Macierze i wyznaczniki Definicja macierzy

Macierzą wymiaru m×n nazywamy wartość odwzorowania, którego dziedziną jest iloczyn kartezjański {1,2,...,m}×{1,2,...,n} a wartości są z pewnego zbioru (ciała) K : {1,2,...,m}×{1,2,...,n}→a
∈K

Def.Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A
nazywamy wartość odwzorowania det:
zbioru macierzy stopnia n, które spełnia warunki : 1.jednorodność
∀λ∈K

det(a
,...,λa
,...,a
)=λ(a
,...,a
,...a
) 2.addytywność
det
=det
+det

3.
det
=-det

4.detE=det
=1 E- macierz jednostkowa

Własności:1.detA=detA
wszystkie własności sformułowane dla kolumn są prawdziwe dla wierszy.2.det(0
)=0 z własności 1.

3.Pomnożyć wyznacznik przez liczbę, znaczy pomnożyć 1 kolumnę macierzy przez tę liczbę.4.Zamiana miejscami dwóch kolumn macierzy powoduje zmianę znaku wyznacznika.5.Macierz o dwóch identycznych kolumnach ma wyznacznik równy 0 lub macierz o dwóch kolumnach proporcjonalnych ma wyznacznik równy zero.

det
=-det
detA=0 6.Macierz o

kolumnie zerowej ma wyznacznik równy 0 det
=det
= det
+(-1)det
=0 7.Jeżeli w

macierzy jedna kolumna jest kombinacją liniową pozostałych kolumn, to wyznacznik macierzy równa się zero det
=

det
+det
+...+det
=0

8.Wyznacznik macierzy nie zmieni wartości, Jeśli do jego dowolnej kolumny dodamy kombinację liniową pozostałych.

9.Wyznacznik macierzy jest równy 0⇔, gdy kolumny tej macierzy są liniowo zależne. 10.(twierdzenie Cauchy'ego)-Wyznacznik iloczynu macierzy równy jest iloczynowi wyznaczników macierzy. det(A*B)=(detA)*(detB) jeśli AB#BA det(AB)=det(BA)

Def. minoraMinorem M
elementu a
macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy, którą otrzymamy usuwając z macierzy A i-ty wiersz i j-tą kolumnę.

Def.Dopełnieniem algebraicznym A
elementu a
macierzy A nazywamy liczbę określoną wzorem A
:=(-1)
M

Def.Macierz kwadrat. A nazywamy macierzą nieosobliwą jeśli jej wyzn. jest różny od 0; jeśli detA=0, to A nazywamy macierzą osobli.

Def.Jeżeli macierze A,B∈
oraz AB=BA=E to macierz B

nazywamy odwrotną do macierzy A i oznaczamy ją symbolem A
.

Def.Niech U i V będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem K. Odwzorowanie f:U→V spełniające warunki:

1.∀a,b∈U f(a+b)=f(a)+f(b) - addytywność odwzorowania

2.∀λ∈K ∀a∈U :f(λa)=λf(a) - jednorodność odwzorowania - nazywamy przekształceniem liniowym przestrzeni U w V

(1.i 2.)⇔ ∀λ
,λ
∈K ∀a,b∈U f(λ
a+λ
b)=λ
f(a)+λ
f(b)

Jeśli V=R to przekształcenie nazywamy formą liniową. F(U) podprzestrzeń liniowa przestrzeni V.

Def. rzędu macierzy.Rzędem niezerowej macierzyA=( a
,a
,... ,a
) nazywamy ilość liniowo niezależnych wierszy bądź kolumn tych macierzy.Uwaga 1: Rzęd.macierzy A nazyw. największy stopień jej minora różnego od 0.Uwaga 2: DimL=( a
,a
,...,a
)=r(A)

Własności rzędu macierzy:1.r(A)=0⇔ A=0 2.r(A)=r(A
)

3.r(A)≤min(m,n) jeśli A∈

4.Rząd macierzy nie zmieni się jeśli dokonamy na kolumnach tej macierzy operacji, które nie zmienią wartości wyznacznika. W szczególności rząd macierzy nie zmieni się jeśli usuniemy z niej kolumnę zerową, lub z dwóch kolumn proporcjonaln. usuniemy jedną.

Przestrzeń metryczna i unormowana

Odwzorowanie d:A
→R , gdzie A≠0 spełniające warunki :

1.∀a,b∈A d(a,b)=0⇔ a=b 2.∀a,b∈A d(a,b)=d(b,a) - symetria

3.∀a,b∈A d(a,b)≤d(a,c)+d(c,b)-nierówność trójkątna - nazywamy metryką w zbiorze A. Wartość tego odwzorowania na parze elementów (a,b)nazywamy odległością elementów a i b.

∀a,b∈A d(a,b)≥0 d(a,b)=
[ d(a,b)+d(b,a)]≥
d(a,a)=0

Def.Przekształcenie f:A→A gdzie (A,°) przestrzeń metryczna, spełniające warunek:∀a,b∈A d(f(a),f(b))=d(a,b) nazywamy izometrią.

Def.Przekształcenie f:A→A gdzie (A,°) przestrzeń metryczna, spełniające warunek: ∃λ∈(0,1) ∀a,b∈A d(f(a),f(b))≤λd(a,b) nazywamy przekształceniem zwężającym lub kontrakcją.

Przestrzeń unormowana Niech V (przestrzeń liniowa) nad ciałem R. Funkcjonał (odwzorowanie) ||•||:V→R spełniająca warunki:

1.∀v∈V ||v||=0 ⇔ v=0 2.∀λ∈R ∀v∈V ||λv||=|λ|*||v||

3.∀v
,v
∈V ||v
+v
||≤||v
||+||v
|| nazywamy normą w przestrzeni V, a przestrzeń liniową z określoną normą nazywamy przestrzenią unormowaną.

---