4. Zadanie programowania wypukłego i sformułuj twierdzenie KUHNA- TUCKERA.
Zadaniem programowania wypukłego nazywamy następujące ekstremalne zadania (P)
fo (x)
min, fi (x)
0, i=1,2,…,m x
A
Dp (zbiór elementów dopuszczalnych z zadania P
Dp : {x
X / fi (x)
0, i=1,2,…,m
/ x
А}
Punkt
- punkt
jest absolutnym minimum z zadania P
£
gdzie
R m+1
Funkcja £ (x,
) nazywamy funkcją Lagrange'a zadania (P). Liczby
i = 0,1,…,m nazywamy mnożnikami Lagrange'a. Wektor
= (
o,
1,….,
m) nazywamy wektorem mnożników Lagrange'a. Uwaga - ograniczenie x
А nie wchodzi do funkcji Lagrange'a.
Twierdzenie KUHNA-TUCKERA
1.Niech
będzie absolutnym minimum w zadaniu (P), gdzie P to zadanie programowania wypukłego wtedy istnieje
m+1
taki, że dla funkcji Lagrange'а zadania (P) zachodzą następujące warunki:
а) min £(x,
) = £
x
А
Zasada funkcji Lagrange'а
b) warunki komplementarności
c) warunki nieujemności
2. Jeżeli
i są spełnione warunki а) - c) z
3. Jeżeli
i są spełnione warunki а) - c) oraz zachodzi warunek SLATERA
to
Uwaga. Dla zadania wypukłego programowania Lagrange'а uzyskała najbardziej doskonałą postać. Punkt
będący rozwiązaniem wypukłego zadania jest punktem minimum funkcji Lagrange'а (dotyczy warunku а)). Warunki b) i c) są charakterystyczne dla zadań z ograniczeniami nierównościowymi. Warunek konieczny na absolutne minimum w zadaniu programowania wypukłego jest bliski warunkowi dostatecznemu. Warunek konieczny pokrywa się z warunkiem dostatecznym, jeśli
jest różna od 0(
).
5. Pojęcie miary ryzyka, pojęcie wypukłej miary ryzyka i pojęcie koherentnej miary ryzyka.
Definicja.
Odwzorowanie ℓ :
R nazywamy miarą ryzyka jeżeli są spełnione następujące warunki:
1.
X, Y
, X
Y
ℓ (X)
ℓ(Y) monotoniczność+
2.
X
m
R
ℓ (X+m) = ℓ(X) - m niezmienność względem przesunięcia z której wynika, że ℓ( X+ ℓ (X)) = 0 i ℓ(m) = ℓ (0) - m
m
R.
Większości przypadków zakłada się, że miara ryzyka spełnia warunek unormowania czyli
ℓ (0) = 0
Definicja
Mówimy, że miara ryzyka ℓ :
R jest wypukła jeżeli dla
X, Y
0
1
Zachodzi nierówność ℓ (
X + (1-
Y)
ℓ(x) + (1-
) ℓ (Y)
Definicja
Wypukłą miarą ryzyka ℓ nazywamy koherentną miarą ryzyka jeżeli spełnia ona następujący warunek, że:
0 ℓ (
X) =
ℓ(X) to się nazywa dodatnia jednorodność.
Z dodatniej jednorodności miary wynika, że spełnia ona warunek unormowania tzn., że
ℓ(0) = 0. Jeżeli spełniony jest warunek dodatniej jednorodności to wypukłość miary ryzyka jest równoważna jej subaddytywności ℓ (X+Y)
ℓ(X) + ℓ (Y)
X,Y