I. Rozwiązywanie małych trójkątów sferycznych:

Powierzchnię kulistą - nazywamy miejsce geometryczne punktów równooddalonych od jednego punktu zwanego środkiem kuli. Przekrój powierzchni kulistej płaszczyzną jest KOŁEM. Jeżeli płaszczyzna tworząca przechodzi przez środek kuli to przekrój nazywamy KOŁEM WIELKIM; w innym przypadku przekrój jest KOŁEM MAŁYM.

Odcinek łuku koła wielkiego przechodzącego przez dwa punkty nazywamy SFERYCZNĄ (kulistą) ODLEGŁOŚCIĄ tych dwóch punktów. Jest to odległość najkrótsza po powierzchni kuli między dwoma punktami

Trójkąt sferyczny - jeżeli trzy dane punkty leżące na sferze (powierzchni kulistej) połączymy łukami kół wielkich t część sfery ograniczoną tymi łukami nazywamy trójkątem sferycznym. Elementami trójkąta sferycznego są jego boki i kąty. Jeżeli dane są trzy elementy trójkąta sferycznego to pozostałe jego elementy możemy znaleźć, czyli możemy rozwiązać trójkąt sferyczny, przez zastosowanie odpowiednich wzorów ścisłych. Jednak rozwiązywanie metodami ścisłymi trójkątów sferycznych sprawiło by sporo kłopotów rachunkowych. Więc jeżeli ma się do czynienia z trójkątami o małych bokach to przez wprowadzenie pewnych uproszczeń zadanie sprowadza się do rozwiązania trójkąta na płaszczyźnie.

Rozwiązać trójkąt sferyczny tzn znaleźć 3 kąty i 3 boki

Do tego celu służą: Metoda Legendre'a oraz metody additamentów.

Metoda Legendre'a:

1. zakładamy że będziemy rozpatrywać trójkąt sferyczny o kątach A, B, C i bokach a, b, c , które są małe w stosunku do promienia kuli R.

Twierdzenie Legendre'a mówi, że każdy z kątów trójkąta sferycznego jest o 1/3 ekscesu większy od odpowiedniego kąta trójkąta płaskiego o tych samych długościach boków.

A - A' = 1/3 E ; A, B, C - trójkąt sferyczny

B - B' = 1/3 E ; A', B', C' - trójkąt płaski

C - C' = 1/3 E

W trójkącie płaskim suma kątów wewnętrznych trójkąta wynosi 180°. Tej zależności nie spełniają kąty trójkąta sferycznego których suma jest zawsze większa od 180°. Nadwyżkę sumy kątów trójkąta sferycznego ponad 180° nazywamy NADMIAREM SFERYCZNYM lub EKSCESEM SFERYCZNYM i oznaczamy grecką literą E

E = A + B + C - 180° ; E = , gdzie P = pole trójkąta sferycznego

W metodzie Legendre'a zamiast trójkąta sferycznego rozwiązuje się trójkąt plaski o bokach tej samej długości jak boki trójkąta sferycznego a którego wszystkie kąty są równe odpowiednim kątom sferycznym zmniejszonym 1/3 ekscesu. Metodą Legendre'a możemy stosować w przypadku gdy boki trójkąta sferycznego są mniejsze od 30km.

Dane: A', B', C' ; a ; R = 6371km

1) S = A' + B' + C' , 2) 180° - S = E + w , 3) E = p - pole trójkąta sferycznego , 4) w = 180° - S - E , 5) A = A' - 1/3w, B = B' - 1/3w, C = C' - 1/3w , 6) Ap = A - 1/3E, Bp = A - 1/3E, Cp = A - 1/3E , 7) n = a / sinAp , 8)b = n* sinBp, c = n * sinCp

Metoda additamentów (Soldnera) - zamiana trójkąta sferycznego na trójkąt płaski w tej metodzie polega na pozostawieniu kątów sferycznych niezmienionych, zaś boki trójkąta płaskiego uzyskuje poprzez dodanie do boków trójkąta sferycznego ADDITAMENTÓW LINIOWYCH.

1) δa = a^3 / 6R^2 , a' = a - δa , 2) b' = a'sinBp / sinAp , c' = a'sinCp / sinAp , 3) δb = (b')^3 / 6R^2 ⇒ b = b' + δb , δc = (c')^3 / 6R^2 ⇒ c = c' + δc

II. Współrzędne geodezyjne:

1) powierzchnia odniesienia: płaszczyzna; ukł współrzędnych: współrzędne prostokątne X,Y,H; metody rozwiązywania zadań geodezyjnych: trygonometria płaska

2) pow odnieś.: sfera (kula); ukł wsp: współrzędne geograficzne ϕ - szerokość, λ - długość, h - wysokość sferyczna; met rozw: trygonometria sferyczna

3) pow odnieś: elipsoida obrotowa; ukł wsp: współrzędne geodezyjne B - szerokość, L - długość, h - wysokość elipsoidalna; met rozw: metody przybliżone

4) pow odnieś: geoida; ukł wsp: współrzędne astronomiczne ϕa - szerokość, λa - długość, H - wysokość nad geoidą

Południki - koła wielkie zawierające oba bieguny kuli ziemskiej

Równoleżniki - koła które powstają przez przecięcie sfery płaszczyznami prostopadłymi do płaszczyzn południków

Równik - koło wielkie które powstaje przez przecięcie sfery płaszczyzną prostopadłą do płaszczyzn południków i zawierającą środek kuli (sfery)

(RYSUNEK)

Szerokość i długość punktu P:

B - szerokość geodezyjna jest to kąt zawarty między normalną do elipsoidy w punkcie P a płaszczyzną równika

L - długość geodezyjna jest to dwuścienny zawarty między płaszczyzną południka początkowego a płaszczyzną południka przechodzącego przez punkt P

Równanie południka punktu P: + = 1

III. Elipsoida obrotowa:

(Rysunek)

1) równanie powierzchni elipsoidy: + + = 1

2) parametry:

a) spłaszczenie: α =

b) mimośród I : e^2 =

c) mimośród II : e'^2 =

X = u cosL ; Y = u sinL ; Z =

(Rysunek)

r = N * cosB

u = r - promień równoleżnika

u =

N - promień przekroju normalnego

N =

M - promień przekroju południka (promień krzywizny łuku południka)

M =

Q - średni promień krzywizny

Q =

X = N cosB cosL ; Y = N cosB cosL ; Z = N(1 - e^2)sinB

Przez punkt P leżący na danej regularnej powierzchni można poprowadzić tylko jedną prostopadłą do tej powierzchni. Jest to normalna n. Wszystkie płaszczyzny zawierające normalną n przecinają daną powierzchnię wzdłuż krzywych zwanych przekrojami normalnymi.

Długość łuku południka: S = Mśr * ( B2 - B1)

Długość łuku równoleżnika: ΔS = r * ΔL = N cosB * ΔL = N * cosB(L2 - L1)

Równoleżnik jest kołem o promieniu r = N * cosB

Twierdzenie Clairauta - dane są dwa punkty na powierzchni elipsoidy obrotowej. Ich najkrótszym połączeniem jest linia geodezyjna. W każdym punkcie linii geodezyjnej iloczyn promienia równoleżnika i sinusa azymutu linii geodezyjnej jest stały: r1 * sinA1 = r2 * sinA2 = … = C

IV. Metody obliczania współrzędnych na powierzchni elipsoidy obrotowej:

1) metody bezpośrednie - polegają one na rozwiązaniu trójkąta elipsoidalnego, którego dwa punkty są punktami: początkowym i końcowym linii geodezyjnej a punkt trzeci jest biegunem elipsoidy. ( P1, P2, B)

2) metody wykorzystujące szeregi potęgowe Legendre'a - polegają one na rozwinięciu w szereg Maclarina różnic ΔB, ΔL, ΔA względem parametru naturalnego czyli długości linii geodezyjnej S

B2 - B1= S + 1/2 *S^2 + …

L2 -L1 = S + 1/2 *S^2 + …

A2 - A1 = S + 1/2 *S^2 + …

Metoda średniej szerokości Gaussa polega na wprowadzeniu do szeregów potęgowych Legendre'a punktu o szerokości Bm odpowiadającej punktowi znajdującemu się w połowie długości linii geodezyjnej S między punktami P1 i P2.

3) metody wykorzystujące punkt pomocniczy - prowadząc przekrój normalny przez punkt P2 prostopadły do południka punktu P1 otrzymamy mały prostokątny trójkąt który rozwiązujemy na sferze o promieniu Q1 = - METODA CLARKE'A

4) metoda obliczania współrzędnych za pomocą cięciw elipsoidy (metoda Mołodeńskiego)

2 rysunki

V. Zadanie wprost - dotyczy obliczania współrzędnych geodezyjnych B2, L2 punktu P2 i azymutu A21 (odwrotnego) linii geodezyjnej gdy znane są współrzędne geodezyjne B1 i L1 punktu P1, długość linii geodezyjnej S12 oraz azymut A12 (wprost) pod jakim linia geodezyjna wychodzi z punktu P1

VI. Zadanie odwrotne - dotyczy obliczania długości linii geodezyjnej S12 łączącej na powierzchni elipsoidy dwa punkty o znanych współrzędnych P1(B1, L1) i P2(B2, L2) oraz obliczenia azymutów linii geodezyjnej - wprost A12 i dwrotnego A21

VII. Obliczanie współrzędnych geodezyjnych metodą Clarke'a:

1) zadanie wprost:

metoda Clarke'a - trójkąt sferyczny, niewielkie odległości (do 30km). Dysponując współrzędnymi punktu P1 obliczamy średni promień krzywizny elipsoidy w tym punkcie (Q1). Na kuli o takim promieniu rozwiązujemy mały prostokątny trójkąt sferyczny P1, P2', P2 , który powstał przez poprowadzenie przekroju normalnego w punkcie P2 prostopadłego do południka punktu P1

a) wyznaczamy nadmiar sferyczny w tym trójkącie E =

b) obliczamy przyprostokątne u i v; u = S12*cos(A12 - 2/3E) , v = S12*sin(A12 - 1/3E)

c) wyznaczamy szerokość B'2 punktu P'2; B'2 = B1 + , gdzie Ms - średni promień krzywizny łuku południka P1P'2

Ms = M(Bs)= , gdzie Bs = B1 + a M1 = MB1

d) obliczamy szerokość punktu P2: B2 = B'2 - * tanB'2 ; M'2 = M(B'2); N'2 = N(B'2)

e) obliczamy długość L2: L2 = L1 + * sec(B2 + 1/3 E1), gdzie E1 = B'2 - B2

f) obliczamy azymut A21; A21 = A12 ± 180° - γ - E, gdzie γ - kąt zbieżności południków = (L2 - L1)sin(B2 + 2/3E1)

VIII. Metoda średniej szerokości Guassa. Zadanie odwrotne - Gauss zaproponował w 1846r metodę obliczenia współrzędnych polegających na wykorzystaniu szeregów potęgowych Legendre'a w postaci gdzie pochodne względem parametru naturalnego S odnosi się do pewnego pomocniczego punktu Pm, usytuowanego w połowie linii geodezyjnej.

Spłaszczenie elipsoidy sprawia że współrzędne punktu Pm i azymut linii w tym punkcie są na ogół różne od wartości średnich. Zasadniczy problem polega na wyznaczeniu wartości pochodnych w punkcie Pm którego współrzędnych nie znamy. Dlatego Gauss zaproponował zastąpienie pochodnych w punkcie Pm rozwinięciem w szereg Taylora w otoczeniu punktu P . Ten sposób można stosować dla s dochodzącego do 200 km uzyskując dokładność obliczeń 0,0001” w szerokości i długości oraz 0,001” w azymucie. Ta metoda była stosowana do rozwiązania zadania odwrotnego geodezji wyższej. (rysunek)

= ; = ; =

IX. Współrzędne w odwzorowaniu Gaussa-Krugera . Układ „1942”

Odwzorowanie Gaussa - Krugera: a) odwzorowanie: równokątne, poprzeczne, walcowe; b) odwzorowanie elipsoidy obrotowej na pobocznicę walca; c) obrazem południka środkowego danego pasa jest odcinek linii prostej, a obrazami pozostałych południków są linie krzywe rozłożone symetrycznie względem obrazu południka środkowego; d) południk środkowy odwzorowuje się bez zniekształceń. Układ współrzędnych: Elipsoida obrotowa Krasowskiego: a) oś OX pokrywa z obrazem południka środkowego; b) oś OY pokrywa się z obrazem równika; c) pasy trzystopniowe; d) pasy sześciostopniowe: λ0 = 15° i λ0 = 21°

X. Odwzorowania:

1) azymutalne, walcowe, stożkowe; 2) normalne, ukośne, poprzeczne; 3) wiernokątne, wiernoodległościowe, wiernopolowe; 4) styczne, sieczne

XI. Odwzorowanie quasistereograficzne:

a) odwzorowanie: równokątne, normalne, azymutalne; b) odwzorowanie kuli na płaszczyznę. Płaszczyzna nie jest [Author ID1: at Wed Jun 30 16:26:00 1999 ]styczna do kuli tylko sieczne; c) występuje niewielkie zniekształcenie w pobliżu punktu głównego odwzorowania; d) odwzorowanie to jest szczególnie przydatne do przedstawienia obszarów których granice zbliżone są do okręgów; e) punkt główny - P0(B0, L0) powinien znajdować się w pobliżu środka odwzorowanego obszaru; f) południk przechodzący przez punkt główny to południk środkowy; g) południk środkowy odwzorowuje się jako odcinek linii prostej

XII. Układ 1965

a) początek układu znajduje się w obrazie punktu głównego; b) oś OX skierowana na północ pokrywa się z obrazem południka środkowego; c) oś OY jest prostopadła do niej i tworzy z osią OX układ prostokątny

układ 1965 - składa się z 5 stref odwzorowawczych. W 4 zastosowano odwzorowanie quasistereograficzne (I - IV), natomiast w jednej odwzorowanie Gaussa - Krugera (V). W każdej strefie obliczone są współrzędne prostokątne płaskie. Linie siatki współrzędnych (ΔX=40km;ΔY=64km) dzielą każdą układu na tzw sekcje podziałowe (1:100 000). Sekcje znajdujące się w jednym pionie to słupy numerowane z zach na wsch. Natomiast sekcje znajdujące się na jednym poziomie to pasy numerowane z północy na południe. Każdą sekcję oznacza się liczbą 3 cyfrową: 352 godło sekcji podziałowej (1: 100 000) gdzie (3) - numer strefy, (5) - numer pasa, (2) - numer słupa

XII. Pasy trzystopniowe w odwzorowaniu Gaussa - Krugera:

(rysunek) Pasy nachodzą się na siebie. Jest to tzw zakładka 20km (podwójne współrzędne). Pierwszą elipsoidą odniesienia była elipsoida Bessela z punktem przyłożenia w Borowej Górze. Zastąpiono ją elipsoidą Krasowskiego z punktem przyłożenia w Pułkowie.

XIV. Pasy sześciostopniowe w odwzorowaniu Gaussa - Krugera - do opracowań map topograficznych w skalach od 1:10 000 do 1:500 000 przyjęto odwzorowanie Gaussa - Krugera w pasach sześciostopniowych. Obszar Polski mieści się na dwóch pasach południkowych. Pas o południku osiowym λ0 = 15° ma numer 3, a pas o południku osiowym λ0 = 21° ma numer 4. Pasy te pokrywają się odpowiednio z sześciostopniowymi pasami południkowymi nr 33 i 34 Międzynarodowej Mapy Świata w skali 1:1 000 000

XV. Współrzędne cechowane:

X=x; Y = n*1 000 000 + 500 000 + y, gdzie n - cecha danego pasa n=; PASY: a) szczeciński Y=5500 000,00 , b) bydgoski Y=6500 000,00 , c) warszawski Y=7500 000,00 , d) białostocki Y=8500 000,00

XVI. Systemy wysokości:

(rysunek)

a) wysokość normalna - odległość punktu A od quasigeoidy; b) wysokość ortometryczna - odległość punktu A od geoidy; c) wysokość elipsoidalna - odległość punktu A od elipsoidy; d) anomalia wysokości - odległość geoidy od elipsoidy

System wysokości normalnych - powierzchnią odniesienia jest quasigeoida zawierająca w sobie poziom Morza Bałtyckiego

System wysokości ortometrycznych - powierzchnią odniesienia jest geoida (powierzchnia ekwipotencjalna zawierająca w sobie swobodny poziom mórz i oceanów)

XVII. Przyśpieszenie ciężkości (siły ciężkości) g - na każdy punkt materialny o masie m znajdujący się nad Ziemią lub na jej powierzchni działa siła przyciągania Ziemi, oraz siła odśrodkowa, skierowana prostopadle do osi obrotu. (jeżeli masa punktu jest jednostkowa m=1 to pojęcie siła i przyśpieszenie siły są sobie równoważne) Wypadkową tych sił nazywamy siłę ciężkości g = F + Q; gdzie: g - przyśpieszenie siły ciężkości; F - siła przyciągania Ziemi działająca na punkt o masie 1; Q - siła odśrodkowa w tym punkcie

Jednostki: 1cm/s^2 = 1 gal (gl) ; 10-3 cm/s^2 = 1 miligal (mgl) ; 10-6cm/s^2 = 1mikrogal (μgl)

F = ; gdzie G - stała grawitacji wyznaczona doświadczalnie ; M - masa ; r - promień

Q = w^2 * ρ; gdzie w - prędkość kątowa Ziemi ; ρ - odległość od osi obrotu

XVIII. Wysokość ortometryczna i poprawka ortometryczna - wysokość ortometryczna H punktu A jest to odległość tego punktu od geoidy jako powierzchni morza mierzona wzdłuż linii siły ciężkości: H= ;gdzie: W0 - potencjał na geoidzie ; WA - potencjał w punkcie A ; g- średnia wartość przyśpieszenia na odcinku H

(rysunek)

Poprawka ortometryczna:

P0 = * H+ * H- (Hi,i-1*Δgi)

H = HA = HB = 1 - ; gdzie: δ - gęstość w okolicy ciągu; δm - średnia gęstość skorupy Ziemi = 5,52 g/cm^3 ; HA i HB - wysokość z niwelacji (bez poprawek); R - średni promień ziemi 6370 000m ; Hi,i-1 = ½(Hi + Hi-1) ; Δgi = gi - gi-1 ; g - średnia wartość przyśpieszenia g=; m=4/3*ΠR^2*δm

XIX. Wysokość normalna i poprawka normalna - wysokość normalną H liczymy wzdłuż linii pionowej od quasigeoidy do danego punktu H= ; gdzie W0 - potencjał na quasigeoidzie; WA - potencjał w punkcie A; γ- przyśpieszenie normalne w środkowym punkcie na linii pionowej między quasigeoidą a punktem A

Poprawka normalna:

Pn = (γ- γ)*Hśr + (g0 - γ0) Δhi ; gdzie: γ - przyśpieszenie normalne; γ0(B)=978,038 (1+ 0,005302 (sinB)^2-0,000007 (sinB)^2 ; γśr = γ0(Bśr) - 0,1543Hśr ; Hśr = 1/2 (HA + HB) ; (g0 - γ0)śr= ; Δhi = hi - hi-1 ; g0=g + Sgf gdzie: Sgf = 0,308*Hśr

XX. Wysokość dynamiczna i poprawka dynamiczna - jeżeli we wzorze na wysokość normalną w miejsce przyśpieszenia normalnego w środkowym punkcie na linii pionowej między quasigeoidą a punktem A (γ) przyjmiemy wartość przyśpieszenia normalnego na elipsoidzie dla B=45° (γ) to otrzymamy wysokość dynamiczną punktu A

Wysokość dynamiczna - H= ; poprawka dynamiczna: Pd = *Δhi ; γ= γo(45°) ; Δhi= hi - hi-1 ; gi,i-1 = 1/2 (gi + gi+1)

XXI. Metoda Schreibera - metoda ta stosowana przy pomiarze kątów poziomych triangulacji głównej. Zaletą tej metody jest wysoka dokładność. Program obserwacji ułożony jest według następujących założeń: a) kąty na danym stanowisku mierzone są we wszystkich kombinacjach, b) pomiar każdego kąta wykonywany jest na innym miejscu limbusa, c) waga kąta wyrównanego równa się 12 a kierunku wyrównanego 24

Program obserwacji: 1) ilość kierunków n, 2) ilość kątów do pomierzenia n-1, 3) ilość grup kątów niezależnych: a) n jest parzyste G = n-1 , b) n jest nieparzyste G = n; 4) ilość kątów w grupie: a) n jest parzyste n/2 , b) n jest nieparzyste ; 5) ilość serii S = 24/n , 6) między seriami limbus powinien być przestawiony o kąt σ = , 7) ilość przestawień limbusa S*(n-1), 8) przy przejściu od pomiarów z jednej grupy do drugiej limbus przestawiamy o kąt: a) n jest parzyste δ = , b) n jest nieparzyste δ = ; 9) wielkość przesunięcia mikrometru μ = w/s gdzie w - wartość mikrometru

Kryteria dokładności:

1) różnica dwóch koincydencji dla jednego nacelowania wynosi 3cc, 2) różnica pomiędzy półseriami danej serii wynosi 12cc, 3) różnica pomiędzy seriami danego kąta max wynosi 12cc, 4) odchylenie wartości kątów obliczonych z poszczególnych serii od wartości kątów wyrównanych na stanowisku max wynosić może 9cc

WYRÓWNANIE STACYJNE

Wyrównane kąty

[1,2]=[2(1,2)+(1,3)-(2,3)+(1,4)-(2,4)] /4

[1,3]=[2(1,3)+(1,2)+(2,3)+(1,4)-(3,4)] /4

[1,4]=[2(1,4)+(1,2)+(2,4)+(1,3)+(3,4)] /4

Wyrównane kierunki

[1]=[(1,2)+(1,3)+(1,4)] / 4

[2]=[(2,1)+(2,3)+(2,4)] / 4

[3]=[(3,1)+(3,2)+(3,4)] / 4

[4]=[(4,1)+(4,2)+(4,3)] / 4

Średni błąd pomiaru kąta pomierzonego w jednej serii można obliczyć na podstawie różnic:

a) w - m_w

b) d - m_d

c) v - m_v

d) u - m_u

w - różnica między wartością kąta średniego z s serii a kątem zaobserwowanym w jednej serii

d - różnica między półseriami

v - różnica między kątem wyrównanym a kątem średnim z serii

u - różnica między kątem wyrównanym a kątem zaobserwowanym w jednej serii

m_w = ⁺√ 2[ww]/n(n-1)(s-1)

m_d = ⁺√ [dd]/2sn(n-1)

m_v = ⁺√ 2[vv]/(n-1)(n-2)

m_u = ⁺√ 2[uu]/(n-1)(sn-2)

m_x = ⁺√ [vv]/n(n-1)(n-2)

m_x - średni błąd kata po wyrównaniu

XXII. Niwelacja precyzyjna:

Niwelator precyzyjny: a) duże powiększenie lunety (co najmniej 40x), b) libella o przewadze od 6'' do 10'' z koincydencyjnym systemem odczytowym położenia pęcherzyka, c) siatka kresek składa się z kreski pionowej i kreski poziomej w połowie rozwidlonej w postaci klina, d) śruba elewacyjna, e) mikrometr, f) leniwki,

Łata precyzyjna: a) długość 3m, b) podział łaty na taśmie inwarowej, c) podział jest podwójny i przesunięty o stałą wartość która wynosi 606500 jednostek. Różnica może wynosić 20 jednostek (606480, 606520). Każda łata posiada libellę pudełkową o przewadze 20''

Wykonanie odczytu: a) ustawiamy i poziomujemy niwelator, b) śrubą elewacyjną doprowadzamy pęcherzyk libelli do górowania, c) ustawiamy obraz kreski podziału łaty w środku klina krzyża kresek za pomocą śruby mikrometrycznej, d) odczytujemy pierwsze 3 cyfry z podziału łaty , a 3 następne z mikrometru

Niwelację precyzyjną wykonuje się za pomocą niwelacji geometrycznej (ze środka): 1) pomiar odcinka niwelacyjnego polega na określeniu przewyższenia między dwoma punktami wysokościowymi stanowiącymi jego punkty końcowe, 2) jako punkty przejściowe służą trzpienie żabek na których ustawia się łaty, 3) każdy odcinek mierzy się dwukrotnie - tam i z powrotem, przy czym pomiary obu kierunków (głównego i powrotnego) powinny być wykonane w różnych dniach, 4) obserwacje należy wykonać wcześnie rano i wieczorem (najlepiej pół godziny po wschodzie słońca i godzinę przed zachodem), 5) nie powinno się przeprowadzać pomiaru przy prędkości wiatru większej od 4 m/s i temp poniżej 5°C i powyżej 36°C, 6) ilość stanowisk na każdym odcinku powinna być parzysta, 7) na danym stanowisku niwelacyjnym łata stojąca - w stosunku do obserwatora - w kierunku zgodnym z kierunkiem pomiaru nosi nazwę „wprzód” a druga łaty „wstecz”. Ta sama łata będąca na danym stanowisku łatą wprzód na następnym staje się łatą wstecz, a łata będąca łatą wstecz, 8) w czasie pomiaru statyw instrumentu należy ustawić na gruncie twardym, 9) instrument należy ustawić w ten sposób aby celowa przebiegała na wysokości 1,6m nad terenem w miejscu ustawienia statywu, 10) długość celowych tj odległości od instrumentu do łaty winny wynosić: a) I klasa 8 - 35m , b) II klasa 8 - 40m; 11) różnica długości celowych na stanowisku nie może być większa niż: a) I klasa 0,4m , b) II klasa 0,5m; 12) na każdym stanowisku przewyższenie powinno być wyznaczone dwukrotnie przy wykorzystaniu obu podziałów łat, 13) wszystkie odczyty na danym stanowisku wykonane są bez zmiany wysokości osi celowej niwelatora, 14) po ustawieniu i spoziomowaniu niwelatora oraz sprawdzeniu równej długości celowych wykonuje się odczyty podziałów łat których kolejność jest następująca: a) na stanowisku nieparzystym: - odczyt wstecz (podział zasadniczy), - odczyt wprzód (podział zasadniczy), - odczyt wprzód (podział kontrolny), odczyt wstecz (podział kontrolny) , b) na stanowisku parzystym: - odczyt wprzód (podział zasadniczy), - odczyt wstecz (podział zasadniczy), - odczyt wstecz (podział kontrolny), - odczyt wprzód (podział kontrolny); 15) wyniki obserwacji jak i inne dane dotyczące pomiaru zapisuje się w odpowiednich rubrykach dziennika niwelacji precyzyjnej. Zapisy dokonywane są długopisem pismem czytelnym, 16) różnica między dwoma wyznaczeniami przewyższenia na stanowisku nie powinna być większa niż: a) długość celowych ≤ 20m: I kl 0,16mm , II kl 0,18mm ; długość celowych > 20m : I kl 0,20mm , II kl 0,24mm ; 17) różnica wyników dwukrotnego pomiaru odcinka niwelacyjnego obliczona w kierunku głównym i powrotnym nie powinna być większa niż: a) I klasa 1,2mm, b) II klasa 1,5mm gdzie R - długość odcinka w km, 18) odchyłka poligonu niwelacji wyznaczona z wartości pomierzonych powinna być: a) I klasa φ ≤ 2mm, b) II klasa φ ≤ 3mm, φ = ΔHp - ΔHt, 19) po zakończeniu pomiaru należy wyrównać cię niwelacyjny i obliczyć przewyższenia dla całego odcinka

NIWELACJA PRECYZYJNA

1. Niwelator precyzyjny

• duże powiększenie lunety - co najmniej 40 razy

• libella o przewodzie od 6” do 10” z koincydencyjnym

• system odczytowy położenia pęcherzyka

• siatka kresek składa się z kreski pionowej , z kreski poziomej w połowie rozwidlonej w postaci klina

• występuje płytka płasko równoległa do równoległego przesunięcia osi celowej

• śruba elewacyjna

• leniwki

• mikrometr

średni błąd podwójnej niwelacji wynosi + - 0,4mm/km

2. Łata precyzyjna

• długość łaty 3m

• podział łaty na taśmie inwarowej

• zaopatrzona w stopki na końcach

• podział jest podwójny i przesunięty względem siebie o stałą wartość

• podział może być centymetrowy ( łaty Wilda ) lub półcentymetrowy (Zeiss) 0-59 podział zasadniczy , 60-119 podział kontrolny

• każda łata posiada libellę pudełkową o przewadze 20 ^,

• łaty stawiamy na żabkach lub klinach

3. Technika niwelacji precyzyjnej metodą niwelacji ze środka

1. ustawiamy i poziomujemy niwelator

2. celujemy na łatę wstecz

• śrubą elewacyjną doprowadzamy do koincydencji końce pęcherzyki libelli głównej

• za pomocą pokrętła mikrometru ustawiamy obraz obraz kreski podziału zasadniczego w środku klina krzyża kresek

• sprawdzamy położenie libelli

• odczytujemy pierwsze trzy cyfry z łaty ( pierwsze dwie z opisu łaty , trzecią jako liczbę kresek

• odczytujemy mikrometr w instr. Wilda -3 cyfry w Zesie-2

3. celujemy na łatę w przód

• wykonujemy odczyt na podziale zasadniczym i kontrolnym .

4. celujemy na łatę wstecz

• odczyt na podziale kontrolnym

5. obliczmy różnicę między podziałem zasadniczym i kontrolnym

• jest ona stałą 60650

• odchyłka między teoretyczna różnicą a obliczoną nie może być większa od 0,15mm (+-3j) [60647-60653]

6. obliczamy przewyższenie na stanowisku z podziału zasad. i z podziału kontrolnego . Dopuszczalna różnica między tymi przewyższeniami +- 0,20mm (+-4j)

4. Niwelator ustawiamy na gruncie twardym a statyw ustawiamy w ten sposób aby dwie nóżki stały w kierunku lini niwelacyjnej

5. Obserwacje należy wykonać wcześnie rano i przed wieczorem ale nie o wschodzie

i o zachodzie słońca najlepiej pół godz. po wschodzie i godzinę przed zachodem

6. Każdy odcinek między reperami mierzymy dwukrotnie niezależnie - eliminujemy

błędy osiadania łat oraz błąd odchylenia pionu na skutek przyciągania

7. Nie powinna się przeprowadzać pomiaru przy prędkości wiatru 4m/s i w temp. powyżej 36^oC i poniżej 5^oC

POMIAR CIĄGU KL.II

Dla każdego kierunku niwelacji wyniku zapisujemy na oddzielnych stronach ,datę , temp. pogodę , godzinę

Po wykonaniu niwelacji tam i z powrotem obliczamy przewyższenie na całym odcinku z

podziału zasadniczego i z podziału kontrolnego h₂=Σt₂ - Σp₂ h_k = Σt_k - Σp_k

Obliczamy sumę nie zamknięć na każdym stanowisku Σ_n = ( t₂ - p₂) - ( t_k - p_k )

Sprawdzamy następujący warunek h₂ - h_k = Σn

Obliczamy przewyższenie średnie h_g - h główny = ( h₂ + p_k ) /2 i dł odcinka R [km]

DOKŁADNOŚC NIWELACJI PRECYZYJNEJ

- zależy od dokładności i funkcjonowania łat

• zależy od dokładności i funkcjonowania niwelatora

• od dokładności obserwatora

• od zmian w stanie górnej warstwy ziemi

• zmian warunków atmosferycznych

W CELU ELIMINACJI TYCH BŁĘDÓW

1. Ciągi niwelacyjne powinny biec wzdłuż dróg bitych

2. wykonuje się ściśle ze środka ; odległość łat od intr. 30-40m , wymierzanie taśma z dokładnością do 2dm.

3. każda łata jest kolejno raz w tyle , raz w przodzie w celu eliminacji błędu odległości zera łaty od stopki

4. ilość stanowisk między reperami powinna być parzysta .

celowe przebiegać powinny w jednakowych warunkach pod względem nasłonecznienia , temp. i wilgotności ; powinny przebiegać 1,5-1,6 m nad ziemią - minimalizuje to błąd refrakcji i nie blisko budynków zwłaszcza wydzielających cieplo lub wilgoć.

GEOIDA- pow. fizyczną, ekwipotencjalna(potencjał jest równy) utożsamiana ze swobodnym poziomem mórz i oceanów ; kształt geoidy jest nierównomierny. Poszukuje się takich powierzchni matematycznych które odzwierciedla-ją geoidę.

POWIERZCHNIA ODNIESIENIA-powierzchnia, do której odnosimy wyniki przeprowadzonych pomiarów i na której przeprowadzamy obliczenia.Są to płaszczyzna,pow. sfery,pow. elipsoidy obrotowej (są to pow. odnies. matematyczne).

PŁASZCZYZNA-jest odpowiednia dla pomiarów i obliczeń geodez. Na niewielkich obszarach ziemi (do 50 km² boki kwadratu nie powinny przekraczać 7 km).Jeżeli obszar objęty naszym zadaniem geodez. Nie przekracza 10000 km² pow. odniesienia jest pow. sfery. Jeżeli przekracza 10000 km ² stosujemy elipsoidę obrotową (w Polsce podstawową jednostką odniesienia -elipsoida Krasowskiego).

SFERA-jest miejscem geometrycznym punktów równo oddalonych od środka sfery.

PROMIENIEM naz. Odcinek od środka sfery do dowolnego punktu. Przekrój kuli płaszczyznami są kołami. Koła wielkie : płaszczyzna przechodzi przez środek. Pozostałe to koła małe

AB- długość sferyczna

Kąt α-kąt dwuścienny pomiędzy stycznymi do płaszczyzny przechodzących przez punkt A i B

C'M=CM*COS A + C'M* SIN e

C'N=OM*sin c -C'M*cos c

ON=OM*cos c+C”Mcos c

C”N=Omsin c-C”Mcos c

Rcos a=Rcos b*cosC+Rsinb

*sin c cos A

Rsin a cos B=Rcos b sin c-Rsin b*cos c *cos A

CC'=CnsinB=CmsinA

CN=Rsin a ,CM=Rsin B

Sin a*sin B=sin b sinA to

Sin a/sinA=sin b/sinB=

Sin c/sin C

TRÓJKĄT BIEGUNOWY

Do danego trójkąta sferycznego biegunem koła wielkiego nazywamy punkt wspólny sfery i prostej przechodzącej przez O i prostopadłej do płaszczyzny danego koła wielkiego, przecina sferę w dwóch punktach -bieguny .

TrójkątA'B'C'jest biegunowy do ABC jest biegunem boku a',B boku b' ,

C biegunem boku c'.

Trójkąty biegunowe na sferze

E są biegunowe wzajemnie .

a'=∏-A , a=∏-A'

b'=∏-B , b=∏-B'

c'=∏-C , c=∏-C'

NADMIAR SFERYCZNY

Ε=(A+B+C)-180⁰Wszystkie trójkąty narysowane na sferze będą miały sumę większą niż 180⁰

Pole dwókąta sferycznego

ABA'C jest proporcjonalny do pola całej sfery:

P_A=P*A/2PI

BCB'A P_B=P*B/2PI

CAC'B P_C=P*C/2PI

P_A +P_B+P_C=P/2PI*(A+B+C)

P=4PI R²

P_A+P_B+P_C=2PI R² +2S=2R²

A+B+C-PI=S/R²

Epsilon = S/R²

Jeżeli boki trójkąta nie przekraczają 30 km przyjmujemy wzór przybliżony (dokładność 1''* 10^-4)

Epsilon =(a*b/2R² )*sin C

UKŁADY WSPÓŁRZĘDNYCH NA KULI

1 GEOGRAFICZNY

Kąt dwuścienny między płaszczyzną południka zerowego a płaszczyzną południka przechodzącego przez punkt to długość geograficzna. Szerokość geogr.-kąt dwuścienny pomiędzy płaszczyzną równika, a normalną do kuli przechodzącą przez ten punkt .

2KARTEZJAŃSKIE

Oś z pokrywa się z osią obrotu ziemi . Oś Y po płaszczyźżnie równika o 90⁰ od X

X=R*cos φ*cos λ

Y=R*cosφ*sin λ

Z=R*sin φ

Wpółrzędne azymutalne

G-punkt główny(λ ₀ ,φ ₀) P leży na innym południku(α,ξ) ξ-odległość sferyczna między punktami

ELIPSOIDA OBROTOWA

Jest przybliżeniem powierzchni .Obrót elipsy o półoosiach a i b dokoła małej osi b.

Równanie powierzchni elipsoidy obrotowej

X ²/a²+y²/a²+z²/b²=1

Parametry:

Spłaszczenie-α=(a-b) /a

Mimośród I e²= (a²-b² )/a²

Mimośród II e'²=(a²-b²)/b²

e²=α(2-α)

ELIPSOIDY:

1. BESSLA

2. HAYFORDA

3. KRASOWSKIEGO

4. WGS 72

5. GRS 80

TRÓJKĄT SFERYCZNY-

To figura leżąca na sferze, która powstała przez połączenie trzech wierzchołków łukami kół wielkich .

TRÓJKĄT EULEROWSKI - których wszystkie boki i kąty są mniejsze od 180⁰.

OM=R*cos b,ON=R*cos a

PODSTAWOWE OSNOWY GEODEZYJNE-POZIOME

1. Tworzenie podstawowych osnów geodezyjnych na dużych obszarach zadanie geodezji wyższej

2. Cel osnów podstawowych

• Gospodarczy (osnowy do pomiaru kraju)

• Badawczy (określenie kształtu ziemi, badanie ruchów skrupy ziemskiej)

• Obronny

3. Instrukcja GUGiK: G-1,G-2

4. Podstawowe osnowy geodezyjne to

a)Pozioma sieć Iklasy (SAG i SW)

b)Wysokościowa sieć niwelacji precyzyjnej I i II klasy

Osnowę poziomą i wysokościową stanowi usystematyzowany zbiór punktów, których wzajemne położenie na powierzchni odniesienia lub wysokości w stosunku do przyjętej powierzchni odniesienia zostały określone przez zastosowanie techniki geodezyjnej.

5. Pozioma osnowa - dotychczas: triangulacja ( utworzenie sieci trujkątów , pokrywających mierzony obszar)

(I triangulacja: holenderski uczony Snellius, lata 1614-16, w celu celu wyznaczenia promienia ziemi)

6. Zasadnicze czynności triangulacyjne:

• Wybór punktów w terenie

• Stabilizacja

• Zabudowa wieżami

• Wykonanie pomiarów (długości, kątów, astronomiczne wyznaczenie B,L,A, wyznaczanie wysokości, pomiary grawimetryczne)

7. Pokrycie kraju :2 sposoby

• Powjerzchniowy

>Dłu. Boku ok. 5km

>P- punkt Laplace'a (pomierzone B,L,A)

>Pomiar bazy, dalej kąty

• Wieńcowy

• Odległość między łańcuchami rzędu 200km

• Łańcuchy w kierunkach równoleżnikowym i południkowym

8. Polska osnowa I klasy

1. sieć astronomiczno-geodezyjna (SAG)

2. Sieć wypełniająca (SW)

9. SGA

• 353punkty

• przeciętna odległości między punkami -20km

• odpowiednio rozmieszczone bazy ,punkty Laplace'a i punkty niwelacji astronomiczno-grawimetrycznej

• średni błądy kąta po wyrównaniu m_k≤±2,2^cc

• Sredni błąd względny boku m_D/D≤3*10^-6

• Punkt Laplace'a: 38 (19por)

• 17 punktów niwelacji astron-grawimetrycznej

10. SW

• ≈5600 punktów

• przeciętna odległość między punktaki ≈ 7km

• Średni błąd kąta po wyrównaniu m_k≤3,7^cc

• Średni błąd względny boku m_D/D≤5*10^-6

11. Sieć kolejnych rzędów (klas)

• Obszar objęty sjecją I rzędu zagęszcza się sieciami niższych rzędów (II,III,IV)

• II rzedu: m_p≤5÷7cm

• IIIrzędu m_p≤10÷12cm

12. Projektowanie osnowy podstawowej

• Podstawową konstrukcji powinna być powierzchniowa sieć kątowo-linowa

• Orientacyjna liczba punktów n na obszarze P[km²] n= (1,15/D²)*P D - średnia długość boku

• Numeracja :wg. Malejącej szer. Geogr. z zachodu na wschud

• Dla każdej projektowanej celowej :profil w skali 1:10000

• Wysokości woeży : aby celowa przebjegala min.6m nad przeszkodami dla SAG i min. 3m dla SW

1. Aby zapewnić dokładności (p. p-ty 9,10) dopuszczalne błędy średnie obserwacje (obliczone z rozrzutu wyników pomiaru muszą spełnić)

• Pomiary astrunomoczne B,L,A na punktach Laplace'a m_B≤±0,2” ,m_L≤±0,3” ,m_A≤±0,3”

• Pomiar astronomiczny na punktach niwelacji astronomiczno-grawimetrycznej m_B≤±0,2” , m_L≤±0,3”

• Składowe względnego odchylenia pionu m_ξ =m_y≤±0,7”

• Odstępy geoidy od elipsojdy m_ξ≤ 1cm/km

• Pomiary kątów m_k ≤±1,5^cc (SW m_k≤±3,1^cc)

• Pomiary długości boków m_D/D ≤1,5*10^-6 (SW: m_D/D ≤2,5*10^-6)

14. pomiar kątów

• Teodolity precyzyjne (Wild T-3, Kern DKM-3 , Zeiss Theo 002, Rank Precision, Anglia Mieroptic, etc.)

• Badania laboratoryjne i polowe

• Metody :Schraibera , kątowa ,sektorowa , kierunkowa

• Wyrównanie stacyjne

15. Pomiar odległości

• Dalmierze elektromagnetyczne

• Dokładności określa się standardowym m_D =±(a+b*10^-6D)

1. pomiar charakteryzujący przykładowe błędy instrumentalne

2. wpływ środowiska

• dalmierze elektrooptyczne a= (1÷10)mm b = (1÷2mm/km)

• mikrofalowe a=(3÷30)mm, b= (2÷3)mm

REDUKCJE OBSERWACJI ASTRONOMICZNYCH I GEODEZYJNYCH NA GEOIDĘ I ELIPSOIDĘ

• cele redukcji

• etapy

• co podlega redukcji

Redukujemy pomiary po to wyrównać pomiary.

Zredukować znaczy dodać do pomierzonych w terenie wielkości poprawki

Etapy redukcji:

1. na Geoidę (z fizycznej pow. Ziemi) po liniach pionowych

2. redukcja z Geoidy na elipsoidy odniesienia wzdłuż normalnych do elipsoidy odniesienia. Należy znać odległość pomiędzy geoidą a elipsoidą odniesienia

Redukcja astronomicznej szerokości i długości na geoidę.

Wyznaczone szer. i dł. w terenie na podst. obserwacji astronomicznych określają kierunek linii pionowej w punkcie P na powierzchni ziemi. Natomiast elementy występujące w obliczeniach sieci powinny odnosić się do kierunku linii pionowej w punkcie P₀ na powierzchni geoidy.

Redukcja azymutu astronomicznego

Azymut astronomiczny w kierunku PK jest to kąt dwuścienny jaki tworzą płaszczyzny pionowe w punkcie P, jedna przechodząca przez biegun niebieski B, druga przez obserwowany punkt K.

Biegun niebieski - punkt na sferze niebieskiej, który odpowiada biegunowi Ziemi. Powstaje przez przecięcie sfery niebieskiej z prostą przechodzącą przez bieguny Ziemi.

Południk astronomiczny punktu P - koło wielkie na sferze niebieskiej przechodzące przez biegun niebieski zenit i punkt południka(dotyczy danego punktu)

Punkt południka - powstaje przez przecięcie horyzontu z południkiem.

Wertykał astronomiczny punktu K - koło wielkie na sferze przechodzące przez zenit i rzut punktu Kna sferę niebieską.

Redukcja jest paroetapowa:

1. przejście z fizycznej pow. Ziemi na geoidę.

2. przejście z geoidy na elipsoidę z uwzględnieniem zjawiska wichrowatości normalnych do elipsoidy odniesienia.

Redukcja kątów poziomych

Jest to część redukcji azymutu, obejmuje:

1. redukcje kierunków

2. różnicę zredukowanych kierunków = zredukowany kąt.

Redukcja kierunku (ω - ω' ) =

ω - kierunek zredukowany

ω' - kierunek obserwowany

Redukcja długości

L- L'= L'* H_m/R_A + 1/ρ” (H_P Q_A,P +- H_KQ_A,K) - L' N_m/ R_A

Pierwszy wyraz - redukcja na geoidę

Drugi wyraz - redukcja ze względu na odchylenie pionu

Trzeci wyraz - redukcja z geoidy na elipsoidę odniesienia.

L- długośc zredukowana

L'- długośc obserwowana

H_m- średnia wys. n.p.m.

R_A - promień krzywizny przekroju normalnego w azymucie linii

N_m - średnie wzniesienie geoidy ponad elipsoidę odniesienia

Q_A,P,Q_A,K- składowe odchyleń pionu w kierunku linii PK, odpowiednio w punktach P i K

Teoria odwzorowań

1.Odwzorowanie - jednej powierzchni na drugą: każda jednoznaczna odpowiedniość punktowa między pow. nazywaną oryginałem a pow. będącą obrazem.

2.Odwzorowanie dane jest dwiema funkcjami U=f(u,v), V=g(u,v); są to funkcje odwzorowawcze. Przyporządkowują on każdemu punktowi P(u,v) oryginału odpowiedni punkt P (U,V) obrazu. Istnieją też funkcje odwrotne F i G.

3.Odwzorowanie regularne⇒f,g spełniają :

-każdej parze u i v przyporządkowuje jedną i tylko jedną parę U i V.

-są ciągłe i conajmniej dwukrotnie różniczkowalne

-są wzajemnie niezależne.

4.W geodezji najczęściej rolę u,v spełniają B i L, natomiast rolę U i V współrzędne prostokątne x i y. Wtedy funkcje mają postać

x=x(B,L) , y=y(B,L)

5.Odwzorowanie powierzchni elipsoidy na płaszczyznę nie może być wykonane bez zniekształceń

6.Skala długości i pól m = ds / ds

ds - długość nieskończenie małego łuku na powierzchni oryginału

ds - długość odpowiadającego mu łuku na obrazie

W odwzorowaniach równokątnych skala długości zależy tylko od współrzędnych punktu ( nie zależy od azymutu)

Odwzorowanie idealne miało by wszędzie skalę m = 1 jest to niemożliwe

Zniekształcenie długości Z_m=m-1

Zniekształcenie pól Z_p=p-1

Gdzie: p=dp/dp - skala pól

7.Odwzorowanie elementów pow. elipsoidy obrotowej na płaszczyznę

a)elementarny czworobok (z łuków południków i równoleżników)

d_s1 = M*dB

d_s2 = r*dL = N*cosB * dL

Odwzorowanie jest równokątne jeśli jednocześnie

-obrazy południków przecinają się z obrazami równoleżników pod kątem prostym,

- w każdym punkcie m_B=m_L

Współrzędne izometryczne-współrzędne krzywoliniowe u,v nazywamy izometrycznymi jeśli długość elementarnego łuku ds na danej powierzchni można wyrazić wzorem ds² = μ ² (du² + dv² )

μ² - dowolna, dodatnia funkcja u,v.

Jeśli powyższy wzór porównamy ze wzorem na długość łuku elementarnego na oryginale

ds² =E*du²+2Fdudv+Gdv² to dla współrzędnych izometryczne otrzymamy F=0, E=G=μ²

F=0 dla u,v ortogonalnych.

U,v są izometryczne jeśli:

-siatka u,v jest ortogonalna

-przesunięcie ds wywołane zmianą współrzędnej V o dv jest równe przesunięciu ds spowodowanemu zmianą u o du. Współrzędne B,L nie są izometryczne, gdyż:

ds²=M²dB²+N²cos²BdL²

każda funkcja analityczna opisuje jakieś odwzorowanie równokątne.

Przy wyprowadzeniu funkcji odwzorowawczym można posłużyć się następującym sposobem:

a)zastąpić współrzędne geodezyjne B,L współrzędnymi izometrycznymi q,l,

b) wykorzystać funkcję analityczną do przedstawienia związku między współrzędnymi płaskimi x,y i współrzędnymi q,l.

Wykorzystuje się przy tym następującą własność funkcji analitycznej: każda funkcja analityczna jest z założenia rozwijalna w szereg potęgowy.

Etapy obliczeń przy wykorzystaniu transformacji z układu satelitarnego do układu 65

Układ 65 jest to układ pięciostrefowy , nad elipsoidą Krasowskiego. W czterech strefach mamy odwzorowanie Quasi stereograficzne a w piątej odwzorowanie Gaussa - Krugera. Przeliczenie współrzędnych do tego układu odbywa się w różny sposób. Może to być przejście między elipsoidą GRS'80 a elipsoidą Krasowskiego ( jest to transformacja przestrzenna, siedmioparametrowa, np.

( X,Y,Z) GRS'80 → (X,Y,Z) Krasowskiego → ( B,L,H) Krasowskiego. Odwzorowanie sieci na płaszczyznę układu 65 może być:

punktowe i wektorowe. Przy odwzorowaniu punktowym wykorzystuje się program GPSTRANS, a przy odwzorowaniu wektorowym program GEONED.

Metoda punktowa - wykorzystuje punktowe prawa odwzorowywania dla określonej strefy układu 65 za pomocą następujących wzorów

X=f₁(B,L) , y=f₂(B,L)

W metodzie wektorowej jest projekcja ( wyrównanych) wektorów na płaszczyznę układu 65. Każdemu wektorowi odpowiada na elipsoidzie Krasowskiego wektor biegunowy. Współrzędne X,Y (dla wszystkich punktów sieci ) są jeszcze raz transformowane wg reguł transformacji układu płaskiego w płaski z uwzględnieniem współrzędnych punktów łącznych. Ostatnim etapem jest transformacja Hausbrandta. Punkty łączne otrzymują współrzdne wejściowe. Poprawki zostają rozmieszczone na punkty sieci.

---