Ćw. 2

ODBIORNIKI O CHARAKTERZE R, L, C W OBWODZIE

JEDNOFAZOWYM PRĄDU PRZEMIENNEGO

Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest poznanie metod technicznych wyznaczania podstawowych parametrów pojedynczych odbiorników o charakterze R, L, C i ich układów połączeń przy zasilaniu napięciem sinusoidalnie zmiennym, oraz sposobu poprawy współczynnika mocy.

Program ćwiczenia:

• pomiary parametrów pojedynczych odbiorników o charakterze R, L, C,

• pomiary parametrów układu szeregowo połączonych odbiorników R, L, C,

• pomiary parametrów układu równolegle połączonych odbiorników R, L, C,

• pomiary współczynnika mocy odbiornika o charakterze indukcyjnym i dobór pojemności kondensatora do poprawy tego współczynnika.

Pytania kontrolne

1. Zależności analityczne i wykresy wskazowe opisujące idealne elementy R, L, C w obwodzie prądu sinusoidalnego,

1. Zależności i wykresy wskazowe rzeczywistych elementów R, L, C,

1. Zależności analityczne i wykresy wskazowe dla szeregowego połączenia elementów R, L, C,

1. Zależności analityczne i wykresy wskazowe dla równoległego połączenia elementów R, L, C,

1. Znaczenie techniczne i ekonomiczne współczynnika mocy, wykres wskazowy dla kompensacji mocy biernej i wyznaczanie pojemności do poprawy współczynnika mocy.

Literatura

1. Koziej E., Sochoń B.: Elektrotechnika i Elektronika, PWN, Warszawa

2. Przeździecki F.: Elektrotechnika i Elektronika, PWN, Warszawa

1. CHARAKTERYSTYKA IDEALNYCH ELEMENTÓW R, L, C

Odbiorniki o charakterze R, L, C (elementy rzeczywiste), można przedstawić za pomocą schematów zastępczych, w których występują połączenia elementów idealnych, tak np. odbiornik o charakterze L przy niezbyt dużych częstotliwościach można przedstawić jako szeregowe połączenie idealnej indukcyjności L i idealnej rezystancji R (rezystancja cewki).

Idealne elementy R, L, C przyjmowane w analizie obwodów elektrycznych są idealizowanymi liniowymi modelami matematycznymi fizycznych elementów obwodu. Idealne elementy R, L, C są w tym sensie, że każdy jest całkowicie wolny od właściwości dwóch pozostałych oraz że ich zależność między napięciem na ich zaciskach, a prądem jest liniowa. Oznacza to, że zależność u(i) jest opisana przez liniowe równania różniczkowe oraz że współczynniki tych równań są stałe. R, L, C są stałymi obwodu, a ich wartość jest niezależna od pulsacji oraz amplitudy prądu i napięcia. Elementy te traktowane indywidualnie charakteryzują się następującymi właściwościami:

R - rozproszenie, dyssypacja energii elektrycznej,

L - magazynowanie energii pola magnetycznego,

C - magazynowanie energii pola elektrycznego.

1. Opornik idealny

Jeżeli do zacisków o napięciu u = U_msin(ωt) zostanie włączony opornik idealny (rys. 1), to zgodnie z prawem Ohma w obwodzie popłynie prąd:

który ma tę samą fazę, co wywołujące go napięcie. Amplituda prądu wynosi:

,

zaś wartość skuteczna:

Rys. 1. Opornik idealny w obwodzie prądu sinusoidalnego:

a) schemat połączeń, b) wykres czasowy napięcia i prądu, c) wykres wskazowy

Na rys. 1b i 1c przedstawiono przebieg sinusoidalny napięcia i prądu oraz ich wykresy wskazowe. Wektory U i I mają te same zwroty, iloczyn RI nazywa się napięciem czynnym.

2. Cewka idealna

Jeżeli do zacisków o chwilowej wartości napięcia u (rys. 2a) zostanie włączona idealna cewka, to popłynie przez nią prąd, którego zmiana w czasie spowoduje indukowanie się na zaciskach cewki siły elektromotorycznej samoindukcji:

Niech prąd płynący przez cewkę będzie równy:

Ponieważ na zaciskach cewki u = -u_L, to:

Z porównania równań wynika, że napięcie u na zaciskach cewki wyprzedza w fazie przepływający przez nią prąd i o kąt fazowy

Amplituda napięcia:

U_m = ωLi_m

zaś wartość skuteczna:

U = ωLI = X_LI

Równanie powyższe ma postać podobną do prawa Ohma dla prądu stałego (U = RI), dlatego przez analogię X_L nazwano oporem indukcyjnym lub reaktancją indukcyjną.

X_L = ωL = 2ΠfL

Rys. 2. Cewka idealna w obwodzie prądu sinusoidalnego:

schemat połączeń, b) wykres czasowy napięcia i prądu, c) wykres wskazowy

W obwodzie w którym znajduje się idealna cewka, występuje przy przepływie prądu tylko indukcyjny spadek napięcia U = X_LI, natomiast nie występuje strata mocy, ponieważ R = 0, zaś moc, jak wiadomo, wynosi RI². Iloczyn X_LI nazywa się napięciem indukcyjnym.

3. Kondensator idealny

Jeżeli kondensator przyłączony będzie do źródła napięcia przemiennego, to jego elektrody będą na przemian ładowane i rozładowywane, wobec czego w przewodach popłynie prąd przemienny (rys. 3a).

Wartość chwilowa prądu ładowania kondensatora wynosi:

Ponieważ Q = CU, więc przyrostowi ładunku dq odpowiada przyrost napięcia du w czasie dt, czyli:

dq = C du

po podstawieniu otrzymujemy:

Jeżeli kondensator włączony jest do napięcia u = U_msin(ωt), to wartość chwilowa prądu ładowania wyniesie:

lub:

z równania tego wynika, że prąd ładowania kondensatora wyprzedza napięcie o kąt fazowy:

Rys. 3. Kondensator idealny w obwodzie prądu sinusoidalnego:

a) schemat połączeń, b) wykres czasowy napięcia i prądu,

3. wykres wskazowy napięcia i prądu

Amplituda prądu ładowania wynosi:

zaś wartość skuteczna:

Równanie powyższe ma postać prawa Ohma, więc wielkość X_C nazywa się oporem biernym pojemnościowym lub reaktancją pojemnościową.

Iloczyn X_CI nazywa się napięciem pojemnościowym; równa się on napięciu przyłożonemu do zacisków kondensatora.

2. ELEMENTY RZECZYWISTE R, L, C

1. . Odbiornik o charakterze R

Przy niezbyt dużych częstotliwościach odbiornik taki można przedstawić jako szeregowe połączenie idealnej rezystancji R i idealnej indukcyjności L (rys. 4a).

Rys. 4. Odbiornik o charakterze R:

1. schemat zastępczy, b) wykres wskazowy prądu i napięć

Przy szeregowym połączeniu elementów R i L suma napięć chwilowych na tych elementach wynosi:

u = u_R + u_L

Kąt przesunięcia fazowego pomiędzy napięciem, a prądem można najłatwiej wyznaczyć wykreślnie (rys. 4b), dodając geometrycznie wskazy U_R oraz U_L. Budowę wykresu wskazowego rozpoczyna się od wskazu prądu I, który jako wskaz wyjściowy odkłada się zgodnie z dodatnim kierunkiem osi x. Wskaz napięcia U_R = RI jest w fazie z wskazem prądu I. Do wskazu U_R dodaje się wskaz napięcia U_L = X_LI, który wyprzedza w fazie wskaz prądu o kąt +Π/2.

1. Odbiornik o charakterze L

Przy niezbyt dużych częstotliwościach odbiornik taki można przedstawić jako szeregowe połączenie idealnej indukcyjności L i idealnej rezystancji R analogicznie jak dla odbiornika o charakterze R, z tą różnicą, że X_L >> R.

Wykres wskazowy dla tego przypadku przedstawiono na rys. 5.

Rys. 5. Wykres wskazowy prądu i napięć

dla odbiornika o charakterze L

2. Odbiornik o charakterze C, kondensator rzeczywisty

Kondensator rzeczywisty przy doprowadzeniu do niego napięcia sinusoidalnego wydziela ciepło. Jest to spowodowane prądem upływowym nagrzewającym izolację. Ponadto występują straty energii na rezystancji służącej do rozładowywania kondensatora. Przy doprowadzeniu do okładzin napięcia sinusoidalnie zmiennego wyróżniamy dwa rodzaje prądu kondensatora:

• prąd pojemnościowy, wyprzedzający w fazie napięcie o kąt prosty,

• prąd upływowy, będący w fazie z napięciem.

Odpowiednio do tych dwóch rodzajów prądu przyporządkowujemy kondensatorowi rzeczywistemu schemat zastępczy równoległy przedstawiony na rys. 6a, złożony z dwóch elementów idealnych R, C i znajdujących się pod tym samym napięciem U.

Na rys. 6b przedstawione są wskazy prądów:

• prądu upływowego, będącego w fazie z napięciem i mającego charakter prądu czynnego

• prądu pojemnościowego, wyprzedzającego w fazie napięcie o kąt prosty i mającego charakter prądu biernego.

I_b = ωCU

Rys. 6. Układ zastępczy równoległy kondensatora rzeczywistego:

a) schemat układu, b) wykres wskazowy

Prąd w gałęzi głównej, czyli prąd płynący przez kondensator rzeczywisty, jest sumą geometryczną powyższych składowych.

Układ ten ma charakter pojemnościowy, wobec czego kąt przesunięcia fazowego ϕ jest ujemny. Oznaczony przez δ kąt dopełniający wartość bezwzględną |ϕ| do kąta prostego nazywamy kątem strat, a tg(δ) - współczynnikiem strat.

3. ŁĄCZENIE ELEMENTÓW R, L, C

1. Szeregowe połączenie elementów R, L, C

Dla szeregowego połączenia elementów R, L, C (rys. 7a) suma napięć chwilowych na tych elementach wynosi:

u = u_R + u_L + u_C

Jeżeli prąd płynący przez obwód zmienia się sinusoidalnie:

i = I_msin(ωt)

To napięcie przyłożone, równe sumie trzech sinusoidalnych napięć składowych, będzie również funkcją sinusoidalną, którą można przedstawić jako:

u = U_msin(ωt + ϕ)

Wartość skuteczną napięcia przyłożonego U oraz kąt przesunięcia fazowego ϕ pomiędzy napięciem, a prądem można wyznaczyć wykreślnie (rys. 7b) dodając geometryczne wskazy U_R, U_L, oraz U_C.

Rysunek wykonano dla przypadku X_L>X_C. Dla każdego elementu przesunięcie fazowe pomiędzy prądem i napięciem jest takie same jak w przypadku rozpatrywania tego elementu jako jedynego w obwodzie.

Napięcie wypadkowe oblicza się z zależności geometrycznych (trójkąt OAB, rys. 7b):

lub:

Wielkość

oznacza się przez Z i nazywa się impedancją lub oporem pozornym gałęzi szeregowej R, L, C. Zastosowanie impedancji pozwala zapisać prawo Ohma w postaci:

U = ZI

Impedancję zastępczą można wyznaczyć również z trójkąta oporów (rys. 7c).

Rys. 7. Szeregowe połączenie elementów R, L, C:

1. schemat połączeń, b) wykres wskazowy napięć,

c) trójkąt oporów

1. Równoległe połączenie elementów R, L, C

Przy równoległym połączeniu elementów R, L, C (rys. 8a) występuje zagadnienie wyznaczania prądu w każdym odbiorniku, a także wypadkowego prądu płynącego z sieci.

Wartość chwilowa prądu płynącego z sieci jest według I prawa Kirchhoffa równa sumie wartości chwilowych prądów poszczególnych odbiorników:

i = i_R + i_L + i_C

Jeżeli napięcie sieci zmienia się sinusoidalnie:

u = U_msin(ωt + ϕ)

to prąd płynący z sieci, równy sumie trzech sinusoidalnych prądów składowych, będzie również funkcją sinusoidalną, którą można przedstawić jako:

i = I_msin(ωt + ϕ)

Wartość skuteczną prądu wypadkowego I najprościej wyznacza się wykreślnie (rys. 8b) dodając geometrycznie wektory prądów I_R, I_L, I_C. Rysunek wykonano dla przypadku B_L>B_C.

Rys. 8. Równoległe połączenie elementów R, L, C:

1. schemat połączeń, b) wykres wskazowy prądów,

1. trójkąt przewodności

Prąd wypadkowy oblicza się z zależności geometrycznych:

wprowadzając na miejsce rezystancji i reaktancji odpowiednie przewodności:

G = 1/R (Konduktancja),

B_L = 1/ωL (Susceptancja indukcyjna),

B_C = ωC (Susceptancja pojemnościowa);

otrzymuje się:

Wielkość

oznacza się przez Y i nazywa się admitancją lub przewodnością pozorną.

Zastosowanie admitancji pozwala sprowadzić obwód rozgałęziony do obwodu elementarnego, dla którego prąd (równy prądowi wypadkowemu gałęzi równoległych) wyznacza się z prawa Ohma:

I = YU

4. Współczynnik mocy i jego poprawa

Stosunek mocy czynnej do pozornej:

nazywa się współczynnikiem mocy.

W elektrotechnice, a szczególnie przy przesyle energii dąży się do utrzymania współczynnika mocy w pobliżu jedności, ponieważ w tym przypadku prąd pobierany ze źródła jest najmniejszy. Niski współczynnik mocy z jednej strony nie pozwala rozwinąć generatorowi pełnej mocy czynnej, na którą został zbudowany, a z drugiej strony powoduje zwiększenie strat energii, ponieważ przy małej wartości cos ϕ prąd jest znacznie większy od składowej czynnej I_R = I cos ϕ i niepotrzebnie obciąża prądnicę, transformatory oraz linie zasilające. Moc strat w linii zasilającej jest bowiem proporcjonalna do kwadratu prądu I.

Dla powiększenia wartości współczynnika mocy należy równolegle do odbiorników o charakterze indukcyjnym włączać kondensatory lub kompensatory synchroniczne. Wtedy moc bierna indukcyjna odbiorników jest kompensowana przez moc bierną pojemnościową włączonych kondensatorów.

Pojemność potrzebną do zmniejszenia przesunięcia fazowego od danej wartości ϕ₁ do nowej wartości ϕ₂ dla odbiornika przedstawionego na rys. 9a można określić korzystając z wykresu wskazowego.

Rys. 9. Poprawa współczynnika mocy odbiornika o charakterze indukcyjnym: a)

zasada poprawy współczynnika mocy,

2. wykres wskazowy dla kompensacji współczynnika mocy

Prąd bierny pojemnościowy I_C = ωCU zmniejsza składowa bierną I_1X prądu obciążenia. Zmniejszenie to (przy mocy lub prądzie czynnym I_R = const.) wynosi:

,

wobec czego:

,

stąd szukana pojemność:

.

W praktyce nie powiększa się cosϕ do jedności, ponieważ kompensując cosϕ w zakresie 0,9 ÷ 1,0 należałoby znacznie powiększyć pojemność kondensatorów uzyskując w zamian tylko nieznaczne zmniejszenie mocy biernej.

5. WYKONANIE ĆWICZENIA

1. Pomiary i obliczenia rezystancji, reaktancji, mocy czynnej, mocy biernej i pozornej oraz cosϕ dla pojedynczych odbiorników o charakterze R, L, C

W celu wykonania pomiarów należy zestawić układ w/g rys. 10.

Rys. 10. Schemat ideowy układu do pomiaru parametrów odbiorników o charakterze R, L, C

Wyniki pomiarów należy zestawić w tablicy

Odbior-niki	Pomiary				Obliczenia
	U [V]	I [A]	P[W]	f[Hz]	R[Ω]	L [H]	C [F]	S[VA]	Q[var]	cosϕ	ϕ
R
L
C

Wzory do obliczeń:

Na podstawie obliczeń wykonać wykresy wskazowe prądów i napięć.

2. Pomiary parametrów obwodu złożonego z szeregowo połączonych odbiorników o charakterze R, L, C

W celu wykonania pomiarów należy zestawić układ w/g rys. 11.

Rys. 11. Schemat ideowy układu do pomiaru parametrów obwodu złożonego z szeregowo połączonych odbiorników o charakterze R, L, C

Wyniki pomiarów należy zestawić w tablicy.

Odbior-niki

Pomiary

Obliczenia

U1

I

P

U2

U3

U4

Z

R

X

S

Q

cosϕ

ϕ

R+L

R+C

R+L+C

Na podstawie wyników pomiarów wykonać wykresy wskazowe prądów i napięć oraz trójkąty oporności i mocy. Przy wykonywaniu wykresów należy uwzględnić charakter odbiorników ustalony w p. 5.1.

3. Pomiary parametrów obwodu złożonego z równolegle połączonych odbiorników R, L, C

Dla wykonania pomiarów należy zestawić układ w/g rys. 12.

Rys. 12. Schemat ideowy układu do pomiaru parametrów obwodu złożonego z równolegle połączonych odbiorników o charakterze R, L, C

Wyniki pomiarów należy zestawić w tablicy.

Odbiorniki

Pomiary

Obliczenia

U

I1

p

I2

I3

I4

G

Y

B

S

Q

cosϕ

ϕ

R||L

R||C

R||C||L

Wzory do obliczeń:

Na podstawie wyników pomiarów należy wykonać wykresy wskazowe prądów i napięć oraz trójkąty przewodności i mocy. Należy uwzględnić charakter odbiorników ustalony w p. 5.1.

4. Poprawa współczynnika mocy

W układzie pomiarowym jak na rys. 13 wyznaczyć cosϕ oraz kąt ϕ odbiornika o charakterze indukcyjnym. Obliczyć pojemność kondensatora potrzebną dla uzyskania cosϕ = 1 oraz cosϕ = 0,9.

Sprawdzić na drodze pomiarowej efekty kompensacji.

Zastosowany miernik cosϕ służy do przybliżonego określenia tej wielkości.

Rys. 13. Schemat ideowy układu pomiarowego do wyznaczania pojemności kondensatora kompensacyjnego cosϕ

Otrzymane wyniki pomiarów i obliczeń zestawić w tablicy.

Układ odbiornika	C	U	I	P	S	cosϕ	ϕ
Odbiornik bez kompensacji
Odbiornik z pojemnością obliczaną dla cosϕ = 1
Odbiornik z pojemnością obliczaną dla cosϕ = 0,9

Politechnika Warszawska - Instytut IMUR w Płocku, Laboratorium Elektrotechniki

15

---