definicje - Kopia, AGH, I & II, Matematyka, Egzamin 1


3. Funkcje rzeczywiste i zmienne.

Def. Funkcja określoną na zb X o wart w zb Y nazywamy przyporządkowanie każdemu el 0x01 graphic
dokładnie jednego el 0x01 graphic
. Taką funkcję ozn 0x01 graphic
, a wart f w pkt x ozn f(x).

Def. Niech 0x01 graphic

X nazywamy dziedziną funkcji f i ozn ją Df. El dziedziny nazywamy argumentami.

Y nazywamy przeciwdziedziną funkcji f i oznaczamy

Zb Wf :=0x01 graphic
nazywamy zb wartości f a jego El wartościami funkcji.

Def. Wykresem funkcji 0x01 graphic
nazywamy zbiór Gf={(x,f(x)):0x01 graphic
Df}

Def. Jeżeli dla funkcji f zachodzi Df0x01 graphic
R, Wf 0x01 graphic
R, to mówimy o funkcji rzeczywistej jednej zmiennej. 0x01 graphic
, x0x01 graphic
R

U. Wykres funkcji0x01 graphic
możemy rys w ukł kartezjańskim jako punkty o wsp (x, f(x)), x0x01 graphic
Df

Def. Niech A0x01 graphic
X, 0x01 graphic
Zawężeniem funkcji do zbioru A nazywamy funkcję f¦A:0x01 graphic
określona wzorem f¦A(x)=f(x) 0x01 graphic

Def. Funkcja 0x01 graphic
jest ograniczona jeżeli jej zbiór wartości jest ograniczony. Funkcja nie jest ogr jeżeli nie jest ograniczona.

Def. Funkcja 0x01 graphic
jest okresowa jeżeli 0x01 graphic
x+t0x01 graphic
Df i f(x+t)=f(x). Liczbę t nazywamy okresem funkcji f. Najmniejszym okresem funkcji (o ile istnieje) nazywamy jej okresem podstawowym.

Def. Funkcja 0x01 graphic
jest parzysta jeżeli 0x01 graphic

Funkcja 0x01 graphic
jest nieparzysta jeżeli 0x01 graphic

U. Wykres funkcji parzystej jest symetryczny wzg osi Oy. Wykres funkcji nieparzystej jest sym wzg środka układu.

Def. Funkcja 0x01 graphic
jest /rosnąca/malejąca/niemal/nieros/ jeżeli 0x01 graphic
/f(x1)<f(x2)/ f(x1)>f(x2)/ f(x1)0x01 graphic
f(x2)/ f(x1)0x01 graphic
f(x2)/

Funkcje rosnącą i malejącą nazywamy funkcją silnie monotoniczną a funkcje niemalejącą i nierosnącą funkcją słabo monotoniczną.

Def. Funkcję0x01 graphic
nazywamy iniekcją jeżeli0x01 graphic
f(x1)0x01 graphic
f(x2)

Def. Funkcję 0x01 graphic
nazywamy surjekcją jeżeli Wf=R

Def. Funkcję 0x01 graphic
nazywamy bijekcją jeżeli jest iniekcja i surjekcją.

U. Funkcja 0x01 graphic
jest /injekcją/surjekcją/bijekcją/ jeżeli wykres Gf przecina się z dowolną prosta poziomą /co najwyżej/co najmniej/dokładni/ jeden raz.

Obs. Funkcja f jest silnie mon 0x01 graphic
f jest injekcją (0x01 graphic
)

Def. Niech 0x01 graphic
,0x01 graphic
przy czym X,Y0x01 graphic
R oraz Wf0x01 graphic
Dg Możemy wtedy zdefiniować g0x01 graphic
f będące złożeniem funkcji g (zew) z funkcją f (wew) wzorem:

g0x01 graphic
f(x)=g(f(x)),0x01 graphic

U. Składanie funkcji nie jest operacją przemienną.

Def. Niech 0x01 graphic
Mówimy że funkcja f jest odwracalną 0x01 graphic
0x01 graphic
taka że,

1. 0x01 graphic
(g0x01 graphic
f)(x)=x 2. 0x01 graphic
(f0x01 graphic
g)(y)=y

Funkcję g nazywamy wtedy funkcją odwrotną do funkcji f i ozn f-1

Obs. Funkcja 0x01 graphic
jest odwracalna 0x01 graphic
funkcja jest injekcją

Obs. Funkcje 0x01 graphic
i 0x01 graphic
są wzajemnie odwrotne 0x01 graphic

1. Wf=Dg i Wg=Df 2. wykresy Gf i Gg są sym wzg prostej y=x

Def. Pierwiastkiem (miejscem) zerowym funkcji 0x01 graphic
nazywamy x0x01 graphic
Df taki że f(x)=0

Def. Funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje, które można otrzymac z podstawowych funkcji elementarnych za pomocą skończonej liczby działań arytmetycznych oraz operacji składania funkcji.

Def. Wielomianem nazywamy f.W:R0x01 graphic
R określoną wzorem:

0x01 graphic
gdzie 0x01 graphic
dla i0x01 graphic
{0,...,n},an

0x01 graphic
0. Liczby a nazywamy współczynnikami wielomianu, w szczególności a0 nazywamy wyrazem wolnym. Liczbe n nazywamy stopniem wielomianu i ozn deg W

U. Każdy wielomian jest skończona sumą iloczynu funkcji stałych przez funkcje potęgowe, a zatem f. elementarną.

Def. Mówimy że wielomian jest podzielny przez wielomian V jeżeli istnieje wielomian P taki że W(x)=V(x)P(x) 0x01 graphic
.

Def. Wielomian nazywamy nierozkładalnym jeżeli nie jest podzielny przez żaden inny wielomian.

Tw. (dzielenie wielomianów z resztą), Niech W,V- wielomiany takie że degV0x01 graphic
degW. Wówczas istnieją jedne jedyne wielomiany PiR takie że W(x)=P(x)*V(x)+R(x) 0x01 graphic
, przy czym degR<degV

Def. Wielomian R nazywamy resztą z dzielenia W przez V

Def. Funkcje wymierne nazywamy funkcję postaci Q(x)=L(x)/M(X), gdzie L i M są wielomianami, M0x01 graphic
/ 0

U. Każda funkcja wymierna jest ilorazem dwóch wielomianów (funkcji El) więc jest funkcją elementarną.

Def. Funkcje wymierną nazywamy właściwą gdy deg L<deg M.

Tw. Każdą f wymierną można przedstawić w postaci sumy wielomianów i f wymiernej wł.

Def. Funkcję wym postaci 0x01 graphic
gdzie 0x01 graphic
,a 0x01 graphic
nazywamy ułamkiem prostym pierwszego rodzaju.

Def. Funkcję wym postaci 0x01 graphic
gdzie 0x01 graphic
0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
nazywamy ułamkiem prostym drugiego rodzaju.

4. Ciągi

Def. Ciągiem nazyw dowolną funkcję określona na N. Jego wartość dla Arg 0x01 graphic
nazyw n-tym wyrazem ciągu i oznacz an a cały ciąg (an) 0x01 graphic

Def. Ciągiem liczbowym nazyw dowolny ciąg o wart w R

Def. Ciąg (an) 0x01 graphic
nazyw ograniczonym jeżeli:0x01 graphic

Def. Ciąg (an) 0x01 graphic
nazywamy /rosnącym/ malejącym/ niemal/ nieros/ jeżeli 0x01 graphic
/

Ciąg rosnący lub malejący nazywamy ciągiem silnie mon a niemalejący lub nierosnący ciągiem słabo mon.

Def. Mówimy że ciąg (an) jest zbieżny do liczby g (zmiana do g, ma granicę g), jeżeli: 0x01 graphic
Piszemy wtedy 0x01 graphic
an=g lub an0x01 graphic
g |an-g|<0x01 graphic

Def. Mówimy, że ciąg (an) jest zbieżny do /0x01 graphic
/0x01 graphic
/ (zmierza do /0x01 graphic
/0x01 graphic
/, ma granicę niewłaściwą /0x01 graphic
/0x01 graphic
/) jeżeli 0x01 graphic
/an0x01 graphic
M/an0x01 graphic
M/. Piszemy wtedy 0x01 graphic
an=0x01 graphic
lub an0x01 graphic

Def. Niech (an) będzie dow ciągiem oraz niech (kn) będzie dowolnym rosnącym ciągiem liczb nat. Ciag bn=akn 0x01 graphic
nazywamy podciągiem ciągu an.

Tw. Ciąg zbieżny nie może mieć dwóch różnych granic.

Tw. Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony. Nie każdy ogr jest zbieżny.

Tw. Każdy ciąg mon i ograniczony jest zbieżny.

Tw. (o 3 ciągach) Niech (an),(bn),(c) będą ciągami takimi że:

1. an0x01 graphic
bn0x01 graphic
cn dla prawie wszystkich n 2. 0x01 graphic
an=0x01 graphic
cn=0x01 graphic
Wtedy ciąg (b­n) też jest zbieżny i 0x01 graphic
bn=g

Tw. (o 2 ciągach) Niech (an), (bn)- ciągi

1. an0x01 graphic
bn dla pw 0x01 graphic

2. 0x01 graphic
an=0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic
bn=0x01 graphic

Def. Ciąg (an) nazywamy arytmetycznym jeżeli 0x01 graphic
Liczbę r nazywamy różnicą ciągu arytm.

Obs. an- arytm0x01 graphic
an=a1+(n-1)r Sn=a1+...+an=0x01 graphic
*n

Def. Ciąg (an) nazywamy geometr jeżeli 0x01 graphic
Liczbę q nazywamy ilorazem ciągu geom.

Obs. An- geom 0x01 graphic
an=a1*qn-1 Sn=a1*0x01 graphic
S=0x01 graphic
Sn=a1+a2+a3+…=0x01 graphic
,gdy|q|<1

Obs. |q|<10x01 graphic
c.geom (an)0x01 graphic
0

q>0x01 graphic
(an0x01 graphic
0x01 graphic
gdy a1>) lub (an0x01 graphic
0x01 graphic
gdy a1<0)

g=10x01 graphic
an0x01 graphic
a1, q0x01 graphic
-10x01 graphic
an nie ma granicy.

5. Granica funkcji

Def. Otoczeniem pkt x00x01 graphic
R o promieniu r>0 nazywamy przedział Vx,r=(x0-r, x0+r)

Def. Sąsiedztwem pkt x00x01 graphic
R o promieniu r>0 nazywamy zbiór S(x0,r)=V(x0,r)\{x0}

Def. Sąsiedztwem /prawostronnym/ lewostronnym/ x00x01 graphic
R o promieniu r>0 nazywamy przedział /S+(x0,r)=(x0,x0+r)/ S(x0,r)=( x0-r ,x0)

Def. Sąsiedztwem /0x01 graphic
/ 0x01 graphic
/nazywamy dowolny przedział postaci /S(a, 0x01 graphic
)= (a, 0x01 graphic
)/ S(a, 0x01 graphic
)= (0x01 graphic
,a)/

Def. Niech 0x01 graphic
funkcja 0x01 graphic
,q0x01 graphic
R. Załóżmy, że 0x01 graphic
S(x0,r) 0x01 graphic
Df. Mówimy że funkcja f zmienia w pkt x0 (ma w pkt x0 granice) do /g/0x01 graphic
/0x01 graphic
/, co oznaczamy 0x01 graphic
f(x)=/g/0x01 graphic
/0x01 graphic
/ jeżeli

(def. Heinego) 0x01 graphic
ciągu(xn) 0x01 graphic
S(x0,r)­ 0x01 graphic
xn=x00x01 graphic
0x01 graphic
f(x0)=/g/0x01 graphic
/0x01 graphic
/

(def. Cauchyego)/ 0x01 graphic
/ 0x01 graphic
/0x01 graphic
/0x01 graphic
/0x01 graphic
/ 0x01 graphic
/0x01 graphic
/

Def. Załóżmy że 0x01 graphic
S+(x0,r) 0x01 graphic
Df. Mówimy że funkcja zmierza z prawej str w pkt x0 do /g/0x01 graphic
/0x01 graphic
/ co oznaczamy 0x01 graphic
f(x)= /g/0x01 graphic
/0x01 graphic
/ jeżeli

(def. Heinego)0x01 graphic
ciągu(xn)0x01 graphic
S+(x0,r)­ 0x01 graphic
xn=x00x01 graphic
0x01 graphic
f(xn)=/g/0x01 graphic
/0x01 graphic
/

(def. Cauchyego)/ 0x01 graphic
/ 0x01 graphic
/0x01 graphic
/0x01 graphic
/ 0x01 graphic
/0x01 graphic
/0x01 graphic
/

U. analogicznie definiuje się granice lewostronną funkcji w pkt.

Def. Załóżmy że 0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
Df. Mówimy że funkcja zmierza w0x01 graphic
do /g/0x01 graphic
/0x01 graphic
/ co oznaczamy 0x01 graphic
f(x)= /g/0x01 graphic
/0x01 graphic
/ , jeżeli

Albo f(x)0x01 graphic
/g/0x01 graphic
/0x01 graphic
/

(def. Heinego)0x01 graphic
ciągu(xn)0x01 graphic
0x01 graphic
­ 0x01 graphic
xn=0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
f(xn)=/g/0x01 graphic
/0x01 graphic
/

(def. Cauchyego)/ 0x01 graphic
/ 0x01 graphic
/0x01 graphic
/0x01 graphic
/ 0x01 graphic
/0x01 graphic
/0x01 graphic
/

U. Analogicznie definiujemy granice w 0x01 graphic
(K<0,S(K, 0x01 graphic
),N<K,S(N, 0x01 graphic
))

Tw. (o granicach funkcji złożonej) Niech f,g 0x01 graphic

1. 0x01 graphic
f(x)=B 2.f(x) ≠B w pewnym sąsiedztwie A 3. 0x01 graphic
g(y)=C Wtedy 0x01 graphic
g(f(x))=C, gdzie A,B,C0x01 graphic
R0x01 graphic
{0x01 graphic
,0x01 graphic
} przy czym granice liczbowe mogą być obu lub jednostronne.

Tw. (o trzech funkcjach) Niech f,g,h, 0x01 graphic

1. f(x)0x01 graphic
g(x) 0x01 graphic
h(x) 2. 0x01 graphic
f(x)0x01 graphic
0x01 graphic
h(x)=g0x01 graphic
R

Wtedy 0x01 graphic
g(x)=a, gdzie A0x01 graphic
R0x01 graphic
{0x01 graphic
,0x01 graphic
}, SA oznacza sąsiedztwo A przy czym granice mogą być obu lub jednostronne.

Tw. (o dwóch funkcjach) Niech f,g 0x01 graphic

1. f(x)<g(x) 0x01 graphic
2. 0x01 graphic
f(x)= 0x01 graphic
Wtedy 0x01 graphic
g(x)= 0x01 graphic
,gdzie A0x01 graphic
R0x01 graphic
{0x01 graphic
,0x01 graphic
}, S(A) oznacza sąsiedztwo A, przy czym granice w pkt mogą być obu lub jednostronne.

Tw. (o zachowaniu nierówności w granicy)

f(x) 0x01 graphic
M0x01 graphic
R 0x01 graphic

f(x)0x01 graphic
M0x01 graphic
R 0x01 graphic
gdzie A0x01 graphic
R0x01 graphic
{0x01 graphic
,0x01 graphic
}, S(A) oznacza sąsiedztwo A, przy czym granice w pkt mogą być obu lub jednostronne.

6. Ciągłość funkcji

Def. Funkcja 0x01 graphic
jest ciągła w pkt x00x01 graphic
R jeżeli:

1. f jest określona w x0 (x­00x01 graphic
Df) 2.f ma granicę w pkt x0 3. 0x01 graphic
f(x)=f(x0)

Def. Funkcja 0x01 graphic
jest /prawostronnie/ lewostronnie/ ciągła w pkt x0 jeżeli:

1.f jest określona w x­0 2.f ma granice /prawostr/ lewostr/ w x0 3. 0x01 graphic
f(x)=f(x0)

Obs. F jest ciągła w x00x01 graphic
f jest ciągła w x0 lewo-prawostronnie.

Def. F 0x01 graphic
jest ciągła jeżeli jest ciągła w każdym pkt swojej dziedziny.

Tw. (o ciągłości f. odwrotnej), Niech 0x01 graphic
będzie silnie monotoniczną surjekcją (I,J przedziały). Jeśli f jest f ciągłą to f -1:I0x01 graphic
J też.

Tw. (o lokalnym zachowaniu znaku), Niech 0x01 graphic
będzie funkcja ciągłą na przedziale I0x01 graphic
X Jeśli x00x01 graphic
I i f(x0) 0x01 graphic
0, to0x01 graphic
przedział taki, że x00x01 graphic
J i f(x)*f(x0)>0 0x01 graphic
.

Tw. Weierstrassa (o przyjmowaniu kresów), f:0x01 graphic
funkcja ciągła na przedziale domkniętym i ograniczonym przyjmuje na tym przedziale kresy, tzn 0x01 graphic
0x01 graphic

U. bez założenia domkniętości lub ograniczoności dziedziny albo ciągłości teza nie musi być spełniona.

Tw. Darboux (o przyjmowaniu wart pośrednich), Niech f: 0x01 graphic
będzie funkcją ciągłą taką że /f(a)<f(b)/ f(b)<f(a)/ Wtedy /0x01 graphic
/0x01 graphic
/ 0x01 graphic
.

Tw, Darboux (o miejscach zerowych funkcji), Niech f: 0x01 graphic
będzie funkcją ciągłą taką że f(a)*f(b)<0 Wtedy 0x01 graphic
.

7. Pochodna funkcji

Def. Niech 0x01 graphic
będzie funkcją 0x01 graphic
. Załóżmy że 0x01 graphic
. Jeżeli istnieje granica tzw ilorazu różnicowego 0x01 graphic
to mówimy że funkcja jest różniczkowalna w pkt x0 i granicę tą nazywamy pochodną f w pkt x0.f'(x0)

Def. Niech f,g będą funkcjami których wykresy przecinaja się w pkt (x0,y0), różniczkowalnymi w pkt x0. Kątem przecięcia wykresów funkcji f i g nazywamy mniejszy z katów φ między stycznymi do wykresów tych funkcji w pkt. Ich przecięcia.

Obs. Miara kąta przecięcia wykresów f i g wyraża się wzorem 0x01 graphic
gdy f'(x0)*g'(x0) ≠-1, natomiast 0x01 graphic
gdy f'(x0)*g'(x0)=-1 lub 0x01 graphic
,0x01 graphic

Def. Normalną do wykresu f w pkt x0 nazywamy prostą prostopadłą do stycznej do wykresu f w pkt styczności (x0,f(x0))

Obs. Równanie normalnej do wykresu f w pkt. x0 wyraża się wzorem 0x01 graphic
jeśli f'(x0) ≠0 albo x=x0, gdy f'(x0)=0

Def. Niech 0x01 graphic
będzie f, 0x01 graphic
Załóżmy że 0x01 graphic
/S+(x0,r)/ S-(x0,r)/ <Df. Jeżeli istnieje granica ilorazu różnicowego lim/h→0+/ h→0-/0x01 graphic
, to mówimy że funkcja f jest /prawostr/ lewostr/ różniczkowalna w pkt x0 i granice tą nazywamy pochodną /prawostr/ lewostr/ f w pkt x0.

Def. Jeśli 0x01 graphic
jest różniczkowalna na zb 0x01 graphic
to możemy określić pochodną funkcji jako funkcję 0x01 graphic
przyjmującą w pkt x0x01 graphic
I wartość f'(x)

Tw. (o pochodnej złożonej) niech f będzie funkcją różniczkowalną w pkt x0, a g- funkcją różniczkowalna w pkt f(x0). Wtedy 0x01 graphic
.

Tw. ( o pochodnej f odwrotnej) Niech 0x01 graphic
będzie funkcją taką, że :

1. f jest ciągła w pewnym otoczeniu V(x0,r) 2. f jest silnie monotoniczna na V(x0,r)

3. f jest różniczkowalna w pkt x0 4. f'(x0) ≠0

Wtedy (f -1)'(y0)=0x01 graphic
, gdzie y0=f(x0)

Tw. Rolle'a- Niech 0x01 graphic
będzie f ciągłą, różniczkowalną na (a,b) taka że f(a)=f(b) Wtedy 0x01 graphic

Tw. Lagrange'a- niech 0x01 graphic
będzie f ciągłą różniczkowalną na (a,b) Wtedy 0x01 graphic
.

Tw. (Reguła de L'Hospitala) Niech f,g będą funkcjami spełniającymi warunki

1a. 0x01 graphic
przy czym g(x) ≠0 0x01 graphic

1b. 0x01 graphic

2. Istnieje 0x01 graphic
Wtedy 0x01 graphic
. S(A) oznacza sąsiedztwo A przy czym granice w pkt mogą być obustr jak i jednostr (wtedy S(A) oznacza odpowiednie obustronne bądź jednostronne sąsiedztwo A).

Def. 0x01 graphic
różniczkowalna w x00x01 graphic
Df. Różniczką funkcji f w pkt x0 nazywamy funkcję df(x0) zmiennej ∆x=x-x0 zadany wzorem df(x0)( ∆x)=f'(x0)= ∆x

Def.

Tw. (wzór Leibniza) Jeśli f,g są n-krotnie różniczkowalne w x0 to ich iloczyn również zachodzi wzór: 0x01 graphic

Def.

F jest n- krotnie różniczkowalną w pkt x0. Wielomian0x01 graphic
nazywamy wielomianem Taylora rzędu n funkcji f w pkt x0

Dla x0=0 wielomian ten będziemy nazywać wielomianem Mclarina. Wyrażenie Rn(x)=f(x)-fn-1(x) nazywamy n-tą resztą Lagrange'a.

Tw. (Wz Taylora z resztą Lagrange'a) Jeśli f jest funkcją ciągłą f jest n-krotnie różniczkowalna na przedziale 0x01 graphic
jest funkcją ciągłą, f jest n- krotnie różniczkowalna na przedziale 0x01 graphic
to 0x01 graphic

Tzn.0x01 graphic

8. Badanie przebiegu zmienności funkcji

Def. Prosta x=a jest asymptotą pionową /lewostr/ prawostr/ funkcji f, jeżeli 0x01 graphic

Def. Prosta x=a jest asymptota pionową funkcji f jeżeli jest jednocześnie jej asymptotą pionową lewo- i prawostronną.

Def. Prosta y=a jest asymptotą poziomą funkcji f, jeżeli 0x01 graphic

Obs. Aby funkcja mogła mieć asymptotę poziomą musi być określona w pewnym sąsiedztwie +∞ lub -∞.

Def, Prosta y=ax+b a≠0 jest a.ukośną funkcji f jeżeli 0x01 graphic

Obs. Aby f mogła mieć a.ukośną musi być określ w pewnym sąsiedztwie +∞ lub -∞

Tw. (Warunki wystarczające monotoniczności funkcji) Niech I będzie przedziałem 0x01 graphic
funkcja różniczkowalna. Jeśli 0x01 graphic
:

1. f'(x)=00x01 graphic
f jest stała na I 2. f'(x)>00x01 graphic
f jest rosnąca na I

3. f'(x)≥00x01 graphic
f jest niemalejąca na I 4. f'(x)<00x01 graphic
f jest malejąca na I

5. f'(x)≤00x01 graphic
f jest nierosnąca na I

Def. Funkcja 0x01 graphic
ma w pkt x00x01 graphic
Df słabe /maks/ min/ lokalne jeżeli 0x01 graphic
/f(x)≤f(x0)/ f(x)≥f(x0)/ . Jeżeli f ma w x0 maks lub min lokalne to mówimy że f ma w x0 ekstremum lokalne.

Tw. Fermata (warunek Kon istnienia eks) Jeśli f jest różniczkowalna w x0 i ma w x­0 ekstremum lokalne (słabe), to f'(x0)=0

Tw. (I war wyst ist eks) Jeżeli 0x01 graphic
f jest różniczkowalna w V(x0,r)i f'(x0)=0, to:

1. 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
f ma w x0 maks lok.

2. 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
f ma w x0 min lok.

Tw. (II war wyst ist eks) Jeżeli 0x01 graphic
f ma ciągłą n-tą pochodną na V(x0,r), przy czym f'(x0)=f''(x0)=…=f(n-1)(x0)=0, to:

1. n jest parzyste i f(n)(x0)<00x01 graphic
f ma w x0 maks lok

2. n jest parzyste i f(n)(x0)>00x01 graphic
f ma w x0 min lok

3. n jest nieparzystei f(n)(x0) ≠00x01 graphic
f nie ma ekstremum w x0

Def. F ma w x00x01 graphic
Df /maks/ min/ globalne jeżeli 0x01 graphic
/ f(x)≤f(x0)/ f(x)≥f(x0)/ Jeśli f ma w x0 maks lub min globalne to mówimy że ma w x0 eks globalne.

Def. Funkcję 0x01 graphic
nazywamy /wypukłą/ wklęsłą/ jeśli /0x01 graphic
takich, że x1<x20x01 graphic
f(x) / </ >/ 0x01 graphic

U. funkcja jest wypukła jeżeli odcinek dowolnej siecznej jej wykresu między pktmi jej przecięcia z wykr funkcji leży nad tym wykresem, a wklęsła jeżeli leży pod wykresem funkcji.

Tw. (warunki wystarczające wklęsłości i wypukłości) Jeżeli 0x01 graphic
jest dwukrotnie różniczkowalna i 0x01 graphic
/ f”(x)>0/ f”(x)<0/ to f jest / wypukła/ wklęsła/

Def. Niech 0x01 graphic
będzie określona i różniczkowalna w pewnym otoczeniu pkt x00x01 graphic
Df (dopuszczamy przypadek nieistnienia pochodnej w pkt x0, ale przy założeniu że 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic

Tw. (warunek konieczny istnienia pkt przegięcia) Jeśli f”(x0) istnieje i f ma w (x0,f(x0)) pkt przegięcia0x01 graphic
f”(x0)=0

Tw. (warunek wystarczający istnienia pkt przegięcia) Niech0x01 graphic
będzie określona i różniczkowalna w pewnym otoczeniu x00x01 graphic
Df, f”(x0)=0 oraz funkcja f” jest określona w pewnym otoczeniu x0 i zmienia w nim znak/ +/- / -/+ / wtedy (x0,f(x0)) jest pkt przegięcia wykresu f.

9. Całka nieoznaczona.

Def. Funkcję 0x01 graphic
nazywamy f pierwotną funkcji f jeśli 0x01 graphic
.

Tw. Niech 0x01 graphic
będzie funkcją pierwotna funkcji f wtedy każda f 0x01 graphic
zadana wzorem G(x)=F(x)+C, gdzie C0x01 graphic
R jest również pierwotną funkcji f i wszystkie jej pierwotne są takiej samej postaci.

Tw. Jeśli f jest f ciągłą na przedziale I, to ma f pierwotną n I.

Def. Całką nieoznaczona funkcji f nazywamy rodzine wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f 0x01 graphic

Def. Funkcją całkowalną nazywamy funkcje która posiada pierwotną. Zbiór funkcji całkowalnych na przedziale I oznaczać będziemy S(I).

Tw. Niech f'0x01 graphic
S(I) Wtedy 0x01 graphic

Tw. (liniowość całki nieoznaczonej) 0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

Tw. (całkowanie przez części) 0x01 graphic
Wtedy 0x01 graphic

Tw. (Całkowanie przez podstawianie) Niech 0x01 graphic
będą przedziałami 0x01 graphic
funkcją różniczkowalną, o ciągłej pochodnej g' 0x01 graphic
funkcja ciągła wtedy 0x01 graphic

10. Całka oznaczona

Def. Podziałem odcinka 0x01 graphic
na n części, gdzie n0x01 graphic
N nazywamy zbiór liczb P={x0,x1,...,xn} taki że a=x0<x1<…<xn-1<x1=b

Def. Ciąg {Pn}m0x01 graphic
N podziałów przedziału 0x01 graphic
nazywamy normalnym ciągiem podziału jeżeli 0x01 graphic

Def. Powiemy, że funkcja f jest całkowalna (w sensie Riemana) na przedziale0x01 graphic
jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów {Pm}m0x01 graphic
N przedziału 0x01 graphic
i każdego wyboru pktów pośrednich granica ciągu sum całkowalnych 0x01 graphic
istnieje i jest taka sama.

Def. Jeżeli funkcja f jest całkowalna (w sensie Riemana) na przedziale 0x01 graphic
to wspólną granicę ciągu sum całkowych nazywamy całką oznaczoną (Riemana) z funkcji f na przedziale0x01 graphic
i oznaczamy ją 0x01 graphic
. 0x01 graphic
dla dowolnego wz ciągu podziałów przedz 0x01 graphic
i dla każdego wyboru pktów pośrednich.

U. Przyjmujemy że 0x01 graphic
.

Własności całki oznaczonej:

Tw. Każda funkcja ciągła na przedziale 0x01 graphic
jest na nim całkowalna.

Tw. (liniowość całki ozn) 0x01 graphic
ciągłe, c0x01 graphic
R, wtedy 0x01 graphic
0x01 graphic

Tw. Newtona- Lecbriza (I główne tw. Rachunku całkowego)0x01 graphic
ciągła, 0x01 graphic
dowolna pierwotna funkcji f wtedy 0x01 graphic

Tw. (całkowanie przez części) Niech 0x01 graphic
Wtedy 0x01 graphic

Tw. (całkowanie przez podst) 0x01 graphic
ciągła, 0x01 graphic
różniczkowalna taka że 0x01 graphic
wtedy 0x01 graphic
.

Tw. (II główne tw rachunku całkowego) 0x01 graphic
ciągła wtedy funkcja 0x01 graphic
jest różniczkowalna w przedziale0x01 graphic
i jej pochodna wyraża się wz 0x01 graphic
.

Zast całki oznaczonej w geometrii.

Tw. 0x01 graphic
ciągła wtedy pole obszaru ograniczonego prostymi x=a, x=b, y=0 i wykresem funkcji f wynosi 0x01 graphic
.

U. Jeżeli f przyjmuje także wart ujemne to 0x01 graphic
ilustruje nam różnicę pomiędzy sumą pól obszarów zawartych pod wykresem f i nad osią Ox, a sumą pól obszarów zawartych nad wykresem f i pod Ox.

Tw. (dł. Krzywej) Niech 0x01 graphic
będzie różniczkowalna o ciągłej pochodnej. Wtedy dł krzywej będąca wykresem f , 0x01 graphic
wyraża się wz 0x01 graphic
.

Tw. (obj bryły Obr) 0x01 graphic
ciągła. Niech P oznacza figurę ograniczoną przez x=a, x=b, y=0 i wykres f. Wtedy objętość bryły Bx powstałej przez obrót figury dookoła osi Ox wyraża się: 0x01 graphic
. Jeśli ponadto a≥0 to obj bryły powst przez obrót dookoła Ox wyraża się: 0x01 graphic
.

Tw. (pole pow. Bryły Obr) Niech 0x01 graphic
będzie f różniczkowalna o ciągłej pochodnej. Wtedy pole pow Ex powstałej przez obrót wykresu f dookoła osi )x wyraża się:0x01 graphic
. Jeśli ponadto a≥0 to pole pow 0x01 graphic
powstałej przez obrót wykresu f dookoła osi Oy wyraża się:0x01 graphic
.

10. Całka niewłaściwa

Def. 0x01 graphic
-funkcje ciągłe. Całką niewłaściwą (I rodzaju) na przedziale nieograniczonym funkcji: f,g,h definiujemy odpowiednio jako: 0x01 graphic
0x01 graphic
, 0x01 graphic
,0x01 graphic
. Jeżeli granica występująca w definicji całki niewłaściwej istnieje i jest liczbą to całkę nazywamy zbieżną. W przeciwnym wypadku mówimy że całka jest rozbieżna.

Def. 0x01 graphic
f nieokreślona w b, 0x01 graphic
g nieokreślona w g, 0x01 graphic
, h nieokreślona w a i b . Całką niewłaściwą II rodzaju na przedziale 0x01 graphic
funkcji f,g,h definiujemy odpowiednio jako: 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
,gdzie0x01 graphic
. Jeśli granica występująca w def istnieje i jest liczbą to całkę naz zbieżną, wpw- rozbieżną.




Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
1296581494 Matematyka definicje-Szybowski-zimowy iman, AGH, I & II, Matematyka, Egzamin 1
definicje-Szybowski-zimowy, AGH, I & II, Matematyka, Egzamin 1
sciaga rownanie rozniczkowe zupelne, AGH, I & II, Matematyka, Teoria
rrr-praktyka, AGH, I & II, Matematyka, Teoria
sciaga rownanie rozniczkowe o zmiennych rozdzielonych, AGH, I & II, Matematyka, Teoria
egzamin IMIR1, AGH, I & II, Fizyka, EGZAMIN, Zestawy
Matematyka II dotychczasowe egzaminy (1)
TEST A, USM I, II semestr, Ekonomia Matematyczna, Egzamin
Matematyka egzamin po II sem
pyt egz minerały, Studia GiG agh, Rok II, Mineralogia, Egzamin
Fizyka 2, Elektrotechnika AGH, Semestr II letni 2012-2013, Fizyka II - Wykład, EGZAMINY z zeszłych l
Egz1DDD-2010, Elektrotechnika AGH, Semestr II letni 2012-2013, Fizyka II - Wykład, EGZAMINY z zeszły
Fizyka 2, Elektrotechnika AGH, Semestr II letni 2012-2013, Fizyka II - Wykład, EGZAMINY z zeszłych l
Egz1CCC-2010, Elektrotechnika AGH, Semestr II letni 2012-2013, Fizyka II - Wykład, EGZAMINY z zeszły
zag-2010, Elektrotechnika AGH, Semestr II letni 2012-2013, Fizyka II - Wykład, EGZAMINY z zeszłych l
TEST B, USM I, II semestr, Ekonomia Matematyczna, Egzamin

więcej podobnych podstron