Kiniuś™

Statystyka

Dr Elżbieta Grabowska

(notatki z wykładu 6)

24.05.2009

MIARY KONCNTRACJI

Miary koncentracji w podstawowym znaczeniu dotyczą stopnia skupienia wartości cechy

wokół średniej.

Wskaźnik:

m₄ - 4 moment centralny

S⁴ - odchylenie standardowe do 4 potęgi

4 moment centralny dla danych indywidualnych:

( i )

( p )

( k )

Im wyższa jest wartość K tym większa koncentracja wokół średniej, czyli krzywa jest

bardziej wysmukła.

Przyjmuje się, że jeżeli K=3 to zbiorowość ma rozkład normalny.

Dla ułatwienia interpretacji stosuje się, więc współczynnik koncentracji:

K' = 0 - rozkład jest normalny

K' > 0 - rozkład bardziej wysmukły

K' < 0 - rozkład bardziej spłaszczony

Wskaźniki :

Absolutne

Względne

Kiniuś™

BADANIE ZALEŻNOŚCI CECH ILOŚCIOWYCH

Współczynnik korelacji liniowej r - Persona

^{Sy - odchylenie standardowe cechy y}

^{( i )}

^{( p )}

^{( k )}

^{Dla danych indywidualnych wygodniej jest korzystać ze wzoru:}

r przyjmuje wartości ściśle od

r informuje o kierunku i sile zależności cech.

^{r = +1}

^{zależność dodatnia}

^{obie cechy zmieniają się w tą samą stronę,}

^{jeśli jedna maleje to druga rośnie.}

^{r = -1}

^{zależność ujemna}

^{jak jedna cecha rośnie to druga spada}

^{np. Im szybciej jedzie tym krótszy czas przejazdu.}

Kiniuś™

^r=0

^{r nadaje się tylko do mierzenia zależności liniowych i w przybliżeniu liniowych.}

^{r = +0,8
r = -0,4}

^{Nie można stosować r do zależności typowo krzywoliniowych.}

^{r zależy od liczebności próby.}

^{INTERPRETACJA SIŁY ZALEŻNOŚCI}

^r	^siła zależności
^0 ^0,01 - 0,2 ^0,21 - 0,4 ^0,41 - 0,6 ^0,61 - 0,8 ^0,81 - 0,99 ^1	^brak ^bardzo słaba ^słaba ^umiarkowana ^dość silna ^bardzo silna ^pełna

^np.

^{= -0,89 - zależność bardzo silna ujemna}

^{!!! Przy porównywaniu siły zależności nie liczymy (-)}

^{czyli np. :}

^{- 0,89 > 0,19}

^{Aby można było policzyć r musza być spełnione 3 warunki:}

1. ^{Obie cechy powinny być ilościowe (wyrażone na skali stosunkowej lub przedziałowej) ciągłe lub w przybliżeniu ciągłe.}

2. ^{Zależność musi być uzasadniona logicznie}

3. ^{Obie cechy musza być zależne linowo, bądź w przybliżeniu liniowo z całkowitym wykluczeniem zależności ewidentnie krzywoliniowej, dlatego każdorazowo przed przystąpieniem do liczenia r robi się najpierw wykres korelacyjny, z którego ustala się czy zależność w ogóle istnieje.}

Kiniuś™

^zad.

^{W 5 os. grupie zaliczających sprawdzian ustalono dla każdej osoby czas wykonania w minutach: 30, 18, 25, 12, 5 oraz liczbę popełnionych błędów: 1, 2, 6, 7, 9. Ustal siłę i kierunek zależności tych cech.}

1. ^{W praktyczny sposób (dla małych danych), aby ustalić czy cecha jest wystarczająco ciągła do liczenia r wyznaczamy rozstęp.}

rozstęp		N-2
30 - 5 9 - 1	^> lub =^jeżeli jest większe lub równe jest wystarczająco ciągłe	5-2 5-2

2. ^{Warunek drugi, sprawdzamy czy zależność ma sens….}

3. ^{Sprawdzamy…}




^{Na podstawie wykresu stwierdzamy, że:}

^{- zależność istnieje}

^{- jest ujemna}

^{- jest w przybliżeniu liniowa}

Liczenie r:

Lp.
1 2 3 4 5	30 18 25 12 5	1 2 6 7 9	12 0 7 -6 -13	144 0 49 36 169	-4 -3 1 2 4	16 9 1 4 16	-48 0 7 -12 -52
N=5	90	25	0	398	0	46	-105






Wniosek:

W badanej grupie 5 osób, wystąpiła silna ujemna zależność między czasem napisania egzaminu a liczba popełnionych błędów. Zależność ta wskazuje, że im dłuższy czas pisania egzaminu tym mniej popełnionych błędów.

Kiniuś™

Obliczenie innym sposobem:













Możemy również wyznaczyć współczynnik determinacji


Informuje on nas, w jakim stopniu zmienna zależna (skutek) zależy od zmiennej niezależnej (przyczyny).




Ostatecznie popełniona liczba błędów 60,2 % zależała od czasu wykonania zadania i w 39,8% od wszystkich zmiennych towarzyszących.

Jeżeli mamy stwierdzona zależność cech to zwykle przeprowadza się analizę regresji w celu wyjaśnienia mechanizmu stwierdzonej zależności.

Analiza regresji pozwala także na prognozę (predykcję) jednej przyszłej wartości cechy, gdy znamy wartość drugiej, zazwyczaj wyznacza się dwa równania regresji.


Chociaż bywa, że tylko jedno z nich ma sens logiczny.

Z reguły wyznacza się


Parametry regresji można wyznaczyć pośrednio z następujących wzorów:











Kiniuś™

Parametr

a_y - o ile jednostek wzrośnie (lub spadnie, gdy -a) wartość zmiennej zależnej y, gdy x wzrośnie o 1 jednostkę.

b_y - jaka jest wartość y niezależna od wpływów x, czyli ile wynosiłaby wartość y gdyby x=0.

Zad.

Badamy zależność między wysokością pensji (x) w tysiącach i miesięcznych wydatków na kosmetyki (y) w zł.




gdy wysokość pensji wzrośnie o 1 tys. To miesięczny wydatek na kosmetyki wzrośnie przeciętnie o 50 zł.

Wydatek niezależny od wysokości pensji wynosi 20 zł.

Zad.

Badamy zależność między długością wyprodukowanej serii produktów w sztukach (x) a kosztem jednostkowym wyprodukowania 1 sztuki w zł. (y)




Koszt wyprodukowania 1 sztuki spada przeciętnie p 0,5 zł, gdy długość serii wzrasta o 1, koszt niezależny od długości serii wynosi 1500 zł.

Na podstawie podstawowego równania regresji można dokonać prognozy:




ile przeciętnie będzie wydane na kosmetyki przy wysokości pensji 3 tys.?


x_p=3

6




---