Marcin Ciepiela	Wydział: WEAiI	Grupa: 101A	Zespół: III
Ćwiczenie: M7	Temat: WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA FIZYCZNEGO
Data: 11.03.2008	Ocena:

1. Wstęp teoretyczny

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego Katera. Wahadłem fizycznym nazywamy każdą bryłę sztywną wahającą się pod działaniem siły ciężkości dookoła osi, nie przechodzącej przez środek masy tej bryły. Wahadło Katera jest wahadłem rewersyjnym w którym położenia osi zawieszenia są stałe. Wahadło rewersyjne to taki wahadło, które można zawiesić na dwóch osiach równoległych leżących po przeciwnych stronach środka ciężkości wahadła, odległości osi zawieszeni od środka ciężkości są nierówne i okresy wahań przy zawieszeni wahadła na obu tych osiach są jednakowe. Wahadło Katera składa się z metalowej sztaby wzdłuż której można przesuwać dwie masy m1 i m2 o kształcie soczewek. Kształt ten ma na celu zmniejszenie oporu powietrza w czasie ruchu. Na sztabie znajduje się dwa prostopadłe do niej, skierowane do siebie ostrza O1 i O2. Jedno z nich znajduje się między masami, drugie na zewnątrz nich. Wahadło może się wahać dookoła każdego z tych ostrzy po uprzednim oparciu ostra na płytce stalowej przytwierdzonej do masowego statywu lub znajduje się w uchwycie umocowanym w ścianie.

Jeżeli oscylujący punkt porusza się tam i z powrotem wokół położenia równowagi tak, że funkcja energii potencjalnej zmienia się z kwadratem wychylenia `x' w następujący sposób:

gdzie k - jest wielkością stałą, to siła działająca na punkt materialny zgodnie
z równaniem:

jest proporcjonalna do wychylenia i taki ruch drgający nazywamy ruchem harmonicznym prostym.

Korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona możemy napisać:

Równanie to nazywamy równaniem ruchu prostego oscylatora harmonicznego.

Rozwiązaniem tego równania jest funkcja x(t), której druga pochodna jest równa jej samej lecz z przeciwnym znakiem. Ten warunek spełniają funkcje sin i cos pomnożone przez stały współczynnik A.

(1)

Różniczkując je dwukrotnie względem czasu mamy:

Po podstawieniu do poprzednich wzorów otrzymujemy:

Jeżeli zatem przyjmiemy, że:

to równanie (1) jest rozwiązaniem równania oscylatora harmonicznego prostego.

Stałe A i δ pozostają w dalszym ciągu nie określone i mogą przyjmować dowolne wartości.

Jeżeli w równaniu (1) zwiększyć czas o
to funkcja przyjmuje swoją poprzednią wartość. Zatem
jest okresem T.

Ponieważ :

mamy:

Składowa styczna siły działającej na wahadło w czasie ruchu ma postać:

Jeśli kąt α jest bardzo mały to:

sinα ≅ α =

wtedy

Ostatecznie otrzymujemy wzór na okres wahadła w postaci:

Stąd przyspieszenie ziemskie dane jest zależnością:

2. Wyniki pomiarów

Odległość ostrza O1 od O2 - 110cm

Czasy dla 20 wahnięć

Odległości pomiędzy masami [cm]		Czas 20 wahnięć [s]		Okres T [s]
				Dla I-go zawieszenia	Dla II-go zawieszenia	Dla I-go zawieszenia		Dla II-go zawieszenia
X1	98	42,04	43,43	T1	2,10	T1	2,17
X2	88	41,44	41,94	T2	2,07	T2	2,09
X3	78	41,47	40,81	T3	2.07	T3	2,04
X4	68	41,19	39,87	T4	2,06	T4	1,99
X5	58	41,10	39,10	T5	2,05	T5	1,95
X6	48	41,35	38,81	T6	2,06	T6	1,94
X7	38	41,37	39,06	T7	2,07	T7	1,95
X8	28	41,75	40,12	T8	2,09	T8	2.01
X9	18	42,03	43,31	T9	2,10	T9	2,16
X10	8	42,60	48,97	T10	2,13	T10	2,45

Czasy dla 50 wachnięć

Przyspieszenie ziemskie:

Rachunek błędów:

Do obliczenia błędów przyjęto:

- błąd wyznaczenia długości wahadła ∆x₀ = 2mm

- błąd bezwzględny pomiaru czasu ∆t = 1s, czyli

Błąd wyznaczonego przyspieszenia metodą różniczki logarytmicznej:

gdzie:

Błąd bezwzględny:

Błąd względny:

Ostatecznie przyspieszenie ziemskie:

Tablicowa wartość przyspieszenia ziemskiego:

3. Wnioski

Przeprowadzając w ten sposób doświadczenie możemy z dużą dokładnością wyznaczyć przyśpieszenie ziemskie. Ważne jest aby starać się dokładnie odczytywać okresy drgań oraz nie działać na wahadło zbyt dużą siłą, czyli nie powodować zbyt dużych wychyleń. Ponieważ wpływa to bezpośrednio na odczyt przyśpieszenia ziemskiego.

Tablicowa wartość przyspieszenia ziemskiego mieści się w granicach błędu. Największy błąd powodował pomiar czasu, który zależał od refleksu osoby mierzącej czas. Drobny błąd został spowodowany przy wyznaczaniu długości wahadła.

Otrzymujemy na wykresie krzywe zbliżone do paraboli o bardzo dużym kącie rozchylenia i w następstwie dwa punkty przecięcia.

---