Algebra, WAT- Elektronika i Telekomunikacja, Semestr I, Matematyka, Algebra z Geometrią Analityczną, Matematyka, Matematyka, Sciagi


Definicja

Superpozycją (złożeniem) odwzorowanie f:X→Y i g:Y→Z nazywamy takie odwzorowanie g°f:X→Z , które spełmia warunek ∀x∈X (g°f)(x)=g[f(x)]

Definicja

Odwzorowanie f:X→Y nazywamy odwracalnym, jeżeli istnieje taka funkcja g:Y→X, Ze spełnione są warunki: f°g=idy ∧ g°f=idx (id0x01 graphic
X→X:id(x)=x).

Odwzorowanie odwrotne do odwzorowania f oznaczamy f0x01 graphic

∀x∈X f0x01 graphic
[f(x)]=x i ∀y∈Y f0x01 graphic
[f(y)]=y .Odwzorowanie f jest odwracalne ⇔ gdy jest bijekcją.

Definicja

Jeżeli spełniony jest warunek ∃e∈A ∀a∈A e#a=a#e=a to element e nazywamy elementem neutralnym, a półgrupę - półgrupą unitarną.

Definicja

Półgrupę unitarną komutatywną, w której każdy element ma element symetryczny, tzn. ∀A ∃a'∈A a#a'=a'#a=e nazywamy grupą abelową.

Definicja

Trójką (A,#,°)[gdzie #,°-dwa działania wewnętrzne w niepustym zbiorze A] spełniającą warunki:

1.para (A,#)- jest grupą abelową

2.para (A,°)- jest półgrupą

3. działanie „°” jest dystrybutywne ( rozdzielne ) względem działania „#” tzn. ∀a,b,c∈A (a#b)°c=(a°c)#(b°c) c°(a#b)=(c°a)#(c°b) nazywamy pierścieniem.

Definicja ciała

Pierścień całkowity, w którym każdy element niezerowy ma element symetryczny (względem drugiego działania) nazywamy ciałem. Elementy ciała nazywamy liczbami albo skalarami.

Definicja przestrzeni liniowej (wektorowej)

Niech V=(A,+) [będzie grupą abelową], K dowolnym ciałem zaś S:K×V→V odwzorowaniem, które parze elementów (α,V)∈ K×V będziemy oznaczać S(α,V)=αV. Trójkę (V,K,S), która spełnia warunki:

1.∀α∈K ∀a,b,c∈V α(a+b)=αa+αb

2.∀α,β∈K ∀a∈V (α+β)a=αa+βa

3.∀α,β∈K ∀a∈V (αβ)a=α(βa)

4.∀a∈V 1a=a - nazywamy przestrzenią liniową, przestrzenią wektorową nad ciałem K i oznaczamy symbolem V(K). Elementy grupy V nazywamy wektorami, a odwzorowanie S, mnożeniem skalarów przez wektory.

Definicja

Kombinacją liniową n wektorów a0x01 graphic
,a0x01 graphic
,...,a0x01 graphic
z przestrzeni wektorowej [∈V(K)] o współczynnikach 0x01 graphic
nazywamy element przestrzeni V postaci

0x01 graphic
.

Definicja

Wektory a0x01 graphic
,a0x01 graphic
,...,a0x01 graphic
∈V(K) są liniowo zależne ⇔ gdy przynajmniej jeden z nich da się przedstawić jako kombinacja liniowa pozostałych.

Dowód:

Wektory a0x01 graphic
,a0x01 graphic
,...,a0x01 graphic
są liniowo zależne ⇒ 0x01 graphic
ale istnieje α0x01 graphic
≠0 ⇒ 0x01 graphic
=0x01 graphic
0x01 graphic
⇐wynika, że jeden z wektorów da się przedstawić jako kombinacja pozostałych.⇐ 0x01 graphic
0x01 graphic
. Kombinacja jest nietrywialna ponieważ β0x01 graphic
=-1≠0, czyli wektory są liniowo zależne.

Definicja

Bazą przestrzeni liniowej V(K) nazywamy niepusty jej podzbiór, którego wektory e0x01 graphic
są liniowo niezależne, przy czym każdy wektor V da się przedstawić w postaci kombinacji liniowej wektorów bazy. Ilość elementów w bazie nazywamy wymiarem przestrzeni i oznaczamy symbolem dimV. ∀∋a=0x01 graphic
- rozkład wektora w bazie {e0x01 graphic
}

Liczby zespolone

Twierdzenie 1

Jeżeli liczby zespolone z i z' są różne od zera, a ϕ0x01 graphic
i ϕ0x01 graphic
są dowolnymi argumentami tych liczb, to suma ϕ0x01 graphic
0x01 graphic
jest argumentem iloczynu zz' zaś różnica ϕ0x01 graphic
0x01 graphic
jest argumentem ilorazu 0x01 graphic

Twierdzenie 2 (wzory Moivre'a)

Jeżeli liczba zespolona z jest różna od zera, a ϕ jest jej dowolnym argumentem, to liczba rzeczywista nϕ , gdzie n∈N , jest argumentem liczby z0x01 graphic
.

(cosϕ+isinϕ)0x01 graphic
=cosnϕ+isinnϕ

z0x01 graphic
=|z|0x01 graphic
( cosnϕ+isinnϕ)

Twierdzenie

Jeżeli z≠0 i z=|z|(cosϕ+isinϕ), to 0x01 graphic
jest zbiorem n-elementowej postaci:

0x01 graphic
=0x01 graphic
; k=0,1,2,...,n-1

Twierdzenie Bezouta

Jeżeli z0x01 graphic
jest miejscem zerowym wielomianu p, to wielomian ten jest podzielny przez dwumian z- z0x01 graphic
i odwrotnie, czyli p(z)=0 ⇔ (z- z0x01 graphic
)|p(z).

Twierdzenie d'Alamberta

Każdy wielomian w dziedzinie zespolonej stopnia n≥1 ma co najmniej jedno miejsce zerowe.

Wielomiany w liczbie zespolonej

Twierdzenie

Jeżeli liczba zespolona z0x01 graphic
jest pierwiastkiem wielomianu p o wspólczynnikach rzeczywistych, to również pierwiastkiem tego wielomianu jest liczba sprężona 0x01 graphic
.

Funkcje wymierne

Twierdzenie

Każdą funkcję wymierną właściwą 0x01 graphic
można przedstawić w postaci sumy pewnej liczby ułamków prostych, przy czym:

1.Każdemu czynnikowi postaci (x- x0x01 graphic
)0x01 graphic
w rozkładzie mianownika q na czynniki odpowiadają w tej sumie składniki :0x01 graphic
; gdzie α0x01 graphic
...α0x01 graphic
∈R

2.Każdemu czynnikowi postaci (x0x01 graphic
+bx+c)0x01 graphic
w rozkładzie mianownika q na czynniki odpowiadają w tej sumie składniki:0x01 graphic
gdzie 0x01 graphic
b,c∈R oraz b0x01 graphic
-4c<0

Macierze i wyznaczniki

Definicja macierzy

Macierzą wymiaru m×n nazywamy wartość odwzorowania, którego dziedziną jest iloczyn kartezjański {1,2,...,m}×{1,2,...,n} a wartości są z pewnego zbioru (ciała) K : {1,2,...,m}×{1,2,...,n}→a0x01 graphic
∈K

Definicja

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A0x01 graphic
nazywamy wartość odwzorowania det:0x01 graphic
zbioru macierzy stopnia n, które spełnia warunki :

1.jednorodność 0x01 graphic
∀λ∈K det(a0x01 graphic
,...,λa0x01 graphic
,...,a0x01 graphic
)=λ(a0x01 graphic
,...,a0x01 graphic
,...a0x01 graphic
)

2.addytywność 0x01 graphic
det0x01 graphic
=det0x01 graphic
+det0x01 graphic

3.0x01 graphic
det0x01 graphic
=-det0x01 graphic

4.detE=det0x01 graphic
=1 E- macierz jednostkowa

Własności:

1.detA=detA0x01 graphic
wszystkie własności sformułowane dla kolumn są prawdziwe dla wierszy.

2.det(00x01 graphic
)=0 z własności 1.

3.Pomnożyć wyznacznik przez liczbę, znaczy pomnożyć 1 kolumnę macierzy przez tę liczbę.

4.Zamiana miejscami dwóch kolumn macierzy powoduje zmianę znaku wyznacznika.

5.Macierz o dwóch identycznych kolumnach ma wyznacznik równy 0 lub macierz o dwóch kolumnach proporcjonalnych ma wyznacznik równy zero.

det0x01 graphic
=-det0x01 graphic
detA=0

6.Macierz o kolumnie zerowej ma wyznacznik równy 0 det0x01 graphic
=det0x01 graphic
= det0x01 graphic
+(-1)det0x01 graphic
=0

7.Jeżeli w macierzy jedna kolumna jest kombinacją liniową pozostałych kolumn, to wyznacznik macierzy równa się zero det0x01 graphic
= =det0x01 graphic
+det0x01 graphic
+...+det0x01 graphic
=0

8.Wyznacznik macierzy nie zmieni wartości, Jeśli do jego dowolnej kolumny dodamy kombinację liniową pozostałych.

9.Wyznacznik macierzy jest równy 0⇔, gdy kolumny tej macierzy są liniowo zależne.

10.(twierdzenie Cauchy'ego)-Wyznacznik iloczynu macierzy równy jest iloczynowi wyznaczników macierzy. det(A*B)=(detA)*(detB)

jeśli AB#BA det(AB)=det(BA)

Definicja minora

Minorem M0x01 graphic
elementu a0x01 graphic
macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy, którą otrzymamy usuwając z macierzy A i-ty wiersz i j-tą kolumnę.

Definicja

Dopełnieniem algebraicznym A0x01 graphic
elementu a0x01 graphic
macierzy A nazywamy liczbę określoną wzorem A0x01 graphic
:=(-1)0x01 graphic
M0x01 graphic

Definicja

Macierz kwadratową A nazywamy macierzą nieosobliwą jeśli jej wyznacznik jest różny od 0; jeśli detA=0, to A nazywamy macierzą osobliwą.

Definicja

Jeżeli macierze A,B∈0x01 graphic
oraz AB=BA=E to macierz B nazywamy odwrotną do macierzy A i oznaczamy ją symbolem A0x01 graphic
.

Twierdzenie

Macierz A ma macierz odwrotną ⇔ gdy jest macierzą nieosobliwą.

Dowód: ⇒istnieje A0x01 graphic
⇒AA0x01 graphic
=A0x01 graphic
A=E⇒(twierdzenie Cauchy'ego) det (AA0x01 graphic
)=detE=1 (detA)(detA0x01 graphic
)=1⇒detA≠0⇒A jest nieosobliwa

⇐ A jest nieosobliwa ⇒ detA≠0⇒można zdefiniować B=0x01 graphic
A0x01 graphic
AB=A=0x01 graphic
A0x01 graphic
=0x01 graphic
AA0x01 graphic
. Wniosek 3 z tw Laplace'a mówi, że 0x01 graphic
AA0x01 graphic
=0x01 graphic
(detA)*E=E BA=0x01 graphic
A0x01 graphic
A=0x01 graphic
(detA)*E=E

Macierz B jest macierzą odwrotną do macierzy A.

Definicja

Niech U i V będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem K. Odwzorowanie f:U→V spełniające warunki:

1.∀a,b∈U f(a+b)=f(a)+f(b) - addytywność odwzorowania

2.∀λ∈K ∀a∈U :f(λa)=λf(a) - jednorodność odwzorowania - nazywamy przekształceniem liniowym przestrzeni U w V

  1. i 2.)⇔ ∀λ0x01 graphic
    0x01 graphic
    ∈K ∀a,b∈U f(λ0x01 graphic
    a+λ0x01 graphic
    b)=λ0x01 graphic
    f(a)+λ0x01 graphic
    f(b)

Jeśli V=R to przekształcenie nazywamy formą liniową. F(U) podprzestrzeń liniowa przestrzeni V.

Twierdzenie Cramera.

Jeżeli macierz podstawowa A układu n równań z n niewiadomymi jest macierzą nieosobliwą, to istnieje dokładnie jedno rozwiązanie układu równań dane wzorami:0x01 graphic
;i=1,...,n lub x=A0x01 graphic
b

Dowód:detA0x01 graphic
=det(a0x01 graphic
,...,a0x01 graphic
,b,a0x01 graphic
,...,a0x01 graphic
)=det(a0x01 graphic
,...,a0x01 graphic
,x0x01 graphic
a0x01 graphic
+x0x01 graphic
a0x01 graphic
+...+x0x01 graphic
a0x01 graphic
,a0x01 graphic
,...,a0x01 graphic
)= x0x01 graphic
det(a0x01 graphic
,a0x01 graphic
,...,a0x01 graphic
,a0x01 graphic
,a0x01 graphic
,...,a0x01 graphic
)+x0x01 graphic
det(a0x01 graphic
,a0x01 graphic
,...,a0x01 graphic
,a0x01 graphic
,a0x01 graphic
,...,a0x01 graphic
)+..+ x0x01 graphic
det(a0x01 graphic
,a0x01 graphic
,...,a0x01 graphic
,a0x01 graphic
,a0x01 graphic
,...,a0x01 graphic
)+ x0x01 graphic
det(a0x01 graphic
,a0x01 graphic
,...,a0x01 graphic
,a0x01 graphic
,a0x01 graphic
,...,a0x01 graphic
)

detA0x01 graphic
=x0x01 graphic
detA⇒ x0x01 graphic
=0x01 graphic
bo detA≠0

Wniosek:

Jednorodny układ Cramerowski ma tylko rozwiązanie zerowe.

Definicja rzędu macierzy.

Rzędem niezerowej macierzyA=( a0x01 graphic
,a0x01 graphic
,...,a0x01 graphic
) nazywamy ilość liniowo niezależnych wierszy bądź kolumn tych macierzy.

Uwaga 1: Rzędem macierzy A nazywamy największy stopień jej minora różnego od 0.

Uwaga 2: DimL=( a0x01 graphic
,a0x01 graphic
,...,a0x01 graphic
)=r(A)

Własności rzędu macierzy:

1.r(A)=0⇔ A=0

2.r(A)=r(A0x01 graphic
)

3.r(A)≤min(m,n) jeśli A∈0x01 graphic

4.Rząd macierzy nie zmieni się jeśli dokonamy na kolumnach tej macierzy operacji, które nie zmienią wartości wyznacznika. W szczególności rząd macierzy nie zmieni się jeśli usuniemy z niej kolumnę zerową, lub z dwóch kolumn proporcjonalnych usuniemy jedną.

Twierdzenie Kroneckera-Capelliego

Ukłąd równań liniowych Ax=B posiada co najmniej jedno rozwiązanie ⇔r(A)=r(A0x01 graphic
)

Dowód:

Układ (0x01 graphic
) jest rozwiązaniem ⇔ 0x01 graphic
⇔ b∈( a0x01 graphic
,a0x01 graphic
,...,a0x01 graphic
) ⇔L(a0x01 graphic
,a0x01 graphic
,...,a0x01 graphic
)=L(a0x01 graphic
,a0x01 graphic
,...,a0x01 graphic
,b)⇔dim(a0x01 graphic
...a0x01 graphic
)=dim(a0x01 graphic
...a0x01 graphic
,b) ⇔r(A)=r(A0x01 graphic
)

Podsumowanie:

1.r(A)=r(A0x01 graphic
)=n-ilość niewiadomych-jedno rozwiązanie

2. r(A)=r(A0x01 graphic
)=k<n-nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n-k parametrów.

3. r(A)≠r(A0x01 graphic
)-układ sprzeczny-brak rozwiązań

Przestrzeń metryczna i unormowana

Definicja:

Odwzorowanie d:A0x01 graphic
→R , gdzie A≠0 spełniające warunki :

1.∀a,b∈A d(a,b)=0⇔ a=b

2.∀a,b∈A d(a,b)=d(b,a) - symetria

3.∀a,b∈A d(a,b)≤d(a,c)+d(c,b)-nierówność trójkątna - nazywamy metryką w zbiorze A. Wartość tego odwzorowania na parze elementów (a,b)nazywamy odległością elementów a i b.

∀a,b∈A d(a,b)≥0

d(a,b)=0x01 graphic
[ d(a,b)+d(b,a)]≥ 0x01 graphic
d(a,a)=0

Definicja

Przekształcenie f:A→A gdzie (A,°) przestrzeń metryczna, spełniające warunek:

∀a,b∈A d(f(a),f(b))=d(a,b) nazywamy izometrią.

Definicja

Przekształcenie f:A→A gdzie (A,°) przestrzeń metryczna, spełniające warunek:

∃λ∈(0,1) ∀a,b∈A d(f(a),f(b))≤λd(a,b) nazywamy przekształceniem zwężającym lub kontrakcją.

Przestrzeń unormowana

Niech V (przestrzeń liniowa) nad ciałem R. Funkcjonał (odwzorowanie) ||•||:V→R spełniająca warunki:

1.∀v∈V ||v||=0 ⇔ v=0

2.∀λ∈R ∀v∈V ||λv||=|λ|*||v||

3.∀v0x01 graphic
,v0x01 graphic
∈V ||v0x01 graphic
+v0x01 graphic
||≤||v0x01 graphic
||+||v0x01 graphic
|| nazywamy normą w przestrzeni V, a przestrzeń liniową z określoną normą nazywamy przestrzenią unormowaną.

Definicja iloczynu skalarnego

Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem R, odwzorowanie g: V0x01 graphic
→R spełniające warunki:

1.∀x,y,z∈V g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z) g(x,y+z)=g(x,y)+g(x,z)

2.∀x,y,z∈V ∀λ∈R g(λx,y)=g(x,λy)=λg(x,y) - odwzorowanie jest liniowe

3.∀(x,y)∈V g(x,y)=g(y,x)

4.∀x≠0 g(x,x)>0 nazywamy mnożeniem skalarnym w przestrzeni V, a wartość tego odwzorowania na wektorach (0x01 graphic
) nazywamy iloczynem skalarnym tych wektorów x°y=|0x01 graphic
| |0x01 graphic
| cosϕ . Przestrzeń liniowa, w której wprowadzono iloczyn skalarny nosi nazwę przestrzeni unitarnej.

Własności iloczynu skalarnego:

1.∀x,y∈V |x+y|≤|x|+|y| - nierówność Minkowskiego

2.∀x,y∈V |x*y|≤|x|*|y| - nierówność Coshy-Buniakowskiego.

Dowód:

λ∈R (λx+y)(λx+y)=λ0x01 graphic
x0x01 graphic
+2λxy+y0x01 graphic
≥0 dla każdego x

Δ≤0 Δ=(2x°y)0x01 graphic
-4x0x01 graphic
y0x01 graphic
=4((x°y)0x01 graphic
- x0x01 graphic
y0x01 graphic
)≤0

(x°y)0x01 graphic
≤ x0x01 graphic
y0x01 graphic
|x°y|≤|x| |y|

3.0x01 graphic
4.0x01 graphic
, α∈R 5.0x01 graphic

Definicja iloczynu wektorowego

Mnożeniem wektorowym w R0x01 graphic
nazywamy odwzorowanie f:R0x01 graphic
×R0x01 graphic
→R0x01 graphic
spełniające warunki:

1.∀a,b∈R0x01 graphic
a×b=-b×a

2.∀a,b,c∈R0x01 graphic
a×(b+c)=a×b+a×c (a+b)×c=a×c+b×c

3.∀λR∈ ∀a,b∈R0x01 graphic
(λa)×b=a×(λb)=λ(a×b)

4.0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

Własności:

1.Jeśli wektory a,b są kolinearne to 0x01 graphic
∃λ∈R b=λa

0x01 graphic
ale z war.1. 0x01 graphic

2. Wektory a i b są ortogonalne do wektorów a×b 0x01 graphic

Iloczyn mieszany

Iloczynem mieszanym uporządkowanej trójki wektorów a,b,c nazywamy liczbę określoną wzorem: abc=a°(b×c).

Własności:

1.0x01 graphic

2.Trzy niezerowe wektory a,b,c są współpłaszczyznowe (komplementarne) jeśli abc=0

3. Jeśli a,b,c∈R0x01 graphic
a,b,c=det(a,b,c)

4.det(a,b,c) jest równy objętości równoległościanu rozpiętego na wektorach a,b,c

Definicja powierzchni stopnia II

Zbiór punktów (x,y,z)∈R0x01 graphic
, których współrzędne spełniają zależność :

0x01 graphic
gdzie:

0x01 graphic
nazywamy powierzchnią stopnia II lub kwadrykiem.



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
sciaga algebra wzory, WAT- Elektronika i Telekomunikacja, Semestr I, Matematyka, Algebra z Geometrią
sciaga algebra dowody, WAT- Elektronika i Telekomunikacja, Semestr I, Matematyka, Algebra z Geometri
sciaga algebra dowody 1, WAT- Elektronika i Telekomunikacja, Semestr I, Matematyka, Algebra z Geomet
sciaga algebra definicje, WAT- Elektronika i Telekomunikacja, Semestr I, Matematyka, Algebra z Geome
sciaga algebra dowody 2, WAT- Elektronika i Telekomunikacja, Semestr I, Matematyka, Algebra z Geomet
opracowane kolos, WAT- Elektronika i Telekomunikacja, Semestr I, Pnor, Pnor
zadania 2(1), WAT- Elektronika i Telekomunikacja, Semestr II, Fizyka, coś tam od grupy, Zadania i Te
zadania 9(1), WAT- Elektronika i Telekomunikacja, Semestr II, Fizyka, coś tam od grupy, Zadania i Te
Test B, WAT- Elektronika i Telekomunikacja, Semestr II, Materiały elektroniczne, kolos
WSTĘP TEORETYCZNY, WAT- Elektronika i Telekomunikacja, Semestr II, Fizyka, coś tam od grupy, labfizy
Egzaminacyjne dane przez Pluta, WAT- Elektronika i Telekomunikacja, Semestr II, Elementy elektronicz
zadania 7(1), WAT- Elektronika i Telekomunikacja, Semestr II, Fizyka, coś tam od grupy, Zadania i Te
Sys kom lab harmonogram zao2015 E3, WAT- Elektronika i Telekomunikacja, Semestr V, Systemy Komutacyj
sprawozdanie-kopia, WAT- Elektronika i Telekomunikacja, Semestr II, Fizyka, coś tam od grupy, labfiz
spraw fm(1), WAT- Elektronika i Telekomunikacja, Semestr V, Technika Emisji i Odbioru, laboratoria,

więcej podobnych podstron