PYTANIE 4

4.1. Równanie Schrodingera dla jednowymiarowej nieskończonej studni potencjału.

Studnia kwantowa to jednowymiarowy potencjał w kształcie studni powodujący ograniczenie cząstek w jednym wymiarze przez bariery potencjału. W zależności od kształtu funkcji potencjału mamy do czynienia z różnymi rodzajami studni kwantowych.

Nieskończona studnia kwantowa

Nieskończona studnia kwantowa jest obiektem teoretycznym. Potencjał bariery jest nieskończony, czyli cząstka o żadnej energii nie może przeniknąć w głąb bariery.

Cząstka w nieskończonej studni kwantowej nie może posiadać dowolnej energii, a jedynie energie postaci (poziomy energetyczne):

gdzie n jest dowolną liczbą naturalną,
- stałą Plancka podzieloną przez 2π, m - masą cząstki, a - szerokością studni

Przeprowadzimy jakościową analizę rozwiązania równania Schrődingera zastosowanego do cząstki znajdującej się nieskończenie głębokiej jednowymiarowej jamie potencjału. Taka „jama” opisana jest energią potencjalną w postaci (dla prostoty załóżmy, że cząstka porusza się wzdłuż osi x)

gdzie l - szerokość jamy, a energia liczona jest względem jej dna (patrz rysunek).

Równanie Schrődingera w przypadku jednowymiarowego zadania można zapisać w postaci

.

Ze względu na warunek o nieskończenie wysokich ściankach, cząstka nie jest w stanie przeniknąć poza granice bariery potencjału, dlatego też prawdopodobieństwo znalezienia jej poza granicami ścianek (a w związku z tym funkcja falowa) jest równe zeru. Na granicach jamy (dla x = 0 i x = l) ciągła funkcja falowa także powinna przybierać wartość równą zeru. W rezultacie, warunki graniczne w tym przypadku mają postać:

W obszarze jamy (
) równanie Schrődingera sprowadzi się do równania

lub

,

gdzie

.

Ogólne rozwiązanie równania różniczkowego ma postać:

.

Ponieważ
, to B = 0.

Wtedy:

.

Warunek
jest spełniony tylko dla
, gdzie n - liczy całkowite, tzn. musi być spełniony warunek

.

Z wyrażeń wynika:

,

Oznacza to, że równanie Schrődingera, opisujące ruch cząstki w nieskończenie głębokiej jamie potencjału, jest spełnione tylko dla własnych wartości energii E_n, zależnych od liczby całkowitej n. W związku z tym, energia E_n cząstki w nieskończenie głębokiej jamie potencjału nie może mieć wartości dowolnych, ale przyjmuje określone dyskretne wartości, tzn. jest skwantowana. Skwantowane wartości energii E_n nazywane są poziomami energii, a liczba n, określająca poziomy energetyczne nazywa się liczbą kwantową. Tak więc, cząstka w nieskończenie głębokiej studni potencjału może znajdować się tylko na określonym poziomie energetycznym E_n, lub inaczej, cząstka może znajdować się określonym stanie kwantowym n.

Podstawiając wartość k możemy znaleźć funkcje własne:

.

Stałą całkowania A można określić z warunku normalizacji, który w tym przypadku można zapisać w postaci:

.

W wyniku scałkowania otrzymujemy
, a funkcje własne będą miały postać

(n = 1, 2, 3, ...)

Wykresy funkcji własnych odpowiadające poziomom energii dla n = 1, 2, 3, przedstawione są na powyższym rysunku. Na rysunku b przedstawiona jest gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w odległości x od ścianki jamy, która równa jest
dla n = 1, 2, 3. Z rysunku wynika, że na przykład w kwantowym stanie o n = 2, cząstka nie może znajdować się w środku jamy. Takie zachowanie cząstki pokazuje, że opisywanie położenia cząstki w mechanice kwantowej za pomocą trajektorii jest nieadekwatne.

Z równań wynika, że przerwa energetyczna między dwoma stanami energetycznymi jest równa:

.

4.2 Równanie Schrodingera dla jednowymiarowej skończonej studni potencjału.

W skończonej prostokątnej studni kwantowej potencjał bariery przyjmuje skończoną wartość i zmiana potencjału następuje skokowo.

W przypadku skończonej studni kwantowej również następuje dyskretyzacja energii, przy czym w studni musi się znajdować przynajmniej jeden poziom energetyczny.

Studnia potencjału o głębokości Uo.

Równania Schrodingera ma postać:

Równanie Schrodingera rozwiązujemy dla trzech obszarów. Wyniki zbliżone są do wyników, jak dla nieskończonej studni, lecz:

•fale materii wnikają w ściany studni

•energie dla każdego stanu są mniejsze niż w ∞

•elektron o energii większej od U0 nie jest zlokalizowany, jego energia nie jest kwantowana,

Wykresy funkcji własnych przedstawia poniższy rysunek.

4.3 Przechodzenie cząstki przez barierę potencjału. Efekt tunelowy.

Rozważmy barierę potencjału o najprostszym prostokątnym kształcie (rysunek powyżej) i ruch cząstki w kierunku osi x. Taką barierę potencjału o wysokości U i szerokości l możemy przedstawić w postaci:

W danych warunkach cząstka klasyczna, posiadająca energię E, albo bez przeszkód przechodzi nad barierą potencjału (dla E > U), albo odbije się od niej (dla E < U) i będzie poruszać się w przeciwnym kierunku, co oczywiście oznacza, że nie jest ona w stanie przeniknąć przez barierę. Jednak w przypadku mikrocząsteczki nawet dla E > U istnieje większe od zera prawdopodobieństwo, że cząstka odbije się od bariery i będzie poruszać się w kierunku odwrotnym. Dla E < U istnieje także różne od zera prawdopodobieństwo, że cząstka znajdzie się w obszarze x > l, tzn. przeniknie przez barierę. Tego typu, wydawało by się paradoksalne wyniki, wynikają bezpośrednio z równania Schrődingera, opisującego ruch mikrocząstki w przedstawionych warunkach.

Równanie Schrődingera dla każdego z wydzielonego na rysunku obszaru ma postać

(dla obszarów 1 i 3;
),

(dla obszaru 2;
).

Ogólne rozwiązania tych równań różniczkowych mają postać

(dla obszaru 1);

(dla obszaru 2);

(dla obszaru 3).

Rozwiązanie dla obszaru 3 zawiera także fale (po pomnożeniu przez czynnik czasowy) rozchodzące w obie strony. Jednak w obszarze 3 istnieje tylko fala, która przeszła przez barierę i rozprzestrzenia się tylko w dodatnim kierunku osi x. Dlatego współczynnik B₃ we tym wzorze należy przyrównać do zera.

W obszarze 2 rozwiązanie zależy od tego czy E > U, czy E < U. Fizyczne znaczenie ma przypadek, gdy całkowita energia cząstki jest mniejsza od wysokości bariery potencjału, ponieważ przy E < U prawa klasycznej fizyki w sposób jednoznaczny nie pozwalają przeniknąć cząstce przez barierę potencjału. W danym przypadku
- liczba urojona, gdzie:

Uwzględniając wartości q, A₁ = 1 i B₃ = 0, otrzymujemy rozwiązanie równania Schrődingera dla tych trzech obszarów w postaci:

(dla obszaru 1),

(dla obszaru 2),

(dla obszaru 3).

W obszarze 2 funkcja powyższa nie odpowiada już falom płaskim, rozchodzącym się w obu kierunkach, ponieważ wykładniki funkcji eksponencjalnych nie są urojone, a rzeczywiste. B₂ także należy przyjąć jako równe zeru z powodu warunku skończoności nakładanego na funkcję falową.

Jakościowe postacie funkcji ψ₁(x), ψ₂(x) i ψ₃(x) przedstawione są na rysunku b. Z rysunku wynika, że funkcja falowa nie jest równa zeru wewnątrz bariery, a w obszarze 3, jeżeli bariera nie jest zbyt szeroka, znów będzie miała postać fali de Broglie'a o tym samym pędzie, tzn. z tą samą częstością, ale mniejszą amplitudą. W rezultacie, otrzymaliśmy, że cząstka ma różne od zera prawdopodobieństwo przejścia przez barierę potencjału o skończonej szerokości.

W ten sposób, mechanika kwantowa prowadzi do zasadniczo nowego zjawiska zwanego efektem tunelowym, w wyniku którego mikrocząstka może przejść na drugą stronę bariery potencjału.

W celu opisania efektu tunelowego wykorzystuje się pojęcie współczynnika transmisji D bariery potencjału, który jest równy stosunkowi natężenia przechodzącego przez barierę do natężenia przechodzącego. Obliczenia pokazują, że współczynnik transmisji dla prostokątnej bariery potencjału ma postać

,

gdzie U - wysokość bariery potencjału, E - energia cząstki, l - szerokość bariery. Z wyrażenia 11.48 wynika, że D silnie zależy od m masy cząstki, szerokości bariery l i od (U - E), im szersza bariera potencjału tym mniejsze prawdopodobieństwo przejścia cząstki przez barierę.

Dla bariery potencjału dowolnego kształtu (rysunek powyżej):

,

gdzie U = U(x).

Z klasycznego punktu widzenia przechodzenie cząstki przez barierę potencjału, gdy E < U przeczy zasadzie zachowania energii. Rzecz polega na tym, że jeżeli klasyczna cząstka znajdowała by się w jakimś punkcie wewnątrz bariery, to jej całkowita energia okazała by się mniejsza od jej energii potencjalnej, co oczywiście jest niemożliwe. Z kwantowego punktu widzenia nie ma takiej sprzeczności. Jeżeli cząstka porusza się w stronę bariery, to do zderzenia z barierą ma ona ściśle określoną energię. Jeżeli oddziaływanie z barierą trwa przez czas Δt, to, zgodnie z zasadą nieoznaczoności, energia cząstki w stanie oddziaływania z barierą nie będzie już ściśle określona, a będzie charakteryzować się nieokreślonością
. Jeżeli ta nieokreśloność jest rzędu wysokości bariery, to przestaje ona być przeszkodą nie do pokonania i cząstka „przejdzie” przez barierę.

Tunelowe przechodzenie przez barierę potencjału leży u podstaw wielu zjawisk fizyki ciała stałego (na przykład zjawiska w warstwie kontaktowej półprzewodników), fizyki atomowej i jądrowej (na przykład rozpad α, zachodzenie reakcji termojądrowych).

b)

a)

b)

(













>













,

,

,

0

,

0

,

0

,

l

x

l

x

x

x

U

---