PROGNOZA PRZYCHODÓW DAEWOO DLA GENERAL MOTORS

W związku z planowanym przejęciem DAEWOO przez amerykański koncern General Motors i sprzedażą jej samochodów pod logo Chewrolet, GM chce poznać jakie będą prognozowane przychody tej firmy w 2004 roku.

W celu poznania wielkości przychodów ze sprzedaży samochodów w 2004 roku należy skonstruować prognozę. Skonstruowana ona zostanie na podstawie uzyskanych dotychczas półrocznych danych o przychodach tej firmy. Prognoza zostanie skonstruowana na kolejne półrocza 2004 roku i nie powinna być opatrzona większym niż 10% błędem. Należy również wykonać prognozę przedziałową z prawdopodobieństwem 90%.

W 2004 roku przewidywany jest wzrost sprzedaży samochodów tej firmy z uwagi na jej kampanię, celem której jest zbudowanie wizerunku samochodów DAEWOO jako bezawaryjnych i niedrogich.

Poniższa tabela przedstawia przychody ze sprzedaży DAEWOO na świecie w mln USD.

ROK	1996		1997		1998		1999
Sprzedaż (tys. szt.)	8,6	11,8	12,1	15,9	20,6	25,4	31	40
ROK	2000		2001		2002		2003
Sprzedaż (tys. szt.)	54	66	72	82	96,5	108,5	142	170

Graficznie sprzedaż kształtowała się następująco:

Dotychczas przychody zdecydowanie rosły - trend rozwojowy oraz wahania przypadkowe.

Przy wyznaczaniu prognozy na 2004 rok przyjmiemy postawę pasywną status quo, że nic się nie zmieni i przychody dalej będą rosły. Wykorzystamy metodę modelu analitycznego z tendencją rozwojową, w celu wyboru postaci analitycznej modelu charakteryzującej tendencję rozwojową posłużymy się kryterium największego współczynnika determinacji R².

Sprawdzamy wartość współczynnika determinacji dla funkcji liniowej i wykładniczej, ponieważ ocena wzrokowa nie pozwala ustalić czy wzrost ten jest stały, na początku był szybszy a następnie wolniejszy lub na odwrót.

1. LINIOWY

2. WYKŁADNICZY

Funkcja	LINIOWA	WYKŁADNICZA
R^2=	0,9016	0,9909

Jak widzimy, największa wartość współczynnika determinacji została uzyskana dla postaci wykładniczej. Wartość ta informuje nas, że w 99,09 % model trendu jest dopasowany do danych empirycznych (opisał rzeczywistość).

Należy sprowadzić wykładniczą postać trendu do postaci liniowej w celu oszacowania parametrów.

FUNKCJA	WYKŁADNICZA	LINIOWA
POSTAĆ ANALITYCZNA	y = e^a + bt	y = a + bt

Transformacja liniowa:

y = e^{a + bt} / ln

lny = (a + bt) * lne => lne = 1

lny = a + bt

Za „lny” podstawimy zmienną pomocniczą „z”.

lny = z

Liniowa postać funkcji:

z = a + bt

Szacujemy wartości zmiennej pomocniczej i sprawdzimy czy jest zależność liniowa pomiędzy z i t.

t	y	z	t	y	z
1	8,6	2,15	9	54	3,99
2	11,8	2,47	10	66	4,19
3	12,1	2,49	11	72	4,28
4	15,9	2,77	12	82	4,41
5	20,6	3,03	13	96,5	4,57
6	25,4	3,23	14	108,5	4,69
7	31	3,43	15	142	4,96
8	40	3,69	16	170	5,14

Wyraźnie istnieje liniowa zależność, co oznacza, że postać liniowa z = ax +b jest dobra.

Szacowanie parametrów liniowej postaci trendu.

b= a = z -b ∙ t

t	zt	(t-t)^2	(t-t)zt
1	2,15	56,25	-16,14
2	2,47	42,25	-16,04
3	2,49	30,25	-13,71
4	2,77	20,25	-12,45
5	3,03	12,25	-10,59
6	3,23	6,25	-8,09
7	3,43	2,25	-5,15
8	3,69	0,25	-1,84
9	3,99	0,25	1,99
10	4,19	2,25	6,28
11	4,28	6,25	10,69
12	4,41	12,25	15,42
13	4,57	20,25	20,56
14	4,69	30,25	25,78
15	4,96	42,25	32,21
16	5,14	56,25	38,52
8,5	3,72	340	67,45
⇑ ŚREDNIA ⇑		⇑ SUMA ⇑

b = 0,198 a = 2,031

Oszacowany model liniowy ma postać:

z = 2,031 + 0,198t

Model pierwotny wykładniczy ma postać:

y_t = e^{2,031 + 0,198t}

PROGNOZA NA 2004 ROK (czyli 17 i 18 okres, oba półrocza)

y₁₇ = e^{2,031 + 0,198 * 17}

y₁₇ = 222,15 mln USD

y₁₈ = e^{2,031 + 0,198 * 18}

y₁₈ = 270,89 mln USD

Według prognozy przychody ze sprzedaży aut DAEWOO w 2004 roku, sumując oba półrocza, będą wynosiły 493,04 mln USD.

OCENA DOPUSZCZALNOŚCI PROGNOZY

Dopuszczalność ocenimy przy użyciu względnego błędu ex ante dla modelu nieliniowego sprowadzalnego do liniowego.

Względny błąd ex ante:

η_t =

Bezwzględny błąd ex ante dla modelu nie liniowego sprowadzalnego do liniowego:

^0,5

^V_t=

- pochodna transformanty liniowej y. Dla lny =

v'_t² - wariancja prognozy dla transformanty y w okresie t.

v '_t² = ∑ x²_it*D²(a_i)+2∑∑ x_it*x_jt*cov(a_i,a_j)+s²

Należy wyznaczyć macierz wariancji i kowariancji ocen parametrów.

D²(a_i) = (X^TX)^-1*s²

s=	0,093
s^2=	0,009
(X^TX)^-1 =		0,275		-0,025
				-0,025		0,002941

D^2(ai) =	0,002403	-0,00022
		-0,00022	2,57E-05

	OKRESY (t)
	17	η* =	18
v 't^2 =	0,0111			0,3174
^Vt =	19,652			23,956
ηt =	8,85%	< 10% >	8,85%

Obie wartości względnego błędu ex ante są mniejsze od wartości krytycznej, a więc prognozy są dopuszczalne.

PROGNOZY PRZEDZIAŁOWE

P{y^*_t - u⋅v_t ≤ y_t ≥ y^*_t + u⋅v_t }=p

_0,5

u =

p - zadane prawdopodobieństwo.

	17	PROGNOZA PRZEDZIAŁOWA	DO	296,29	18	PROGNOZA PRZEDZIAŁOWA	DO	361,31
y^*t =	222,15										270,89
u =	3,1623								OD	148	3,1623		OD	180,48
vt =	19,652										23,956

Z prawdopodobieństwem 90% przychody DAEWOO w 2004 roku powinny się kształtować pomiędzy 328,48 mln USD., a 657,60 mln USD.

WNIOSKI

Dzięki oszacowanej prognozie General Motors będzie wiedziało, na jakie zyski może liczyć przejmując DAEWOO.

W 2004 roku przychody ze sprzedaży powinny kształtować się w przedziale od 328,48 mln USD do około 657,60 mln USD z prawdopodobieństwem 90%.

Jest to dość duży przedział, więc firma powinna zwrócić uwagę również na prognozę punktową, która jest obarczona niespełna 9% Bledem i wskazuje na przychody ze sprzedaży wynoszące 493,04 mln USD (222,15 w pierwszym półroczu i 270,89 mln USD w drugim półroczu).

9

∑ (t - t )z_t

∑( t - t )²

V_t

_—

y_t*

v'_t²

dy' 2

dy

dy'

dy

1

1 - p

1

y

---