem w następujący sposób:

uzyskuje się równanie charakterystyczne o postaci:

oczekiwane równanie charakterystyczne jest następujące:

Jesteśmy wstanie wyznaczyć wektor sprzężeń stanów K :

a) na podstawie przyrównania współczynników przy odpowiednich potęgach:

b) natomiast obliczenia w programie CC dały w rezultacie wektor K o współczynnikach:

Obiekt z uwzględnieniem sprzężenia od stanów jest stabilny i ma postać:

Oto odpowiedź badanego układu (otwartego) po uwzględnieniu sprzężenia od stanów:

Natomiast poniżej przedstawiona jest odpowiedź układu jak powyżej ale z zamkniętą pętlą sprzężenia od wyjścia:

2.3 SYNTEZA OBSERWATORA PEŁNEGO RZĘDU

Ponieważ analizowany obiekt jest obserwowalny, co wykazaliśmy w punkcie 2.1, więc istnieje możliwość zaprojektowania obserwatora stanu. Uchyb estymacji stanu będzie dążył asymptotycznie do zera, wtedy i tylko wtedy, gdy wartości własne macierzy [A - LC^T] będą leżały w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s. Projekt obserwatora stanu sprowadza się zatem do wyznaczenia wektora L. Należy przy tym pamiętać, że obserwator powinien być szybszy od obiektu, czyli jego bieguny powinny znajdować się w większej odległości od początku układu współrzędnych w głąb lewej półpłaszczyzny, niż bieguny obiektu.

Zakładamy, że żądanymi biegunami obserwatora są punkty: (-1,-1,-1,-2,-5)

Zatem dla takich biegunów obserwatora, wektor wzmocnień tego obserwatora, wyznaczony przy pomocy programu CC poleceniem POLE PLACEMENT, przedstawia się następująco:

Takie wartości wzmocnienia obserwatora zapewniają położenie wartości własnych macierzy [A - LC^T] w lewej półpłaszczyźnie.

2.4 SYNTEZA STEROWANIA ZE SPRZĘŻENIEM OD ESTYMATY STANU

Sprzężenie od estymaty stanu polega na zaprojektowaniu takiego wektora sprzężeń który będzie sprzęgał stany estymowane przez obserwator (takie postępowanie jest uzasadnione wtedy, gdy nie wszystkie stany obiektu są dostępne). I tak:

Model sterowanego obiektu:

Model obserwatora:

Błąd estymacji stanu:

Model zamkniętego układu:

Jeżeli przyjmie się, że układ jest sterowany sygnałem:

(sprzężenie jest od estymaty stanu, a nie bezpośrednio od stanu obiektu), to po odpowiednich obliczeniach w programie CC, uzyskuje się następujący wektor wzmocnień sprzężeń od estymat stanów:

2.5 SYNTEZA STEROWANIA OPTYMALNEGO ZE WZGLĘDU NA

KWADRATOWE WSKAŹNIKI JAKOŚCI

Synteza ta opiera się na znalezieniu optymalnego sterowania u^*(t), przy czym:

przy czym macierz P jest dodatnio półokreślona i ma następujące własności:

I macierz tą wyznaczamy rozwiązując równanie Riccatiego:

gdzie:

Q - macierz jednostkowa;

R - jest skalarem: R=1;

Opierając się na obliczeniach w programie CC, po przyjęciu kilku wartości
uzyskaliśmy następujące wartości wektora statycznego, liniowego sprzężenia od stanu:

	F
1	-128.4769	-149.6760	-31.5360	222.6808	620.8788
50	-125.2268	-144.1257	-26.5215	224.0201	616.3842
500	-125.1636	-144.0179	-26.4241	224.0461	616.2969
1000	-125.1601	-144.0119	-26.4187	224.0475	616.2921
-500	-125.1496	-143.9940	-26.4025	224.0518	616.2775
-1000	-125.1531	-144.0000	-26.4079	224.0504	616.2823

Czyli w ten sposób osiąga się zmodyfikowane równania stanowe obiektu, o postacie:

Gdzie przy określonym wektorze F układ osiąga maksymalną jakość sterowania ze względu na kwadratowe wskaźniki sterowania.

* * *

LABORATORIUM STEROWANIA ANALOGOWEGO

7

---