Marlena Orlińska 29.10.09. r.

Wydział: IZ

Kierunek: Informatyka

Nr. albumu: 179110

Ćwiczenie nr 12

Wyznaczanie modułu sztywności metodą dynamiczną.

Cel ćwiczenia:

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie występującego w prawie Hook'a modułu sztywności przez pomiar okresu sprężystych drgań obrotowych .

I. Wstęp teoretyczny:

Moduł sztywności jest stałą charakteryzującą odporność ciała na odkształcenia, a dokładniej na skręcanie.

Ciało nazywamy sprężystym, jeżeli odkształcenia, wywołane działającymi na nie siłami, znikają zupełnie po usunięciu tych sił.

Istotę sprężystości można zrozumieć rozważając chociażby w przybliżeniu strukturę wewnętrzną ciała stałego. Każde ciało jest zbudowane z atomów lub cząsteczek, między którymi działają siły nazywane międzycząsteczkowymi. W ciałach stałych odległości między atomami są bardzo małe to siły te są bardzo duże i powodują uporządkowanie cząsteczek - tworząc regularną strukturę przestrzenną - tzw. sieć krystaliczną. Każda cząsteczka, nazywana węzłem sieciowym ma swoje położenie równowagi, wokół którego wykonuje niewielkie, chaotyczne, zależne od temperatury ciała drgania. Powstanie stanu równowagi trwałej wynika z faktu, że między każdymi dwiema cząsteczkami występują dwojakiego rodzaju siły: przyciągania i odpychania, o niejednakowej zależności od odległości międzycząsteczkowej, przy czym siły odpychania rosną zawsze znacznie bardziej wraz ze zbliżaniem się cząsteczek niż siły przyciągania.

Prawo Hooke'a formułuje zależność między naprężeniem a odkształceniem:

Jeżeli naprężenia w ciele są dostatecznie małe, to wywołane przez nie odkształcenia względne są do nich wprost proporcjonalne:

,

gdzie

a - kąt ścinania,

G - moment sztywności ,

τ - naprężenie styczne.

II. Część doświadczalna:

Badanie modułu sztywności w tym doświadczeniu polegało na pomiarze okresu drgań układu pomiarowego, którego schematyczny rysunek znajduje się niżej. Dla zwiększenia dokładności pomiaru okresu mierzy się nie okres jednego drgania, lecz czas n(w tym wypadku n=50) drgań.

d - średnica drutu

l - długość drutu

s - średnica tarczy dodatkowej K

m [g]	∆m [g]	l [mm]	∆l [mm]	s [mm]	∆s [mm]	d [mm]	∆d [mm]
310,2	0,1	630	1	140,00	0,05	0,59	0,01
				140,00		0,59
				140,00		0,60
				140,00		0,60
				139,80		0,59
Średnia =				139,96		0,59

n	t1 [s]	∆t1 [s]	T1 [s]	t2 [s]	∆t2 [s]	T2 [s]	G [N/m^2]	∆G [N/m^2]	∆G/G
50	356,05	0,01	7,1210	426,88	0,01	8,5376	68397309319	4804326685	0,07024
	355,13		7,1026	427,56		8,5512
	355,26		7,1052	428,43		8,5686
Średnia =	355,48		7,1096	427,62		8,5525

Korzystając z wzoru podanego w ćwiczeniu obliczyłam moduł sztywności drutu:

[
]

[
]

Następnie do obliczenia błędu, z jakim wyznaczono moduł sztywności G, posłużę się metodą różniczki logarytmicznej. Oznaczając:

a = t₂² - t₁²

oraz zakładając, że

Δt₁ = Δt₂ = ∆t

otrzymujemy:

Δa = 2t₂Δt₂ + 2t₁Δt ₁= 2Δt( t₂ + t₁ )

Ponieważ na dokładność obliczeń wpływają pomiary: długości drutu, średnica drutu, średnica tarczy dodatkowej, czas trwania n drgań, błąd obliczymy ze wzoru:

=
+ 2
+
+ 4
+ 2
, czyli :

=
+ 2
+
+ 4
+ 2

Obliczamy teraz po kolei błąd pomiaru każdej wielkości:

a) Błąd pomiaru masy:

b) Błąd pomiaru średnicy tarczy dodatkowej:

c) Błąd pomiaru długości drutu:

d) Błąd pomiaru średnicy drutu:

e) Błąd
(założenie Δt₁ = Δt₂ = ∆t):

Mając teraz wszystkie dane obliczamy błąd bezwzględny pomiaru:

m - masa tarczy dodatkowej K

∆m - niepewność pomiaru masy

l - długość drutu

∆l - niepewność pomiaru długości drutu

s - średnica tarczy dodatkowej K

∆s - niepewność pomiaru średnicy tarczy

d - średnica drutu

∆d - niepewność pomiaru średnicy drutu

n - ilość drgań (n = 50)

t1 - czas trwania 50 drgań bez tarczy dodatkowej K

∆t1 - niepewność pomiaru czasu

T1 - okres drgań bez tarczy dodatkowej K

t2 - czas trwania 50 drgań z tarczą dodatkową K

∆t2 - niepewność pomiaru czasu

T2 - okres drgań z tarczą dodatkową K

G - moduł sztywności drutu

∆G - niepewność obliczeń modułu sztywności drutu

III. Wyniki i ich niepewności:

Otrzymałam następujący wynik, moduł sztywności drutu wynosi:

G = 68 397 309 319 ± 4 804 326 685 [
].

Natomiast błąd pomiaru wyniósł 7,024%.

IV. Wnioski:

Wynik pomiaru modułu sztywności drutu (G = 68 397 309 319 ± 4 804 326 685 [
]), który był wykonany z metalu został obliczony z dużą poprawnością, gdyż znajduje się w przedziale modułów sztywności stali, a miedzi, które wynoszą odpowiednio Gs = 79,3 GPa, Gm = 63,4 GPa, co jest zgodne z prawdą.

Na poprawny wynik wskazuje dość duża dokładność pomiarów. Uzyskana niepewność pomiaru (7,57%) jest stosunkowo niewielka.

Jak widać z obliczeń cząstkowych wartości finalnej największą niepewność (pomimo bardzo dokładnego przyrządu pomiarowego) uzyskał pomiar średnicy badanego drutu (1,695%). Spowodowane to było stosunkowo małą wartością wielkości mierzonej (0,59 mm) oraz tym, że we wzorze na wielkość G, wartość średnicy drutu występowała aż w czwartej potędze. Pozostałe pomiary zostały obliczone z dużo większą dokładnością co wskazuje na to mały procent obliczonej niepewności, nie sięgający nawet rzędu 1%.

---