4. Zadanie programowania wypukłego i sformułuj twierdzenie KUHNA- TUCKERA.

Zadaniem programowania wypukłego nazywamy następujące ekstremalne zadania (P)

fo (x)
min, fi (x)
0, i=1,2,…,m x
A

Dp (zbiór elementów dopuszczalnych z zadania P

Dp : {x
X / fi (x)
0, i=1,2,…,m

/ x
А}

Punkt
- punkt
jest absolutnym minimum z zadania P

£
gdzie

R ^m+1

Funkcja £ (x,
) nazywamy funkcją Lagrange^'a zadania (P). Liczby
i = 0,1,…,m nazywamy mnożnikami Lagrange^'a. Wektor
= (
o,
1,….,
m) nazywamy wektorem mnożników Lagrange^'a. Uwaga - ograniczenie x
А nie wchodzi do funkcji Lagrange^'a.

Twierdzenie KUHNA-TUCKERA

1.Niech
będzie absolutnym minimum w zadaniu (P), gdzie P to zadanie programowania wypukłego wtedy istnieje
^m+1
taki, że dla funkcji Lagrange^'а zadania (P) zachodzą następujące warunki:

а) min £(x,
) = £
x
А

Zasada funkcji Lagrange^'а

b) warunki komplementarności

c) warunki nieujemności

2. Jeżeli
i są spełnione warunki а) - c) z

3. Jeżeli
i są spełnione warunki а) - c) oraz zachodzi warunek SLATERA

to

Uwaga. Dla zadania wypukłego programowania Lagrange^'а uzyskała najbardziej doskonałą postać. Punkt
będący rozwiązaniem wypukłego zadania jest punktem minimum funkcji Lagrange^'а (dotyczy warunku а)). Warunki b) i c) są charakterystyczne dla zadań z ograniczeniami nierównościowymi. Warunek konieczny na absolutne minimum w zadaniu programowania wypukłego jest bliski warunkowi dostatecznemu. Warunek konieczny pokrywa się z warunkiem dostatecznym, jeśli
jest różna od 0(
).

5. Pojęcie miary ryzyka, pojęcie wypukłej miary ryzyka i pojęcie koherentnej miary ryzyka.

Definicja.

Odwzorowanie ℓ :

R nazywamy miarą ryzyka jeżeli są spełnione następujące warunki:

1.
X, Y

, X
Y
ℓ (X)
ℓ(Y) monotoniczność+

2.
X


m
R
ℓ (X+m) = ℓ(X) - m niezmienność względem przesunięcia z której wynika, że ℓ( X+ ℓ (X)) = 0 i ℓ(m) = ℓ (0) - m
m
R.

Większości przypadków zakłada się, że miara ryzyka spełnia warunek unormowania czyli

ℓ (0) = 0

Definicja

Mówimy, że miara ryzyka ℓ :

R jest wypukła jeżeli dla
X, Y


0


1

Zachodzi nierówność ℓ (
X + (1-
Y)

ℓ(x) + (1-
) ℓ (Y)

Definicja

Wypukłą miarą ryzyka ℓ nazywamy koherentną miarą ryzyka jeżeli spełnia ona następujący warunek, że:


0 ℓ (
X) =
ℓ(X) to się nazywa dodatnia jednorodność.

Z dodatniej jednorodności miary wynika, że spełnia ona warunek unormowania tzn., że

ℓ(0) = 0. Jeżeli spełniony jest warunek dodatniej jednorodności to wypukłość miary ryzyka jest równoważna jej subaddytywności ℓ (X+Y)
ℓ(X) + ℓ (Y)
X,Y

---