e5. kondensator w obwodzie prądu stałego

I drgania relAksacyjne

tekst opracował: Marek Pękała

Główna część ćwiczenia koncentruje się na badaniu rozładowania kondensatora.

Badanie drgań relaksacyjnych potwierdza asystent.

Procesy rozładowania kondensatora i drgania relaksacyjne w obwodach RC należą do szerokiej klasy procesów relaksacyjnych. Procesy relaksacyjne przeprowadzają układ do stanu równowagi trwałej lub nietrwałej o niższej energii a dokładniej o niższym potencjale termodynamicznym. Procesy relaksacyjne są procesami nieodwracalnymi, w których następuje częściowa dyssypacja (rozproszenie) energii poprzez zamianę jej na ciepło.

Szybkość procesów relaksacyjnych
jest proporcjonalna do odchylenia od stanu równowagi y(t) i dlatego szybkość maleje stopniowo w czasie aż do osiągnięcia stanu równowagi, gdy y(t_k) = 0. Procesy relaksacyjne są ogólnie opisywane przez funkcje wykładnicze (Rys. 1) .

Rozładowanie kondensatora opisuje funkcja

,

a ładowanie

,

gdzie parametr τ nazywa się czasem relaksacji, po którym wartość funkcji
maleje e = 2.71828 razy.

ROZŁADOWANIE KONDENSATORA

Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa po zamknięciu klucza K w obwodzie prądu stałego (Rys. 2) jednorazowo ładują się okładki kondensatora C. Podczas ładowania w gałęzi z kondensatorem płynie prąd ładowania zanikający w czasie. W chwili gdy na okładkach zgromadzi się ładunek Q₀=Cε prąd ten zanika, ponieważ prąd nie przepływa przez kondensator a tylko ładuje okładki kondensatora.

Wtedy przez opornik R przepływa prąd stały o natężeniu
. Po otwarciu klucza odłączona zostaje siła elektromotoryczna i w prawej części układu następuje rozładowanie kondensatora przez opornik R i rozproszenie energii. Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa

(1)

gdzie
i IR opisują chwilowe spadki napięcia odpowiednio na kondensatorze C i na oporniku R. Uwzględniając, że
ostatnie równanie można zapisać

. (2)

Po rozdzieleniu zmiennych

(3)

oznaczając iloczyn RC = τ po scałkowaniu otrzymujemy rozwiązanie

(4)

opisujące chwilowe wartości ładunku na kondensatorze w funkcji czasu. Chwilowe wartości napięcia na kondensatorze opisuje

(5)

Uwzględniając prawo Ohma

(6)

otrzymujemy funkcję wykładniczą opisująca natężenie prądu rozładowania kondensatora w obwodzie RC.

DRGANIA RELAKSACYJNE

Drgania relaksacyjne powstają w tzw. układzie prądu stałego RC, czyli w układzie RC zasilanym ze źródła stałej siły elektromotorycznej SEM (Rys. 3), w którym równolegle

do kondensatora C połączony jest tzw. element kluczący, czyli pełniący rolę automatycznego klucza elektrycznego, w postaci półprzewodnikowego diaka lub neonówki.

Opór elektryczny diaka jest funkcją przyłożonego napięcia i pozwala kontrolować procesy ładowania i rozładowania kondensatora C. Poniżej tzw. napięcia progowego U_P opór diaka jest duży (rzędu MΩ) a maleje gwałtownie o kilka rzędów wielkości po przekroczeniu U_P , gdy diak przechodzi w stan przewodzenia. W stanie przewodzenia prądu opór elektryczny diaka pozostaje mały aż do napięcia gaśnięcia U_G prawie równego zeru (Rys. 4). W obwodzie RC dokonują się wtedy drgania relaksacyjne napięcia U_C pomiędzy napięciem progowym U_P a napięciem gaśnięcia U_G.

Gdy opór elektryczny diaka jest duży, następuje ładowanie kondensatora C przez opornik R i zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa

(7)

czyli

(8)

Zatem rozwiązaniem równania różniczkowego

(9)

jest funkcja

.

Napięcie na kondensatorze zapiszemy

(10)

Rys.4 pokazuje, że ładowanie kondensatora od zera (U_C(0) = 0) do napięcia U_G = U_G(t) następuje po czasie t. Analogicznie ładowanie kondensatora od zera (U_C(0) = 0) do napięcia U_P = U_P(t + t₁) następuje po czasie t +t ₁. Oba przypadki opisują równania

(11)

(12)

Przekształcając równania do postaci

(13)

(14)

następnie dzieląc stronami i logarytmując otrzymujemy czas ładowania t₁

(15)

Ponieważ napięcie gaśnięcia diaka jest bliskie zera, ostatnie równanie upraszcza się do

(16)

Po przekroczeniu napięcia progowego diaka U_P rozpoczyna się rozładowanie kondensatora przez przewodzący diak. Zmiany napięcia U_C(t) podczas rozładowania kondensatora C od napięcia U_P = U_P(t) do napięcia gaśnięcia U_G = U_G (t + t₂) można zapisać jako

, (17)

gdzie R_DIAK jest oporem diaka w stanie przewodzenia. Wtedy czas rozładowania kondensatora t₂ jest równy

. (18)

Ostatecznie okres drgań relaksacyjnych T jest sumą

T = t₁ + t₂ (19)

Jeżeli t₁ >> t₂, to T ≅ t₁ .

Cel

Celem ćwiczenia jest doświadczalne wyznaczenie i analiza parametrów opisujących rozładowanie kondensatora, takich jak:

• krzywa rozładowania, czyli zależność I(t);

• ładunek naładowanego kondensatora wyznaczony z krzywej rozładowania;

• energia naładowanego kondensatora;

• stała czasowa obwodu i opór rozładowania;

oraz drgania relaksacyjne, takich jak:

• okres drgań relaksacyjnych dla różnych napięć i pojemności;

• opór, przez który ładuje się kondensator.

Wymagania

Przewodniki i dielektryki.

Pole elektryczne: linie sił, natężenie, potencjał, napięcie, praca, energia.

Źródła pola elektrycznego, dipol elektryczny.

Indukcja elektryczna, polaryzacja dielektryków.

Kondensator, pojemność elektryczna

Obwód RC, ładowanie i rozładowanie kondensatora, stała czasowa., drgania relaksacyjne.

Prawa Ohma i Kirchhoffa, siła elektromotoryczna,.

Mierniki prądu i napięcia, dzielnik napięcia .

Budowa i zasada działania półprzewodnikowego diaka, neonówki i oscyloskopu

Literatura

R. Resnick, D. Halliday - Fizyka t.2; D. Halliday, R. Resnick, J. Walker - Fizyka t.3; E. EM E. M Purcell - Elektryczność i magnetyzm; tom II

H. Szydłowski, Pracownia fizyczna;

A. Piekara, Elektryczność i magnetyzm, PWN

K. Zboiński - Laboratorium z fizyki;

R. Nowak - Statystyka dla fizyków, PWN 2002 + ćwiczenia.

Opis układu

Układ pomiarowy do badania prądu rozładowania kondensatora składa się z zasilacza napięcia stałego, opornika, kondensatora dekadowego i mikroamperomierza. Czas mierzy się stoperem.

W układzie do badania drgań relaksacyjnych równolegle do kondensatora włącza się diak i zmiany napięcia na kondensatorze obserwuje się na oscyloskopie połączonym sondą z układem.

Wykonanie ćwiczenia

Rozładowanie kondensatora

Uwaga: napięcie zasilania włącza asystent.

Krzywą rozładowania kondensatora tworzy się mierząc chwilowe wartości natężenia prądu rozładowania kondensatora I(t).

1. Przed rozpoczęciem pomiarów należy tak wypoziomować galwanometr, żeby wskaźnik znalazł się na zerze.

2. Korzystając z płytki montażowej łączymy obwód według schematu przedstawionego na rysunku 2. Do układu pomiarowego włączamy kondensator dekadowy wybierając pojemność elektryczną C = 1 μF.

3. Sprawdzamy czy napięcie ustawione na zasilaczu stabilizowanym IZS 5/71 wynosi 100V.

4. Po sprawdzeniu obwodu przez asystenta i włączeniu zasilania ustawienie dzielnika napięcia wybieramy tak, żeby początkowe natężenie prądu rozładowania I₀ mierzone galwanometrem było równe 10 μA.

5. Zapisujemy napięcie ε odczytane z woltomierza.

6. Otwierając klucz mierzymy kilkakrotnie czas, w ciągu którego natężenie prądu maleje od początkowej wartości I₀ = 10 μA do wartości I_k zmieniającej się co 1 μA od 9 μA do 0 μA.

7. Następne pomiary krzywej rozładowania (jak w 6) wykonuje się dla C_i = 2 i 3 μF oraz dla nieznanego kondensatora C_X.

Badanie drgań relaksacyjnych

1. Korzystając z odpowiedniej płytki montażowej łączymy obwód według schematu przedstawionego na rysunku 3. Do układu pomiarowego włączamy opornik R_x i kondensator dekadowy, wybierając pojemność elektryczną C = 0,01 μF. Za pomocą sondy oporowej, osłabiającej sygnał w stosunku 1:10, napięcie panujące na kondensatorze podajemy na kanał 1 oscyloskopu.

2. Sprawdzamy czy napięcie ustawione na zasilaczu stabilizowanym IZS 5/71 wynosi 100V.

3. Po sprawdzeniu obwodu przez asystenta i włączeniu zasilania regulujemy napięcie dzielnikiem i ustawiamy na 35V. Na ekranie oscyloskopu obserwujemy periodyczne zmiany napięcia. Przy wciśniętym klawiszu MEASURE po prawej stronie ekranu wyświetlane są wartości okresu (PERIOD), częstotliwości (FREQ.), wartości średniej napięcia (MEAN) i wartości szczytowej (Pk -Pk)

4. Zmniejszając napięcie znajdujemy napięcie przebicia diaka. Zapisujemy wartość U_p.

5. Zmieniając pojemność od 0,01 do 0,1μF mierzymy zależność okresu drgań relaksacyjnych przy 2 różnych napięciach ε np. 35V i 50V.

Uwaga: napięcie przykładane do diaka nie powinno przekraczać 50V.

6. Mierzymy zależność okresu drgań relaksacyjnych od napięcia ε (od 35V do 50V co ok. 1,5 V) przy 2 różnych pojemnościach kondensatora np.0,03μF i 0,08μF.

Sprawozdanie - Opracowanie wyników

1. Cel ćwiczenia

2. Krótki opis metody pomiarowej

3. Krótki, ogólny opis analizy wyników pomiarowych - zależności matematyczne

4. Opracowanie wynik*w

Krzywa rozładowania

1. Dla każdego zbioru wyników doświadczalnych I(t) dla danej pojemności C wykonujemy wykresy krzywej rozładowania kondensatora I(t) na papierze milimetrowym lub stosując programy komputerowe.

2. Obliczamy pola powierzchni pod krzywymi I(t) metodą graficzną* lub wagową**.

* Metoda graficzna - (H. Szydłowski - Pracownia fizyczna, PWN) - Pole ograniczone przez oś czasu - t, oś prądu - I oraz krzywą rozładowania - I(t) dzielimy na przybliżone trapezy o podstawach równoległych do osi pionowej i obliczamy sumę pól trapezów. (Jeżeli trapezy mają równe wysokości, obliczenie upraszcza się poprzez odpowiednie (!) sumowanie połówek podstaw trapezów.)

** Metoda wagowa - Wycinamy pole ograniczone przez oś czasu -t, oś prądu -I oraz krzywą rozładowania I(t). Z tego samego papieru wycinamy też, np. 1 dcm². Porównanie wagi obu wycinków pozwala określić powierzchnię pod krzywą I(t).

Uwzględniając, jakiemu ładunkowi elektrycznemu odpowiada, np. 1 cm² na wykresie, obliczamy ładunek zgromadzony na kondensatorze - Q .

(Wpływ niedokładności wynikającej z sumowania elementów powierzchni pod krzywą I(t) dla t → ∞, można ograniczyć biorąc pod uwagę, że po czasie, np. t = 3 τ (τ = stała czasowa) z kondensatora odpływa 95 % ładunku).

3. Energię zgromadzoną w kondensatorze E ± ΔE obliczamy jako E = Q²/2C.

4. W celu sprawdzenia, że natężenie prądu rozładowania kondensatora maleje eksponencjalnie w czasie zgodnie z wyrażeniem
   logarytmujemy obustronnie wyrażenie
   i otrzymujemy liniową funkcję czasu
   , gdzie
   . Z danych doświadczalnych obliczamy
   i wykonujemy wykres w zależności od czasu t. Wykres można wykonać stosując programy komputerowe.

5. Po zaznaczeniu błędów na wykresie obliczamy współczynnik nachylenia tego wykresu oraz błąd współczynnika nachylenia A ± ΔA metodą najmniejszych kwadratów.

6. Obliczamy stałą czasową τ ± Δτ dla każdej pojemności kondensatora.

(Stałą czasową τ ± Δτ można także wyznaczyć z wykresu stycznej do wykresu I(t) w dowolnym punkcie t_s. Warto zauważyć, że dla dowolnego czasu t_s, odcinek na osi odciętych Δt = t_w - t_s zawarty między rzutem punktu styczności t_s na oś t, a punktem t_w przecięcia stycznej z osią t, ma długość τ).

7. Wykonujemy wykres stałej czasowej τ w funkcji pojemności kondensatora.

8. Przy pomocy stałej czasowej τ ± Δτ i pojemności kondensatorów C obliczamy opór elektryczny R ± ΔR, przez który rozładowuje się kondensator.

9. Pojemność nieznanego kondensatora C_X ± ΔC_X można obliczyć przy pomocy stałej czasowej τ _X ± Δτ_X i wyznaczonego w punkcie h) oporu R ± ΔR.

10. Błędy obliczamy metodą propagacji niepewności uwzględniając dokładność/błąd pomiaru/odczytu zmierzonych parametr*w.

11. Wyniki zbieramy w tabeli podając ładunek naładowanego kondensatora Q ± ΔQ, ładunek obliczony Q = UC, współczynnik nachylenia A ± ΔA, opór rozładowania R ± ΔR, pojemność nieznanego kondensatora C_X ± ΔC_X.

12. Jeżeli poprzednie wyniki nie zostały opatrzone odpowiednim komentarzem, sprawozdanie kończymy podsumowującymi wnioskami i porównaniem z przewidywaniami.

Drgania relaksacyjne

1. Wykonujemy wykresy okresu drgań relaksacyjnych T w funkcji pojemności C kondensatora dla różnych napięć ε. Wykresy można wykonać stosując programy komputerowe.

2. Po zaznaczeniu błędów ΔT i ΔC obliczamy współczynniki nachylenia B ± ΔB wykresów T(C) dla różnych napięć ε.

3. Przy pomocy współczynników nachylenia B, napięcia progowego diaka U_P oraz przyłożonego napięcia ε obliczamy opór elektryczny R ± ΔR, przez który ładuje się kondensator.

4. Wykonujemy wykres okresu drgań relaksacyjnych T w funkcji
   .

5. Uwzględniając błędy ΔT i
   obliczamy współczynniki nachylenia D ± ΔD wykresów T w funkcji
   .

6. Przy pomocy pojemności kondensatora C i współczynnika nachylenia D ± ΔD obliczamy opór elektryczny R ± ΔR, przez który ładuje się kondensator i porównujemy z punktem c).

7. Jeżeli poprzednie obliczenia, wykresy i ewentualnie tabele nie zostały opatrzone odpowiednim komentarzem, sprawozdanie kończymy podsumowującymi wnioskami.

8. Jaki warunek powinny spełniać opory R₁ i R₂, aby czasy ładowania i rozładowania były równe ?

8

Rys.1

y₀

y

tx

0

Rys. 2

I

R

−

+

ε

C

K

μA

Dzielnik napięcia

V

Rys.3

Sonda

oscyloskopu

R

−

+

ε

C

Diak

Dzielnik napięcia

T

Rys.4

t₂

t₁

t

U_G

ε

U_P

U

---