3. Funkcje rzeczywiste i zmienne. Def. Funkcja określoną na zb X o wart w zb Y nazywamy przyporządkowanie każdemu el dokładnie jednego el . Taką funkcję ozn , a wart f w pkt x ozn f(x). Def. Niech X nazywamy dziedziną funkcji f i ozn ją Df. El dziedziny nazywamy argumentami. Y nazywamy przeciwdziedziną funkcji f i oznaczamy Zb Wf := nazywamy zb wartości f a jego El wartościami funkcji. Def. Wykresem funkcji nazywamy zbiór Gf={(x,f(x)): Df} Def. Jeżeli dla funkcji f zachodzi Df R, Wf R, to mówimy o funkcji rzeczywistej jednej zmiennej. , x R U. Wykres funkcji możemy rys w ukł kartezjańskim jako punkty o wsp (x, f(x)), x Df Def. Niech A X, Zawężeniem funkcji do zbioru A nazywamy funkcję f¦A: określona wzorem f¦A(x)=f(x) Def. Funkcja jest ograniczona jeżeli jej zbiór wartości jest ograniczony. Funkcja nie jest ogr jeżeli nie jest ograniczona. Def. Funkcja jest okresowa jeżeli x+t Df i f(x+t)=f(x). Liczbę t nazywamy okresem funkcji f. Najmniejszym okresem funkcji (o ile istnieje) nazywamy jej okresem podstawowym. Def. Funkcja jest parzysta jeżeli Funkcja jest nieparzysta jeżeli U. Wykres funkcji parzystej jest symetryczny wzg osi Oy. Wykres funkcji nieparzystej jest sym wzg środka układu. Def. Funkcja jest /rosnąca/malejąca/niemal/nieros/ jeżeli /f(x1)<f(x2)/ f(x1)>f(x2)/ f(x1) f(x2)/ f(x1) f(x2)/ Funkcje rosnącą i malejącą nazywamy funkcją silnie monotoniczną a funkcje niemalejącą i nierosnącą funkcją słabo monotoniczną. Def. Funkcję nazywamy iniekcją jeżeli f(x1) f(x2) Def. Funkcję nazywamy surjekcją jeżeli Wf=R Def. Funkcję nazywamy bijekcją jeżeli jest iniekcja i surjekcją. U. Funkcja jest /injekcją/surjekcją/bijekcją/ jeżeli wykres Gf przecina się z dowolną prosta poziomą /co najwyżej/co najmniej/dokładni/ jeden raz. Obs. Funkcja f jest silnie mon f jest injekcją ( ) Def. Niech , przy czym X,Y R oraz Wf Dg Możemy wtedy zdefiniować g f będące złożeniem funkcji g (zew) z funkcją f (wew) wzorem: g f(x)=g(f(x)), U. Składanie funkcji nie jest operacją przemienną. Def. Niech Mówimy że funkcja f jest odwracalną taka że, 1. (g f)(x)=x 2. (f g)(y)=y Funkcję g nazywamy wtedy funkcją odwrotną do funkcji f i ozn f^-1 Obs. Funkcja jest odwracalna funkcja jest injekcją Obs. Funkcje i są wzajemnie odwrotne 1. Wf=Dg i Wg=Df 2. wykresy Gf i Gg są sym wzg prostej y=x Def. Pierwiastkiem (miejscem) zerowym funkcji nazywamy x Df taki że f(x)=0 Def. Funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje, które można otrzymac z podstawowych funkcji elementarnych za pomocą skończonej liczby działań arytmetycznych oraz operacji składania funkcji. Def. Wielomianem nazywamy f.W:R R określoną wzorem: gdzie dla i {0,...,n},an 0. Liczby a nazywamy współczynnikami wielomianu, w szczególności a0 nazywamy wyrazem wolnym. Liczbe n nazywamy stopniem wielomianu i ozn deg W U. Każdy wielomian jest skończona sumą iloczynu funkcji stałych przez funkcje potęgowe, a zatem f. elementarną. Def. Mówimy że wielomian jest podzielny przez wielomian V jeżeli istnieje wielomian P taki że W(x)=V(x)P(x) . Def. Wielomian nazywamy nierozkładalnym jeżeli nie jest podzielny przez żaden inny wielomian. Tw. (dzielenie wielomianów z resztą), Niech W,V- wielomiany takie że degV degW. Wówczas istnieją jedne jedyne wielomiany PiR takie że W(x)=P(x)*V(x)+R(x) , przy czym degR<degV Def. Wielomian R nazywamy resztą z dzielenia W przez V Def. Funkcje wymierne nazywamy funkcję postaci Q(x)=L(x)/M(X), gdzie L i M są wielomianami, M / 0 U. Każda funkcja wymierna jest ilorazem dwóch wielomianów (funkcji El) więc jest funkcją elementarną. Def. Funkcje wymierną nazywamy właściwą gdy deg L<deg M. Tw. Każdą f wymierną można przedstawić w postaci sumy wielomianów i f wymiernej wł. Def. Funkcję wym postaci gdzie ,a nazywamy ułamkiem prostym pierwszego rodzaju. Def. Funkcję wym postaci gdzie oraz nazywamy ułamkiem prostym drugiego rodzaju. 4. Ciągi Def. Ciągiem nazyw dowolną funkcję określona na N. Jego wartość dla Arg nazyw n-tym wyrazem ciągu i oznacz an a cały ciąg (an) Def. Ciągiem liczbowym nazyw dowolny ciąg o wart w R Def. Ciąg (an) nazyw ograniczonym jeżeli: Def. Ciąg (an) nazywamy /rosnącym/ malejącym/ niemal/ nieros/ jeżeli / Ciąg rosnący lub malejący nazywamy ciągiem silnie mon a niemalejący lub nierosnący ciągiem słabo mon. Def. Mówimy że ciąg (an) jest zbieżny do liczby g (zmiana do g, ma granicę g), jeżeli: Piszemy wtedy an=g lub an g |an-g|< Def. Mówimy, że ciąg (an) jest zbieżny do / / / (zmierza do / / /, ma granicę niewłaściwą / / /) jeżeli /an M/an M/. Piszemy wtedy an= lub an Def. Niech (an) będzie dow ciągiem oraz niech (kn) będzie dowolnym rosnącym ciągiem liczb nat. Ciag bn=akn nazywamy podciągiem ciągu an. Tw. Ciąg zbieżny nie może mieć dwóch różnych granic. Tw. Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony. Nie każdy ogr jest zbieżny. Tw. Każdy ciąg mon i ograniczony jest zbieżny. Tw. (o 3 ciągach) Niech (an),(bn),(cn­) będą ciągami takimi że: 1. an bn cn dla prawie wszystkich n 2. an= cn= Wtedy ciąg (b­n) też jest zbieżny i bn=g Tw. (o 2 ciągach) Niech (an), (bn)- ciągi 1. an bn dla pw 2. an= bn= Def. Ciąg (an) nazywamy arytmetycznym jeżeli Liczbę r nazywamy różnicą ciągu arytm. Obs. an- arytm an=a1+(n-1)r Sn=a1+...+an= *n Def. Ciąg (an) nazywamy geometr jeżeli Liczbę q nazywamy ilorazem ciągu geom. Obs. An- geom an=a1*q^n-1 Sn=a1* S= Sn=a1+a2+a3+…= ,gdy|q|<1 Obs. |q|<1 c.geom (an) 0 q> (an gdy a1>) lub (an gdy a1<0) g=1 an a1, q -1 an nie ma granicy. 5. Granica funkcji Def. Otoczeniem pkt x0 R o promieniu r>0 nazywamy przedział Vx,r=(x0-r, x0+r) Def. Sąsiedztwem pkt x0 R o promieniu r>0 nazywamy zbiór S(x0,r)=V(x0,r)\{x0} Def. Sąsiedztwem /prawostronnym/ lewostronnym/ x0 R o promieniu r>0 nazywamy przedział /S^+(x0,r)=(x0,x0+r)/ S(x0,r)=( x0-r ,x0) Def. Sąsiedztwem / / /nazywamy dowolny przedział postaci /S(a, )= (a, )/ S(a, )= ( ,a)/ Def. Niech funkcja ,q R. Załóżmy, że S(x0,r) Df. Mówimy że funkcja f zmienia w pkt x0 (ma w pkt x0 granice) do /g/ / /, co oznaczamy f(x)=/g/ / / jeżeli (def. Heinego) ciągu(xn) S(x0,r)­ xn=x0 f(x0)=/g/ / / (def. Cauchyego)/ / / / / / / / Def. Załóżmy że S^+(x0,r) Df. Mówimy że funkcja zmierza z prawej str w pkt x0 do /g/ / / co oznaczamy f(x)= /g/ / / jeżeli (def. Heinego) ciągu(xn) S^+(x0,r)­ xn=x0 f(xn)=/g/ / / (def. Cauchyego)/ / / / / / / / U. analogicznie definiuje się granice lewostronną funkcji w pkt. Def. Załóżmy że Df. Mówimy że funkcja zmierza w do /g/ / / co oznaczamy f(x)= /g/ / / , jeżeli Albo f(x) /g/ / / (def. Heinego) ciągu(xn) ­ xn= f(xn)=/g/ / / (def. Cauchyego)/ / / / / / / / U. Analogicznie definiujemy granice w (K<0,S(K, ),N<K,S(N, )) Tw. (o granicach funkcji złożonej) Niech f,g 1. f(x)=B 2.f(x) ≠B w pewnym sąsiedztwie A 3. g(y)=C Wtedy g(f(x))=C, gdzie A,B,C R { , } przy czym granice liczbowe mogą być obu lub jednostronne. Tw. (o trzech funkcjach) Niech f,g,h, 1. f(x) g(x) h(x) 2. f(x) h(x)=g R Wtedy g(x)=a, gdzie A R { , }, SA oznacza sąsiedztwo A przy czym granice mogą być obu lub jednostronne. Tw. (o dwóch funkcjach) Niech f,g 1. f(x)<g(x) 2. f(x)= Wtedy g(x)= ,gdzie A R { , }, S(A) oznacza sąsiedztwo A, przy czym granice w pkt mogą być obu lub jednostronne. Tw. (o zachowaniu nierówności w granicy) f(x) M R f(x) M R gdzie A R { , }, S(A) oznacza sąsiedztwo A, przy czym granice w pkt mogą być obu lub jednostronne. 6. Ciągłość funkcji Def. Funkcja jest ciągła w pkt x0 R jeżeli: 1. f jest określona w x0 (x­0 Df) 2.f ma granicę w pkt x0 3. f(x)=f(x0) Def. Funkcja jest /prawostronnie/ lewostronnie/ ciągła w pkt x0 jeżeli: 1.f jest określona w x­0 2.f ma granice /prawostr/ lewostr/ w x0 3. f(x)=f(x0) Obs. F jest ciągła w x0 f jest ciągła w x0 lewo-prawostronnie. Def. F jest ciągła jeżeli jest ciągła w każdym pkt swojej dziedziny. Tw. (o ciągłości f. odwrotnej), Niech będzie silnie monotoniczną surjekcją (I,J przedziały). Jeśli f jest f ciągłą to f^-1:I J też. Tw. (o lokalnym zachowaniu znaku), Niech będzie funkcja ciągłą na przedziale I X Jeśli x0 I i f(x0) 0, to przedział taki, że x0 J i f(x)*f(x0)>0 . Tw. Weierstrassa (o przyjmowaniu kresów), f: funkcja ciągła na przedziale domkniętym i ograniczonym przyjmuje na tym przedziale kresy, tzn U. bez założenia domkniętości lub ograniczoności dziedziny albo ciągłości teza nie musi być spełniona. Tw. Darboux (o przyjmowaniu wart pośrednich), Niech f: będzie funkcją ciągłą taką że /f(a)<f(b)/ f(b)<f(a)/ Wtedy / / / . Tw, Darboux (o miejscach zerowych funkcji), Niech f: będzie funkcją ciągłą taką że f(a)*f(b)<0 Wtedy . 7. Pochodna funkcji Def. Niech będzie funkcją . Załóżmy że . Jeżeli istnieje granica tzw ilorazu różnicowego to mówimy że funkcja jest różniczkowalna w pkt x0 i granicę tą nazywamy pochodną f w pkt x0.f'(x0) Def. Niech f,g będą funkcjami których wykresy przecinaja się w pkt (x0,y0), różniczkowalnymi w pkt x0. Kątem przecięcia wykresów funkcji f i g nazywamy mniejszy z katów φ między stycznymi do wykresów tych funkcji w pkt. Ich przecięcia. Obs. Miara kąta przecięcia wykresów f i g wyraża się wzorem gdy f'(x0)*g'(x0) ≠-1, natomiast gdy f'(x0)*g'(x0)=-1 lub , Def. Normalną do wykresu f w pkt x0 nazywamy prostą prostopadłą do stycznej do wykresu f w pkt styczności (x0,f(x0)) Obs. Równanie normalnej do wykresu f w pkt. x0 wyraża się wzorem jeśli f'(x0) ≠0 albo x=x0, gdy f'(x0)=0

Def. Niech będzie f, Załóżmy że /S^+(x0,r)/ S^-(x0,r)/ <Df. Jeżeli istnieje granica ilorazu różnicowego lim/h→0^+/ h→0^-/ , to mówimy że funkcja f jest /prawostr/ lewostr/ różniczkowalna w pkt x0 i granice tą nazywamy pochodną /prawostr/ lewostr/ f w pkt x0. Def. Jeśli jest różniczkowalna na zb to możemy określić pochodną funkcji jako funkcję przyjmującą w pkt x I wartość f'(x) Tw. (o pochodnej złożonej) niech f będzie funkcją różniczkowalną w pkt x0, a g- funkcją różniczkowalna w pkt f(x0). Wtedy . Tw. ( o pochodnej f odwrotnej) Niech będzie funkcją taką, że : 1. f jest ciągła w pewnym otoczeniu V(x0,r) 2. f jest silnie monotoniczna na V(x0,r) 3. f jest różniczkowalna w pkt x0 4. f'(x0) ≠0 Wtedy (f^-1)'(y0)= , gdzie y0=f(x0) Tw. Rolle'a- Niech będzie f ciągłą, różniczkowalną na (a,b) taka że f(a)=f(b) Wtedy Tw. Lagrange'a- niech będzie f ciągłą różniczkowalną na (a,b) Wtedy . Tw. (Reguła de L'Hospitala) Niech f,g będą funkcjami spełniającymi warunki 1a. przy czym g(x) ≠0 1b. 2. Istnieje Wtedy . S(A) oznacza sąsiedztwo A przy czym granice w pkt mogą być obustr jak i jednostr (wtedy S(A) oznacza odpowiednie obustronne bądź jednostronne sąsiedztwo A). Def. różniczkowalna w x0 Df. Różniczką funkcji f w pkt x0 nazywamy funkcję df(x0) zmiennej ∆x=x-x0 zadany wzorem df(x0)( ∆x)=f'(x0)= ∆x Def. Tw. (wzór Leibniza) Jeśli f,g są n-krotnie różniczkowalne w x0 to ich iloczyn również zachodzi wzór: Def. F jest n- krotnie różniczkowalną w pkt x0. Wielomian nazywamy wielomianem Taylora rzędu n funkcji f w pkt x0 Dla x0=0 wielomian ten będziemy nazywać wielomianem Mclarina. Wyrażenie Rn(x)=f(x)-fn-1(x) nazywamy n-tą resztą Lagrange'a. Tw. (Wz Taylora z resztą Lagrange'a) Jeśli f jest funkcją ciągłą f jest n-krotnie różniczkowalna na przedziale jest funkcją ciągłą, f jest n- krotnie różniczkowalna na przedziale to Tzn. 8. Badanie przebiegu zmienności funkcji Def. Prosta x=a jest asymptotą pionową /lewostr/ prawostr/ funkcji f, jeżeli Def. Prosta x=a jest asymptota pionową funkcji f jeżeli jest jednocześnie jej asymptotą pionową lewo- i prawostronną. Def. Prosta y=a jest asymptotą poziomą funkcji f, jeżeli Obs. Aby funkcja mogła mieć asymptotę poziomą musi być określona w pewnym sąsiedztwie +∞ lub -∞. Def, Prosta y=ax+b a≠0 jest a.ukośną funkcji f jeżeli Obs. Aby f mogła mieć a.ukośną musi być określ w pewnym sąsiedztwie +∞ lub -∞ Tw. (Warunki wystarczające monotoniczności funkcji) Niech I będzie przedziałem funkcja różniczkowalna. Jeśli : 1. f'(x)=0 f jest stała na I 2. f'(x)>0 f jest rosnąca na I 3. f'(x)≥0 f jest niemalejąca na I 4. f'(x)<0 f jest malejąca na I 5. f'(x)≤0 f jest nierosnąca na I Def. Funkcja ma w pkt x0 Df słabe /maks/ min/ lokalne jeżeli /f(x)≤f(x0)/ f(x)≥f(x0)/ . Jeżeli f ma w x0 maks lub min lokalne to mówimy że f ma w x0 ekstremum lokalne. Tw. Fermata (warunek Kon istnienia eks) Jeśli f jest różniczkowalna w x0 i ma w x­0 ekstremum lokalne (słabe), to f'(x0)=0 Tw. (I war wyst ist eks) Jeżeli f jest różniczkowalna w V(x0,r)i f'(x0)=0, to: 1. oraz f ma w x0 maks lok. 2. oraz f ma w x0 min lok. Tw. (II war wyst ist eks) Jeżeli f ma ciągłą n-tą pochodną na V(x0,r), przy czym f'(x0)=f''(x0)=…=f^(n-1)(x0)=0, to: 1. n jest parzyste i f^(n)(x0)<0 f ma w x0 maks lok 2. n jest parzyste i f^(n)(x0)>0 f ma w x0 min lok 3. n jest nieparzystei f^(n)(x0) ≠0 f nie ma ekstremum w x0 Def. F ma w x0 Df /maks/ min/ globalne jeżeli / f(x)≤f(x0)/ f(x)≥f(x0)/ Jeśli f ma w x0 maks lub min globalne to mówimy że ma w x0 eks globalne. Def. Funkcję nazywamy /wypukłą/ wklęsłą/ jeśli / takich, że x1<x2 f(x) / </ >/ U. funkcja jest wypukła jeżeli odcinek dowolnej siecznej jej wykresu między pktmi jej przecięcia z wykr funkcji leży nad tym wykresem, a wklęsła jeżeli leży pod wykresem funkcji. Tw. (warunki wystarczające wklęsłości i wypukłości) Jeżeli jest dwukrotnie różniczkowalna i / f”(x)>0/ f”(x)<0/ to f jest / wypukła/ wklęsła/ Def. Niech będzie określona i różniczkowalna w pewnym otoczeniu pkt x0 Df (dopuszczamy przypadek nieistnienia pochodnej w pkt x0, ale przy założeniu że oraz Tw. (warunek konieczny istnienia pkt przegięcia) Jeśli f”(x0) istnieje i f ma w (x0,f(x0)) pkt przegięcia f”(x0)=0 Tw. (warunek wystarczający istnienia pkt przegięcia) Niech będzie określona i różniczkowalna w pewnym otoczeniu x0 Df, f”(x0)=0 oraz funkcja f” jest określona w pewnym otoczeniu x0 i zmienia w nim znak/ +/- / -/+ / wtedy (x0,f(x0)) jest pkt przegięcia wykresu f. 9. Całka nieoznaczona. Def. Funkcję nazywamy f pierwotną funkcji f jeśli . Tw. Niech będzie funkcją pierwotna funkcji f wtedy każda f zadana wzorem G(x)=F(x)+C, gdzie C R jest również pierwotną funkcji f i wszystkie jej pierwotne są takiej samej postaci. Tw. Jeśli f jest f ciągłą na przedziale I, to ma f pierwotną n I. Def. Całką nieoznaczona funkcji f nazywamy rodzine wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f Def. Funkcją całkowalną nazywamy funkcje która posiada pierwotną. Zbiór funkcji całkowalnych na przedziale I oznaczać będziemy S(I). Tw. Niech f' S(I) Wtedy Tw. (liniowość całki nieoznaczonej) Tw. (całkowanie przez części) Wtedy Tw. (Całkowanie przez podstawianie) Niech będą przedziałami funkcją różniczkowalną, o ciągłej pochodnej g' funkcja ciągła wtedy 10. Całka oznaczona Def. Podziałem odcinka na n części, gdzie n N nazywamy zbiór liczb P={x0,x1,...,xn} taki że a=x0<x1<…<xn-1<x1=b Def. Ciąg {Pn}m N podziałów przedziału nazywamy normalnym ciągiem podziału jeżeli Def. Powiemy, że funkcja f jest całkowalna (w sensie Riemana) na przedziale jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów {Pm}m N przedziału i każdego wyboru pktów pośrednich granica ciągu sum całkowalnych istnieje i jest taka sama. Def. Jeżeli funkcja f jest całkowalna (w sensie Riemana) na przedziale to wspólną granicę ciągu sum całkowych nazywamy całką oznaczoną (Riemana) z funkcji f na przedziale i oznaczamy ją . dla dowolnego wz ciągu podziałów przedz i dla każdego wyboru pktów pośrednich. U. Przyjmujemy że . Własności całki oznaczonej: Tw. Każda funkcja ciągła na przedziale jest na nim całkowalna. Tw. (liniowość całki ozn) ciągłe, c R, wtedy Tw. Newtona- Lecbriza (I główne tw. Rachunku całkowego) ciągła, dowolna pierwotna funkcji f wtedy Tw. (całkowanie przez części) Niech Wtedy Tw. (całkowanie przez podst) ciągła, różniczkowalna taka że wtedy . Tw. (II główne tw rachunku całkowego) ciągła wtedy funkcja jest różniczkowalna w przedziale i jej pochodna wyraża się wz . Zast całki oznaczonej w geometrii. Tw. ciągła wtedy pole obszaru ograniczonego prostymi x=a, x=b, y=0 i wykresem funkcji f wynosi . U. Jeżeli f przyjmuje także wart ujemne to ilustruje nam różnicę pomiędzy sumą pól obszarów zawartych pod wykresem f i nad osią Ox, a sumą pól obszarów zawartych nad wykresem f i pod Ox. Tw. (dł. Krzywej) Niech będzie różniczkowalna o ciągłej pochodnej. Wtedy dł krzywej będąca wykresem f , wyraża się wz . Tw. (obj bryły Obr) ciągła. Niech P oznacza figurę ograniczoną przez x=a, x=b, y=0 i wykres f. Wtedy objętość bryły Bx powstałej przez obrót figury dookoła osi Ox wyraża się: . Jeśli ponadto a≥0 to obj bryły powst przez obrót dookoła Ox wyraża się: . Tw. (pole pow. Bryły Obr) Niech będzie f różniczkowalna o ciągłej pochodnej. Wtedy pole pow Ex powstałej przez obrót wykresu f dookoła osi )x wyraża się: . Jeśli ponadto a≥0 to pole pow powstałej przez obrót wykresu f dookoła osi Oy wyraża się: . 10. Całka niewłaściwa Def. -funkcje ciągłe. Całką niewłaściwą (I rodzaju) na przedziale nieograniczonym funkcji: f,g,h definiujemy odpowiednio jako: , , . Jeżeli granica występująca w definicji całki niewłaściwej istnieje i jest liczbą to całkę nazywamy zbieżną. W przeciwnym wypadku mówimy że całka jest rozbieżna. Def. f nieokreślona w b, g nieokreślona w g, , h nieokreślona w a i b . Całką niewłaściwą II rodzaju na przedziale funkcji f,g,h definiujemy odpowiednio jako: , , ,gdzie . Jeśli granica występująca w def istnieje i jest liczbą to całkę naz zbieżną, wpw- rozbieżną.

---