Piotr Łoza 03.03.2012

ETI I, gr. 6

Wyznaczanie współczynnika lepkości cieczy metodą Stokesa

Część teoretyczna

Lepkość - jest to opór jaki stawia ośrodek płynny lub gazowy, ciału poruszającemu się w

jego otoczeniu.

Opór lepkości ośrodka występuje nie tylko przy ruchu ośrodka względem ścianek jak ma to miejsce np: rurkach, kanalikach, ..., lecz też podczas poruszania się różnego rodzaju ciał w danym ośrodku (najczęściej w cieczy). W tym drugim przypadku (co jest tematem ćwiczenia) ciało poruszające się w cieczy, dzięki siłą międzycząsteczkowym pociąga za sobą sąsiadujące z nim warstewki. Ciało poruszające się prędkością V, nadaje część tej prędkości sąsiadującej warstwie, ona natomiast część tej uzyskanej prędkości przekazuje następnej itd. W rezultacie ciało porusza się w otoczeniu pewnego układu warstewek o coraz malejącej prędkości. Opór na który natrafia ciało jest proporcjonalny do:

• kształtu

• wielkości

• prędkości

• współczynnika lepkości danego ośrodka.

W wielu przypadkach ciecze rzeczywiste zachowują się w przybliżeniu jak ciecz doskonała, tzn. nielepka i nieściśliwa. Dla cieczy nieściśliwej słuszne jest prawo ciągłości przepływu. Wynika z niego, że rurze ciecz osiąga największą prędkość w miejscach o małej powierzchni przekroju.
Z drugiej strony prędkość cieczy w rurze zależy od ciśnień: statycznego i hydrodynamicznego

o czym mówi równanie Bernoulliego.

Oba te prawa nie uwzględniają różnicy prędkości cząsteczek cieczy znajdujących się w różnej odległości od ścianek rury, gdyż nie uwzględniają tarcia między cząsteczkami cieczy, tzw. tarcia wewnętrznego.
Wskutek tarcia występującego między cząsteczkami cieczy, poruszająca się cząsteczka pociąga za sobą sąsiadujące cząsteczki tym silniej, im większa jest siła lepkości. Te cząsteczki pociągają następne itd. Każda następna warstwa porusza się jednak nieco wolniej, tym wolniej, im mniejsza lepkość cieczy. Prędkość spada do zera dla cząstek przy ściankach, które są jakby "przyklejone", a więc nieruchome.Tak więc maksymalną prędkość mają cząsteczki na osi rury, jak pokazuje to rysunek:

Taka sytuacja ma miejsce przy małych prędkościach cieczy przez gładką rurę. Mówimy, że przepływ jest laminarny, czyli warstwowy. Kolejne warstwy cieczy płyną nie zakłócając się wzajemnie.

Przy dużych prędkościach w cieczy pojawiają się zawirowania i ruch z laminarnego zmienia się w turbulentny. Rozkład prędkości jest wtedy nieco inny:

Narzędzia i przyrządy wykorzystane w ćwiczeniu

1. Szklana rura wypełniona cieczą umieszczona na pionowym statywie

2. 10 kulek stalowych

3. Mikrometr

4. Przymiar liniowy

5. Stoper

Przepływ cieczy rzeczywistej cechuje zawsze poślizg warstewek. W cieczach rzeczywistych istnieją siły międzycząsteczkowe, więc poślizgom warstewek towarzyszy opór poślizgu zwany również oporem lepkości lub tarciem wewnętrznym.

Opór lepkości cieczy czy też gazów występuje nie tylko przy ruchu cieczy względem nieruchomych ścianek, ale równie przy ruchu ciała względem nieruchomej cieczy. Każde ciało poruszające się w cieczy pociąga za sobą dzięki istnieniu sił międzycząsteczkowych, sąsiadujące z nim warstewki. Zaobserwować to możemy na przykładzie kulki poruszającej się w cieczy z prędkością v. Kulka pociąga za sobą najbliższe, przylegające doń warstewki nadając im prędkość własną v. Te bliskie warstewki pociągają za sobą dalsze, te z kolei jeszcze dalsze itd. Ruch warstewek odbywa się jednak w ten sposób, że w miarę oddalania się od kulki prędkość warstewek maleje i w pewnej niewielkiej odległości zanika. Poruszająca się kulka pociąga za sobą układ warstewek ślizgających się po sobie. Każdemu poślizgowi warstewek towarzyszy opór poślizgu, albo opór lepkości. Kulka doznaje oporu lepkości F_l przyłożonego do jej środka i skierowanego przeciwnie do jej prędkości. Opór lepkości na, jaki natrafia poruszające się ciało, jest proporcjonalny do:

1. jego wielkości i zależy od kształtu,

2. jego prędkości ruchu v

3. współczynnika lepkości η ośrodka, w którym odbywa się ruch

Współczynnik lepkości η zależy od:

1. rodzaju cieczy - dla każdej cieczy jest inny, gdyż inne są siły międzycząsteczkowe.

2. temperatury - maleje ze wzrostem ruchu termicznego, gdyż osłabia to siły międzycząsteczkowe.

Jednostką współczynnika lepkości w układzie SI jest:

P = 0,1N s/m²

Tę zależność można wyrazić w postaci wzoru

F_l = klvη (1)

gdzie k - współczynnik proporcjonalności zależny od danego ciała,

l - charakteryzuje wymiar ciała.

W przypadku ciała o kształcie kuli mamy zależność:

F_l = 6rvηπ (2)

Zależności wyrażone równaniami (1), (2) noszą nazwę prawa Stokesa. Zasadnicza cecha tego prawa to proporcjonalność oporu lepkości do prędkości ruchu v. Ta cecha ruchu ciała prowadzi do charakterystycznego zjawiska, jakie ma miejsce przy spadku ciała.

Spadająca kulka w ośrodku lepkim podlega działaniu trzech sił:

• sile ciężkości P = mg,

• sile oporu lepkości F_l ,

• sile wyporu F_w.

Początkowo siła ciężaru jest większa od sumy sił pozostałych i w związku z tym kulka spada początkowo ruchem przyspieszonym ze wzrastającą prędkością v. Ale w miarę wzrastania prędkości zgodnie z prawem Stokesa, opór lepkości coraz bardziej rośnie i w pewnej chwili siła ciężkości staje się równa sumie F_l + F_w. Od tego momentu dalszy spadek kulki odbywa się ruchem jednostajnym.

Warunek równowagi sił, stanowiący zarazem warunek ruchu jednostajnego kulki:

mg = F_l + F_w

Podstawiając wartości F_l + F_w otrzymujemy;

mg = 6лrvη + Vρ_cg, (3)

gdzie V-objętość kulki,

ρ- gęstość cieczy lub ośrodka

4. promień kulki

Mając prędkość v, promień kulki d, jej masę m oraz gęstość cieczy ρ, można na podstawie wzoru (3)wyznaczyć współczynnik lepkości:

Wysoki cylinder o średnicy paru centymetrów napełniony jest gliceryną i zamknięty korkiem. Przez korek przechodzi wąska, krótka rurka, przez którą wrzucamy kulki, w ten sposób zapewniamy im spadanie osiowe. Na cylindrze znajdują się dwa znaczki A i B. Znaczek górny musi być w dostatecznej odległości poniżej powierzchni cieczy, aby w chwili obserwacji kulka poruszała się ruchem jednostajnym.

Przebieg ćwiczenia.

1. Przy pomocy mikrometru dokonujemy pomiaru średnicy stalowych kulek i wyznaczamy wartość średnią dla 10 kulek.

2. Mierzymy odległość między punktami pomiarowymi zaznaczonymi na rurze .

3. Sprawdzamy temperaturę ośrodka (cieczy).

4. Mierzymy czas spadania poszczególnych kulek między oznaczonymi punktami.

5. Wyznaczamy średni czas spadania dla 10 kulek.

6. Gęstość materiału kulki wynosi 7,8 * 10³ [ g / cm³ ] = 7800
   ]

7. Gęstość badanej cieczy wynosi
   ]

8. Na podstawie danych uzyskanych na podstawie powyższych pomiarów naniesionych w tabeli , dokonujemy obliczenia współczynnika lepkości ośrodka badań. Wpływ ścianek na prędkość spadania kulek pomijamy.

9. Błąd obliczamy metodą pochodnej logarytmicznej

Lp.	Średnica kulki d [mm]	Czas spadania kulki t [s]	Odległość pomiędzy obrączkami l [mm]
1.	2,90	5,56	500
2.	2,98	5,53
3.	2,98	5,54
4.	2,97	5,55
5.	2,97	5,54
6.	2,98	5,41
7.	2,98	5,30
8.	2,97	5,43
9.	2,97	5,40
10.	2,97	5,30
Śrenia arytm.	2,97	5,46

Nazwa cieczy: Gliceryna

Temperatura: 22^oC

Gęstość cieczy:

Gęstość materiału:
= 7800 [kg/m³]

Wyznaczam współczynnik lepkości 

Obliczam błąd względny współczynnika lepkości metodą pochodnej logarytmicznej:

Współczynnik lepkości wynosi:

Błąd względny wyrażony w procentach:

Wnioski:

Celem doświadczenia było wyznaczenie współczynnika lepkości cieczy.

Pomiary wykonane zostały za pomocą śruby mikrometrycznej (zmierzenie średnicy kulek) i stopera (ustalenie czasu spadania kulek).

Największy wpływ na wartość wyniku ma błąd wyznaczania prędkości kulek. Spowodowane to może być zbyt późnym lub wczesnym włączeniem (wyłączeniem) stopera i złym odczytem pomiarów.

---