Magdalena Nowaczyk

Paweł Utko

PPT:Fizyka rok2

Ćwiczenie 44: BADANIE ZALEŻNOŚCI REZYSTANCJI OD TEMPERATURY DLA METALI I PÓŁPRZEWODNIKÓW

Ciała stałe ze względu na ich własności elektryczne można podzielić na trzy grupy: przewodniki, półprzewodniki i dielektryki. Do półprzewodników należą ciała, których konduktywność jest mniejsza od konduktywności dobrych przewodników, ale znacznie większa od konduktywności dielektryków. Konduktywność półprzewodników mieści się w bardzo szerokich granicach od 10^-8 do 10⁵ Ω^-1m^-1.
Do półprzewodników zaliczamy 12 pierwiastków (bor B, węgiel C, krzem Si, fosfor P, siarkę S, german Ge, arsen As, selen Se, szarą cynę Sn, antymon Sb, tellur Te, jod J), wśród których największe znaczenie maję krzem i german. Półprzewodnikami są także liczne związki podwójne. Do takich należą m. in. związki pierwiastków grupy III i V, oznaczone symbolem A^III B^V lub krótko - III-V
(np. InSb, GaAs, GaP), związki II-VI (np. CdS, CdTe) związki IV-VI (np. PbS, PbSe, PbTe), związki I-VI (np. CuS, CuO) i inne. Oprócz materiałów nieorganicznych do półprzewodników należą również niektóre materiały organiczne takie, jak np. antracen i sześciobenzobenzen.

Przedstawiony podział ciał stałych, w którym kryterium podziału stanowi wartość konduktywności, jest bardzo przybliżony. Istotnym czynnikiem, który odróżnia półprzewodniki od pozostałych grup ciał stałych, jest ich struktura elektronowa. Z niej wynikają wszystkie elektryczne, optyczne i inne specyficzne własności półprzewodników.

W ciele stałym istnieją pasma energetyczne złożone z bardzo wielu mało różniących się, dozwolonych energii elektronów. Różnice energii sąsiednich poziomów w pasmie są tak małe, iż można uważać, że praktycznie energia w pasmach zmienia się w sposób ciągły. Jednak fakt, że liczba dyskretnych poziomów w pasmie jest skończona, odgrywa istotną rolę w mechanizmie przewodnictwa ciał stałych. Pasma energii dozwolonych są oddzielone pasmami energii wzbronionych, których elektrony w ciele mieć nie mogą. Istnienie pasm w ciele stałym jest, ogólnie określając, wynikiem oddziaływania pól atomów sąsiednich na elektrony w atomie. Wpływ atomów sąsiednich jest najmniejszy na elektrony wewnętrzne w atomie, które znajdują się blisko jądra i są silnie z nim związane. Dlatego pasma energii elektronów wewnętrznych są bardzo wąskie i praktycznie odpowiadają poziomom w odosobnionym atomie.

Wysokoenergetyczne natomiast poziomy elektronów zewnętrznych, czyli walencyjnych, tworzą szerokie pasma. Ze względu na duży wpływ pól wszystkich atomów ciała na elektrony walencyjne, elektrony te nie są związane z jednym wybranym atomem, ale ze wszystkimi atomami ciała i biorą udział w tzw. wiązaniu międzyatomowym.

W ciele stałym (tak, jak i w odosobnionym atomie) poziomy energetyczne pasm najniższych są całkowicie obsadzone przez elektrony. W myśl tzw. zasady Pauliego każdy dozwolony poziom energii może być obsadzony przez najwyżej dwa elektrony.

Elektrony wewnętrzne można wykluczyć z rozważań o przewodnictwie ciał stałych, ponieważ obsadzają wszystkie dozwolone poziomy energii w ich pasmach. Aby bowiem przewodzić prąd elektryczny, elektron musi pobierać energię od przyłożonego pola elektrycznego. Oznacza to, że elektron musi być przenoszony na wyższe poziomy energetyczne, co w myśl zasady Pauliego jest niemożliwe, jeżeli te poziomy są już zajęte. Dla przewodnictwa elektrycznego istotne jest wypełnienie pasm przez zewnętrzne elektrony walencyjne.

W przewodnikach (metalach) elektrony walencyjne tylko częściowo wypełniają pasmo albo najwyższe całkowicie obsadzone przez elektrony walencyjne pasmo nachodzi częściowo na wyżej położone pasmo puste, dając w rezultacie również pasmo częściowo zapełnione. W obydwóch przypadkach elektrony walencyjne mogą przechodzić na wyższe, nie zajęte poziomy energetyczne. Zatem w przewodnikach w obecności zewnętrznego pola elektrycznego elektrony najwyższego częściowo zapełnionego pasma (zwanego pasmem przewodnictwa) mogą pobierać od pola energię, tworząc uporządkowany ruch ładunków, czyli prąd.

W dielektrykach elektrony walencyjne całkowicie wypełniają pasmo zwane pasmem walencyjnym lub podstawowym. Wyżej leżące i puste pasmo energii dozwolonych (pasmo przewodnictwa) jest oddzielone od pasma walencyjnego szerokim pasmem energii wzbronionej, zwanym też przerwą energetyczną. Elektrony walencyjne w tym przypadku nie mogą pobierać energii od zewnętrznego pola elektrycznego, gdyż zasada Pauliego nie pozwala im przechodzić na wyższe, zajęte już poziomy pasma podstawowego, a prawdopodobieństwo przejścia elektronów walencyjnych do pustego pasma przewodnictwa jest znikomo małe. W rezultacie prąd w dielektrykach praktycznie nie płynie.

Model pasmowy półprzewodnika, tzw. samoistnego, czyli półprzewodnika o niezakłóconej domieszkami sieci krystalicznej, jest taki sam jak dielektryka, z tym, że szerokość pasma wzbronionego, równa różnicy energii dna pasma przewodnictwa i wierzchołka pasma walencyjnego
E_g = E_c - E_V jest mała. W półprzewodnikach wartość przerwy energetycznej E_g nie przekracza 3 eV.
W półprzewodniku część elektronów pasma walencyjnego może przejść do pustego pasma przewodnictwa i stać się elektronami zdolnymi do przewodzenia prądu. Aby jednak to nastąpiło, należy elektronom walencyjnym dostarczyć energii równej szerokości pasma wzbronionego. Energią potrzebną do wzbudzenia nośników prądu, zwaną też często energią aktywacji, może być np. energia drgań cieplnych siatki krystalicznej, proporcjonalna do temperatury ciała, lub np. energia fotonu
padającego światła.

Dzięki małej szerokości pasma wzbronionego w półprzewodniku, już w temperaturze pokojowej część elektronów walencyjnych jest przeniesione do pasma przewodnictwa i umożliwia przepływ prądu, gdy tymczasem w dielektryku pasmo przewodnictwa w tej temperaturze jest całkowicie puste. Jak pokazuje szczegółowa teoria, koncentracja swobodnych elektronów n, czyli liczbę elektronów w pasmie przewodnictwa, przypadająca na jednostkę objętości ciała, powiększa się (wykładniczo) z temperaturą ciała T zgodnie ze wzorem

w którym
k = 1,38*10-23 JK - stała Boltzmanna,
C - stała zależna od rodzaju półprzewodnika.

Zależność koncentracji nośników od temperatury jest specyficzną właściwością półprzewodników, odróżniającą je od metali, w których koncentracja nośników (elektronów swobodnych) jest praktycznie stała, niezależnie od temperatury.

W metalach swobodnymi nośnikami ładunku są elektrony niezapełnionego pasma przewodnictwa i konduktywność wyraża się wzorem

σ = e n u_n .

Koncentracja swobodnych nośników n w metalach w odróżnieniu od półprzewodników nie zależy od temperatury i jest rzędu koncentracji atomów. Koncentracja swobodnych nośników w metalach jest o kilka rzędów większa niż w półprzewodnikach: stąd znacznie większa konduktancja metali. Ruchliwość swobodnych nośników ładunku

ustala się w warunkach równowagi, gdy średni przyrost prędkości unoszenia v_n (prędkość uporządkowanego ruchu nośników wzdłuż pola elektrycznego) wywołany działaniem siły pola elektrycznego , jest równoważony ubytkiem tej prędkości, wywołanym procesami rozproszeniowymi. Przyczyną rozpraszania fali elektronowej są wszelkie odstępstwa od periodyczności energii potencjalnej elektronu w krysztale.

W metalach można wyróżnić dwa podstawowe mechanizmy rozpraszania. W zakresie wysokich temperatur decydujące jest rozpraszanie swobodnych nośników, związane z drganiami cieplnymi atomów, rozmieszczonych w węzłach periodycznej sieci krystalicznej. Drgania powodują niejednorodność ośrodka w postaci lokalnych fluktuacji gęstości, na których rozprasza się fala, reprezentująca ukierunkowaną w polu elektrycznym wiązkę elektronów. Ponieważ energia drgań sieci jest skwantowana i kwant energii takich drgań o częstotliwości ν wynosi hν i nazywa się fononem, można powiedzieć, że rozpraszanie swobodnych elektronów, spowodowane drganiami sieci, polega na zderzeniach elektronów z fononami. Ze wzrostem temperatury zwiększa się zarówno amplituda drgań sieci, jak i przekrój czynny na rozpraszanie (prawdopodobieństwo rozproszenia). Ze wzrostem temperatury maleje zatem ruchliwość i konduktancja metali; zwiększa się więc ich rezystancja. W zakresie wysokich temperatur, w mało zanieczyszczonych metalach jednoskładnikowych, z dobrym przybliżeniem słuszna jest liniowa zależność między przyrostem rezystancji metali a przyrostem temperatury. W tym zakresie temperatur zależność rezystancji metali opisuje się często wzorem

R_t = R_o(1 + α_ot),

w którym

R_o - rezystancja w temperaturze 0^oC,

R_t - rezystancja w temperaturze t^oC,

natomiast

nazywamy współczynnikiem temperaturowym rezystancji w zakresie od 0 do t^oC.

W praktyce technicznej spotyka się wartości współczynnika temperaturowego rezystancji, przyjmujące za rezystancję odniesienia rezystancję w temperaturze pokojowej (20 ^oC).

Drugim mechanizmem rozpraszania na wszelkich defektach sieciowych (zaburzeniach strukturalnych sieci). W czystych metalach jednoskładnikowych ten typ rozpraszania ma dominujące znaczenie w bardzo niskich temperaturach. Wówczas składowa rezystancji R_i, spowodowana defektami sieciowymi, jest praktycznie niezależna od temperatury i mała w porównaniu ze składową rezystancji R_l, spowodowaną drganiami sieci w temperaturze pokojowej. Rezystancję R_i określa się często mianem rezystancji resztkowej. Obydwa współczynniki rezystancji są addytywne (reguła Matthiessena) i R = R_l + R_i. Dla wielu stopów metalicznych składowa R_i może być bardzo znaczna i przewyższać składową R_l

Rezystancja niektórych materiałów gwałtownie spada do zera po osiągnięciu pewnej dostatecznie niskiej temperatury, zwanej krytyczną. Materiały takie nazywamy nadprzewodnikami. Mechanizm przewodnictwa elektrycznego w półprzewodnikach został omówiony wcześniej. Przedstawione tu uwagi o rozpraszaniu swobodnych nośników w metalach są słuszne również dla półprzewodników, z tym że w półprzewodnikach głównymi defektami strukturalnymi , które decydują o rozpraszaniu w niskich temperaturach, są zjonizowane atomy domieszek.

Dla półprzewodnika, w zakresie temperatur przewodnictwa samoistnego, mierząc zależność rezystancji od temperatury, można wyznaczyć szerokość pasma wzbronionego E_g (tzw. przerwę energetyczną). Możemy również obliczyć rezystancję w zakresie samoistnym korzystając ze wzoru:

gdzie R_o z dobrym przybliżeniem jest stałą zależną od rodzaju półprzewodnika i jego wymiarów geometrycznych. Stała R_o oznacza rezystancję, jaką miałby przewodnik w nieskończenie dużej temperaturze, gdyby powyższa zależność była słuszna w całym zakresie temperatur.

Logarytmując powyższe wyrażenie stronami otrzymamy

lub

Na wykresie zależność ln R = f(1000/T) w zakresie przewodnictwa samoistnego przedstawia zatem linię prostą, której tangens kąta nachylenia

stąd

gdzie ln R₁, 1000/T1 oraz ln R₂, 1000/T2 oznaczają współrzędne punktów na początku i końcu prostoliniowego odcinka wykresu zależności ln R = f(1000/T).

WYNIKI POMIARÓW DLA PÓŁPRZEWODNIKA

WYNIKI POMIARÓW DLA METALU

WNIOSKI

Patrząc na wykres przedstawiający zależność rezystancji metalu w zależności od temperatury zauważamy, że zależność ta jest liniowa. Jest to zgodne z oczekiwaniami (wzór R_t = R_o(1+α_ot)). Obliczony przez nas współczynnik temperaturowy rezystancji platyny α = 3.9 *10 ^-3 K^-1 jest zgodny z wartością odczytaną w tablicach.

Dla półprzewodnika obliczyliśmy przerwę energetyczną między pasmem przewodnictwa a pasmem podstawowym E_g ≈ 1.9 eV. Jest to zgodne z rzeczywistością, ponieważ szerokość przerwy energetycznej nie przekracza 3 eV. Zależność logarytmu naturalnego rezystancji od 1000/T jest również liniowa (widać to na wykresie). Jest ona potwierdzeniem równania wcześniej wyprowadzonego ln R = ln R_o + 10^-3 . Możemy uznać, że badany przez nas zakres temperatur 20÷90 ^oC jest zakresem przewodnictwa samoistnego.

Obliczenia, które przeprowadziliśmy dla wyników naszych pomiarów potwierdziły doświadczelnie liniową zależność rezystancji od temperatury w przypadku metali oraz ekspotencjonalną zależność rezystancji od odwrotności temperatury dla półprzewodników.

---