Gazy doskonałe i rzeczywiste. Lotność.
ZADANIA
Odgazowane naczynie zawiera resztki argonu pod ciśnieniem 10-3 Pa w temperaturze 320K. Obliczyć a) liczbę cząsteczek w jednostce objętości, b) średnią drogę swobodną, c) średni czas między zderzeniami. Średnica cząsteczki argonu d = 0,29 [nm], stała Boltzmanna k = 1,38⋅10-23 [kg⋅m2⋅s-2⋅K-1]. MAr = 39,9 [g/mol].
Rozwiązanie.
a) Liczbę cząsteczek w jednostce objętości (Ncz.) obliczamy dzieląc liczbę cząsteczek w jednym molu gazu doskonałego (NA - liczba Avogadra) przez jego objętość molową (Vm), którą można obliczyć dla danych warunków ciśnienia i temperatury z równania Clapeyrona
(1)
b) Średnią drogę swobodną obliczamy posługując się równaniem (2)
(2)
c) Średni czas między zderzeniami jest to czas, w którym cząsteczka poruszająca się ze średnią prędkością przebędzie średnią drogę swobodną
(3)
____________________________________
Ilu zderzeniom w temperaturze 25 [0C] w ciągu 1 [s] ulega pojedynczy atom argonu gdy ciśnienie wynosi a) 10 bar, b) 1 bar. Średnica atomu argonu wynosi 0,29 [nm]. Stała Boltzmanna kB = 1,38⋅10-23 [J ⋅ K-1], MAr = 39,9 [g/mol].
Rozwiązanie.
Liczbę zderzeń jednej cząsteczki w ciągu jednej sekundy przedstawia wyrażenie(3.3). Występującą tam liczbę cząsteczek zawartych w objętości jednostkowej można obliczyć za pomocą wyrażenia
(1a)
(4)
Wyniki wskazują że częstość zderzeń jest wprost proporcjonalna do ciśnienia gazu.
_____________________________________
Naczynie o objętości 4,157 dm3 zawiera 3,0115⋅1023 cząsteczek argonu przy czym ciśnienie w naczyniu wynosi 1 bar. Obliczyć jaka jest temperatura gazu i ile wynosi średnia prędkość kwadratowa cząsteczek. Obliczyć także jaka w tej temperaturze byłaby średnia prędkość kwadratowa cząsteczek helu. MHe = 4,003 [g/mol], MAr = 39,9 [g/mol].
Rozwiązanie.
Zakładając, że argon jest gazem doskonałym obliczamy temperaturę z równania Clapeyrona
(5)
Średnią szybkość kwadratową argonu obliczamy za pomocą wyrażenia
(6)
a średnią szybkość kwadratową helu podobnie
Wynika stąd, że stosunek średnich szybkości kwadratowych jest odwrotnie proporcjonalny do pierwiastków mas molowych poszczególnych gazów w danej temperaturze.
_____________________________________
Obliczyć ciśnienie 1 kmola wodoru zajmującego objętość 0,448 [m3] w temperaturze T = 273 [K]: a) przyjmując równanie stanu gazu doskonałego, b) równanie Van der Waalsa.
Rozwiązanie.
a)
b)
Uwaga: stałe równania Van der Waalsa należy wziąć z tablic fizykochemicznych.
________________________________
Etan (C2H6) zamknięty w butli o objętości 2 dm3 w temp. 57 oC ma gęstość 0,075 [g/cm3]. Obliczyć ciśnienie tego gazu stosując : a) równanie gazu doskonałego i b) równanie van der Waalsa, oraz porównać otrzymane wyniki. Stałe: R = 8,314 [J⋅mol-1⋅K-1], a = 5,562 [bar (dm3/mol)2]; b = 0,0638⋅[dm3/mol]
Rozwiązanie.
Zadania tego typu najwygodniej jest rozwiązywać obliczając najpierw objętość molową gazu w podanych warunkach. W tym przypadku jest ona równa stosunkowi masy molowej (M) do gęstości gazu (ρ):
a) z równania Clapeyrona
b) z równania van der Waalsa
Wyniki znacznie się różnią co związane jest głównie z dużą wartością stałej a.
__________________________________
32 g N2 zajmuje objętość 1, 12 dm3 w temp. 30 oC. Obliczyć ciśnienie tego gazu stosując: a) równanie gazu doskonałego, b) równanie van der Waalsa i porównać otrzymane wyniki.
Rozwiązanie.
______________________________________
Temperatura krytyczna i ciśnienie krytyczne argonu wynoszą odpowiednio Tkr = 151,0 [K], pkr = 4,86 [MPa]. Obliczyć stałe Van der Waalsa i promień cząsteczki argonu.
Rozwiązanie.
Temperatura krytyczna i ciśnienie krytyczne są współrzędnymi punktu przegięcia na izotermie Van der Waalsa. Wyliczając ciśnienie jednego mola gazu z równania Van der Waalsa, otrzymujemy:
Z właściwości punktu przegięcia wynika, że pierwsza i druga pochodna ciśnienia względem objętości są równe zeru:
;
Z powyższych wyrażeń można wyznaczyć związki pomiędzy stałymi równania Van der Waalsa a parametrami krytycznymi.
Vk =3b Tk = 8a/27Rb pk = a/27b2
Znając wartości, parametrów krytycznych obliczamy wartości stałych Van der Waalsa:
a = 27R2T2/(64pk) b = RTk/8pk
a = 0,136 [N⋅m4/mol2] b = 3,22⋅10-5 [m3/mol]
Objętość własna cząsteczek 1 mola argonu jest równa wartości stałej b, a zatem objętość jednej cząsteczki
VAr = b/NA = 5,346⋅10-23 [cm3/cz.]
NA -liczba Avogadra.
Przyjmując, że jednoatomowa cząsteczka argonu jest kulą, obliczamy jej promień (4/3) π r3 = VAr stąd r = 2,337⋅10-8 [cm]
________________________________________
Dla wysokich temperatur i ciśnień równanie stanu gazu może przybrać postać: pV = RT + bp. Obliczyć lotność azotu w temperaturze 1000 [K] i pod ciśnieniem 100 [MPa] przyjmując, że b = 39 [cm3/mol].
Rozwiązanie.
Lotność czystego gazu przy T = const., oblicza się z zależności wynikającej z równań (3.14 - 3.16):
Vrz - oznacza objętość molową gazu rzeczywistego a Vd - objętość molową gazu doskonałego.
Z podanego równania wirialnego
; a z równania Clapeyrona
;
a więc Vrz - Vd = b . Stąd
= 0,469
f/p = 1,598, f = 1,598* 100 [MPa] = 159,8 [MPa]
_____________________________________________
Obliczyć współczynnik lotności ditlenku węgla w temperaturze 40 oC i pod ciśnieniem 80 i 160 [bar] korzystając z równania Van der Waalsa i parametrów krytycznych pkr = 7,40 [MPa], Tkr = 304.2 [K].
Rozwiązanie.
Współczynnik lotności jest to stosunek lotności do ciśnienia, a więc
Objętość molową gazu doskonałego wyliczamy z równania Clapeyrona
, a objętość molową gazu rzeczywistego z równania Van der Waalsa
Ponieważ jest to równanie trzeciego stopnia względem V wymagające stosowania metod iteracyjnych, posługujemy się jego postacią uproszczoną powstałą przez podstawienie zamiast iloczynu pV iloczynu RT z równania stanu gazu doskonałego:
po podstawieniu do równania na współczynnik lotności i scałkowaniu otrzymujemy
Wykorzystując związki między parametrami krytycznymi a stałymi Van der Waalsa, można powyższe równanie przedstawić za pomocą parametrów zredukowanych pr, Tr i Vr :
Po obliczeniach otrzymujemy
Tr = 1,029 a) pr80 = 1,081 b) pr160 = 2,162
φ80 = 0,76 b) φ160 = 0,62
________________________________________________
Obliczyć współczynnik lotności amoniaku w temperaturze 473 [K] pod ciśnieniem 10 i 40 [MPa] korzystając z równania Berthelota i parametrów punktu krytycznego amoniaku : pk = 11,30 [MPa], Tk = 406 [K].
Rozwiązanie. -------SKRYPT
Równanie Berthelota jest pewnym ulepszeniem równania Van der Waalsa polegającym na uniezależnieniu stałej a od temperatury:
Równanie to można przedstawić w wygodnej uproszczonej postaci zawierającej parametry krytyczne:
Współczynnik lotności można również obliczyć posługując się współczynnikiem kompresji (3.16):