Barnik Grzegorz AiR

Paweł Majewski

Synteza regulatora od stanu dla zadanej pary
,
,
,

Ogólny zarys rozwiązania postawionego problemu.

Dany jest układ opisany modelem stanowym o poniższej postaci:

Naszym zadaniem jest przesunięcie biegunów zadanego układu przy wykorzystaniu statycznego sprzężenia od wyjścia. Aby tego dokonać musimy zacząć od wyznaczenia macierzy sprzężenia zwrotnego od stanu
i macierzy nieosobliwej
spełniających równanie:

Współczynniki
są znane.

Ponieważ zastosowanie sprzężenia zwrotnego pozwala przesunąć tylko bieguny części sterowalnej, do wyznaczenia macierzy K i G wykorzystamy twierdzenie mówiące o tym, że wspomniane macierze K i G spełniają podane wcześniej równanie wtedy i tylko wtedy gdy para (A,B) jest sterowalna.

Procedura wyznaczania macierzy K i G.

Zaczynamy od wyznaczenia macierzy nieosobliwej Q:

gdzie
,

gdzie
jest
-tym wierszem macierzy odwrotnej macierzy
, która ma postać:

przy czym współczynniki
są to indeksy sterowalności pary (A,B), których suma wynosi n. Współczynniki te wyznaczamy wybierając n niezależnych wektorów z poniższego ciągu:

Ponieważ rząd macierzy B wynosi n, zaczynamy od wszystkich współczynników
. Następnie sprawdzamy niezależność liniową kolejnych wektorów z podanego wyżej ciągu ze wszystkimi poprzednimi wektorami ciągu. Jeśli dany wektor okaże się być niezależny to zwiększamy indeks d o numerze równym numerowi czynnika B badanego wektora.

Kolejnym krokiem jest wyznaczenie macierzy:

oraz

które posłużą do wyznaczenia macierzy
i
:

oraz
gdzie:

B_i oraz A_i to odpowiednio i-ty niezerowy wiersz macierzy
oraz
, e_i jest z kolei i-tym wierszem macierzy jednostkowej stopnia n oraz
jest wektorem współczynników żądanego wielomianu.

W ten sposób możemy wyznaczyć macierz sprzężenia zwrotnego od stanu K jako: