Nr ćwicz. 103	Data		Wydział	Semestr	Grupa
Prowadzący:			Przygotowanie	Wykonanie	Ocena

Wyznaczanie modułu Younga metodą wydłużenia

1. Wstęp teoretyczny

Atomy, z których składa się każde ciało stałe, oddziaływują ze sobą siłami zależnymi od wzajemnej odległości. Przy pewnej odległości r_o siła działająca między atomami jest równa zeru, a energia potencjalna osiąga wartość minimalną. Jest to odległość, przy której atomy są w równowadze. Gdy w ciele stałym wszystkie atomy znajdują się względem siebie w odległościach równowagowych, wówczas ciało to jest w równowadze - nie dąży samorzutnie do zmiany wymiarów.

Jeżeli odległość między atomami będzie zmieniona, np. wskutek działania siły zewnętrznej, pojawi się siła sprężystości, która działa zawsze w takim kierunku, aby przywrócić stan równowagi. Przy zwiększeniu odległości powyżej r_o, siła ma wartość ujemną (atomy się przyciągają), natomiast gdy odległość jest mniejsza od r_o, znak siły jest dodatni, co oznacza, że atomy się odpychają.

Ze zmianą odległości wzajemnej atomów wiąże się makroskopowa deformacja ciała zwana odkształceniem. Gdy odkształcenie znika po odjęciu siły zewnętrznej, nazywamy je sprężystym, natomiast odkształcenie nie znikające po odjęciu siły nazywamy plastycznym.

Siły odkształcające mogą działać prostopadle lub stycznie do powierzchni. Stosunek siły normalnej (prostopadłej) (F_n) do wartości powierzchni (S), na którą działa nazywamy naprężeniem normalnym:

Pod wpływem naprężeń normalnych ciało ulega wydłużeniu lub skróceniu. Stosunek przyrostu długości (Δl) do długości początkowej (l) nazywamy odkształceniem względnym.

Wydłużenie względne jest wprost proporcjonalne do naprężenia normalnego:

Powyższe stwierdzenie stanowi treść prawa Hooke'a i pozostaje słuszne zarówno dla odkształcenia dodatniego (wydłużenia), jak i ujemnego (skrócenia). Współczynnik proporcjonalności E nazywamy modułem Younga. Ma on wymiar ciśnienia (naprężenia) - w układzie SI - N/m². Z powyższego równania wynika sens fizyczny modułu Younga - jest to wielkość naprężenia potrzebna do wydłużenia ciała o długość początkową. Określenia tego na ogół nie można wykorzystać do wyznaczenia modułu Younga, ponieważ dla większości ciał granica stosowania prawa Hooke'a leży znacznie poniżej wartości modułu Younga.

W celu wytyczenia sposobu wyznaczania modułu Younga napiszmy omawiane równanie w postaci bardziej rozwiniętej:

Jeżeli na osiach układu współrzędnych odłożymy: stosunek siły do powierzchni przekroju oraz wydłużenie względne, to wykresem tego równania będzie linia prosta, której współczynnik nachylenia jest modułem Younga.

2. Opis ćwiczenia

Ćwiczenie przeprowadzałem dla drutu, którego wymiary zostaną omówione w dalszej części sprawozdania. Pierwszym etapem ćwiczenia było zmierzenie długości i średnicy drutu. W drugim etapie ćwiczenia do obciążenia podstawowego, mającego za zadanie wyeliminować wszelkie zagięcia drutu, dokładałem kolejno odważniki, w celu zwiększenia działającej na drut siły rozciągającej F, mierząc każdorazowo przyrost długość drutu. Po dotarciu do maksymalnego obciążenia (wykorzystaniu wszystkich ciężarków) zdejmowałem stopniowo obciążenie, również mierząc przyrosty (tym razem ujemne) długości drutu.

3. Schemat ćwiczenia

1. Pomiar długości drutu

2. Pomiar średnicy drutu i obliczenie pola powierzchni przekroju

3. Pomiar przyrostów długości drutu dla rosnących sił rozciągających

4. Pomiar przyrostów długości drutu dla malejących sił rozciągających

5. Obliczenie naprężeń normalnych drutu σ oraz odkształceń względnych ε dla wszystkich obciążeń

6. Sporządzenie wykresu naprężeń normalnych w funkcji odkształceń względnych i odczytanie metodą regresji liniowej modułu Younga

4. Dane eksperymentalne

1. Pomiar długości drutu

l = 132,80 cm

2. Pomiary średnicy drutu

pomiar	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
średnica drutu	0,049	0,048	0,048	0,049	0,047	0,048	0,047	0,048	0,047	0,046

3. Wskazania śruby mikrometrycznej dla rosnących i malejących obciążeń (w [cm])

Pomiar 1		Pomiar 2
wskaz zerowy	0,453	masa ciężarków (kg)	wskazania
masa ciężarków (kg)	wskazania	1,00	0,516
0,05	0,457	0,80	0,506
0,10	0,461	0,60	0,494
0,15	0,464	0,40	0,482
0,20	0,468	0,30	0,476
0,25	0,472	0,25	0,472
0,30	0,476	0,20	0,469
0,40	0,482	0,15	0,466
0,60	0,494	0,10	0,462
0,80	0,506	0,05	0,458
1,00	0,516wskaz zerowy	wskaz zerowy	0,454

5. Obliczenie wyników i dyskusja błędów

1. Błędy systematyczne

Błędem wynikającym z klasy przyrządów obarczony był pomiar długości drutu (± 0,1 cm) oraz każdy pomiar średnicy drutu i zmiany wydłużenia (± 0,001 cm). Masę ciężarków, w związku z brakiem oznaczeń dokładności, przyjąłem za idealną.

2. Obliczenie średniej średnicy drutu i pola powierzchni przekroju (w [cm])




średnica d	błąd
0,048	± 0,001

Obliczenie błędu Δs metodą różniczki logarytmicznej:


,

stąd s = 0,002 cm² ± 0,0002 cm

3. Obliczenie naprężeń normalnych drutu σ oraz odkształceń względnych ε dla wszystkich obciążeń

Naprężenia liczymy ze wzoru
, co po zastosowaniu metody różniczki logarytmicznej daje błąd
. Jednostką jest


			g	9,81
	naprężenia normalne	błąd		naprężenia normalne	błąd
1	10,283	±0,194	11	205,660	±3,880
2	20,566	±0,388	12	164,528	±3,104
3	30,849	±0,582	13	123,396	±2,328
4	41,132	±0,776	14	82,264	±1,552
5	51,415	±0,970	15	61,698	±1,164
6	61,698	±1,164	16	51,415	±0,970
7	82,264	±1,552	17	41,132	±0,776
8	123,396	±2,328	18	30,849	±0,582
9	164,528	±3,104	19	20,566	±0,388
10	205,660	±3,880	20	10,283	±0,194

4. Obliczenie odkształceń względnych ε

Odkształcenia względne liczymy ze wzoru
, gdzie Δl jest przyrostem długości drutu. Tutaj wzór ten przyjmie postać
, gdzie z jest wskazaniem śruby mikrometrycznej dla konkretnego obciążenia, a z₀ jest wskazem zerowym. Błąd obliczeń znajdujemy metodą różniczki logarytmicznej:
, jednostkami są centymetry.

	odkształcenia względne	błąd		odkształcenia względne	błąd
1	0,00003	±0,0000150	11	0,00047	±0,0000024
2	0,00006	±0,0000150	12	0,00039	±0,0000020
3	0,00008	±0,0000150	13	0,00030	±0,0000016
4	0,00011	±0,0000150	14	0,00021	±0,0000011
5	0,00014	±0,0000150	15	0,00017	±0,0000009
6	0,00017	±0,0000149	16	0,00014	±0,0000007
7	0,00022	±0,0000149	17	0,00011	±0,0000006
8	0,00031	±0,0000148	18	0,00009	±0,0000005
9	0,00040	±0,0000148	19	0,00006	±0,0000003
10	0,00047	±0,0000147	20	0,00003	±0,0000002

5. 
   Sporządzenie wykresu naprężeń normalnych w funkcji odkształceń względnych i odczytanie metodą regresji liniowej modułu Younga

6. Zestawienie wyników

Z wykresu odczytujemy, że moduł Younga dla badanego drutu ma wartość 440967 N/cm², czyli z dużym przybliżeniem 44,1 N/m².

7. Wnioski końcowe

Dla obydwu pomiarów wartości wskazań śruby mikrometrycznej pokrywały się dopiero od pewnego momentu (obciążenia powyżej 200 gram), co wskazuje na zbyt małą wartość masy kontrolnej, odpowiedzialnej za wyprostowanie i wstępne naciągnięcie drutu. Pomiary przebiegały prawidłowo, wyniki pomiarów mieściły się w granicach obliczonych błędów.

laboratorium mechaniczne sprawozdanie z ćw. nr 103 strona nr 1




---