1. Rozciąganie i ściskanie Podstawowe zależności.

Prawo Hooke'a:σ = εE, λ = Pl/EA, λ-wydłużenie P-siła, E-moduł Younga, l-dł.pręta, σ-nap.rozciąg A-pole przekroju poprzecznego.

D: Wydłużenie λ jest wprost proporcjonalne do siły działającej P i długości l pręta, a odwrotnie proporcjonalne do modułu Younga E oraz do pola przekroju poprzecznego pręta.

Wydłużenie jakie przybiera jednostka długości pręta nazywamy wydłużeniem jednostkowym lub wydłużeniem względnym ε - ε = λ /l.

Można powiedzieć że jest to iloraz naprężenia rozciągającego przez moduł Younga - ε = σ /E.

Te same wzory dotyczą ściskania.

Współczynnik proporcjonalności ν zmian wymiarów poprzecznych w stosunku do podłużnych nazywamy liczbą Poissona.

2. Rozciąganie - obliczenia wytrzymałościowe

σ_dop <σ_nieb n>1-wsp.bezpieczeństwa(pewności)

σ_dop = σ_nieb /n, σ =N/A, σ < σ_dop

1)Obliczenia sprawdzające:

Dane: N,A, σ_dop, σ_nieb; σ_nieb /σ = n

2)Obliczenia obciążenia dopuszczalnego:

Dane: A, σ_dop; N_dop = Aσ_dop

3)Wyznaczenie rozmiaru przekroju poprzecz.:

Dane: N, σ_dop; A = N /σ_dop

Odkształcenia i nap. wywołane zmianą temp.:

1)Średni wsp. rozszerzalności liniowej:

α_1,2 =(1/l_o)[(l₂ - l₁)/(t₂ - t₁)]

l_o -dł.w temp. 0^oC; t₂,t₁ -temp.; l₂,l₁ -dł.prętów

w poszczególnych temp.,

Δl = l₂ - l₁, Δt = t₂ - t₁, α_1,2 =(1/l_o)( Δl /Δt)

2)Wsp.rozszerzalności liniowej w temp. t:

d_t = (1/l_o)lim(Δl /Δt) = (1/l_o)(dl /dt) [1/K]

zakł. d_t =α, α=12⋅10^-6 [1/K] -dla stali

l₂ - l₁ = αl_o(t₂ - t₁)

3. Wykresy rozciągania. Statyczna próba rozciągania. Próba polega na poddaniu odpowiednio ukształtowanej próbki działaniu siły rozciągającej w kierunku osiowym aż do jej zerwania. Przy próbie stat. Obciążenie wolno narasta z określoną prędkością. Próbę przeprowadza się na maszynach zwanych zrywarkami. Próbki posiadają część pomiarową o stałym przekroju i są zakończone główkami o zwiększonych wymiarach. Z pomiarów odkształceń na powierzchni ciała można wnioskować o odkształceniach wewnątrz ciała a z pomiarów całkowitej siły można wyliczyć naprężenia istniejące wewnątrz próbki. Próba rozciągania jest podstawową próbą wytrzymałościową

d_o - średnica początkowa próbki

d_u - średnica końcowa próbki

L=L_u-L_o [mm] - bezwzględne wydłużenie próbki

A_p= L/L_o 100% - względne wydłużenie próbki proporcjonalnej po zerwaniu

z=[d_o²-d_u²)/d_r²]100% - względne przewężenie próbki okrągłej

R_e=F_e/S_o [Mpa] - wyraźna granica sprężystości

R_uF_u/S_o[MPa] -naprężenie rozrywające

RmF_m/S_o [MPa] - wytrzymałość na rozciąganie

4. Charakterystyka geometryczna figur płaskich.

a) momenty statyczne [m³]

b) rodek ciężkości [m]

c) momenty bezwładności [m⁴]

d)moment dewiacji (zboczenia)[m⁴]

e)promień bezwładności [m]

5. Główne centralne momenty bezwładności. Twierdzenie Steinera.

Moment bezwładności I_o figury płaskiej względem ustalonego punktu 0, zwanego biegunem, definiuje się jako

gdzie ρ jest odległością elementu powierzchni o polu dA od punktu 0 (biegunowy mom. bezw.).

Moment bezwł. I_l względem prostej l określamy wzorem
gdzie r jest odległością elem. powierzchni dA od danej prostej czy osi.

Moment bezwładności biegunowy figury płaskiej względem początku układu prostokątnego równa się sumie momentów bezwładności względem dwu osi układu leżących w w płaszczyźnie figury I_o = I_x + I_y.

Wyrażenie określające moment bezwł. I_l można przedstawić w postaci iloczynu I_l = Ai², gdzie A pole figury płaskiej, zaś i wielkość nazwana promieniem bezwładności figury płaskiej
.

W prostokątnym układzie współ. wprowadza się pojęcie momentu zboczenia (dewiacji)

(wartości mogą + lub - ).

Moment bezwł. lub moment zboczenia złożonej figury płaskiej równa się sumie momentów bezwł. lub momentów zboczenia figur składowych.

Przesuńmy prostokątny układ osi w stosunku do pierwotnie przyjętego 0,x,y o składowe przesunięcia a,b. W ten sposób uzyskuje się nowy układ osi Ω,ξ,η.

I_η = I_x + Ab², I_ξ = I_y + Aa² , I_ξη = I_xy + Aab

Wzory te wyrażają tw. STEINERA.

Moment bezwł. figury płaskiej względem osi odległej od środka ciężkości o a jest równy momentowi bezwł. względem osi równoległej przechodzącej przez środek ciężkości, zwiększonemu o iloczyn całej powierzchni figury przez kwadrat odległości a.

Moment zboczenia figury płaskiej względem układu osi o początku przesuniętym względem środka ciężkości figury o a i b jest równy momentowi zboczenia dla układu o osiach równoległych i początku w środku ciężkości, zwiększonemu o iloczyn powierzchni figury płaskiej i obydwu składowych przesunięcia.

OBRÓT: Obróćmy prostokątny układ osi względem pierwotnie przyjętego 0,x,y o kąt ϕ. Uzyskujemy układ osi Ω,ξ,η, przy czym Ω ≡ 0.

I_η = 1/2(I_x + I_y) + 1/2(I_x - I_y)cos2ϕ - I_xysin2ϕ

I_ξ = 1/2(I_x + I_y) - 1/2(I_x - I_y)cos2ϕ + I_xysin2ϕ

I_ξη = 1/2(I_x - I_y)sin2ϕ - I_xycos2ϕ

Wzory te pozwalają wyznaczyć momenty bezwł. i moment zboczenia dla układu obróconego o dowolny kąt. Wyznaczamy takie położenie osi układu prostokątnego ϕ_o, dla którego moment zboczenia I_ξη = 0. Osie te noszą nazwę głównych osi bezwładności. tg2ϕ_o = -2I_xy /(I_x - I_y)

Wartości momentów bezwł. względem głównych osi bezwł. wyznaczamy wstawiając w wyrażenia na I_η i I_ξ­ wyznaczony kąt ϕ_o.

Dla każdej figury płaskiej i dla dowolnie przyjętego punktu jako początek układu można wyznaczyć taką orientację dwu osi prostopadłych, dla których moment zboczenia znika. Osie te nazywa się głównymi osiami bezwł. Moment bezwł. względem tych osi nazywa się głownymi momentami bezwł. (osiągają ekstremum). Oś symetrii figury płaskiej jest jej główną centralną osią bezwładności. Drugą główną centralną osią bezwładności jest oś prostopadła do osi symetrii i przechodząca przez środek ciężkości figury.

6. Skręcanie. Założenia. Podstawowe zależności.

-Stan naprężeń i odkształceń w prętach skręcanych o przekroju kołowym.

1)Związki geometryczne:

Zakładamy płaskość przekroju i że przemieszczenia są małe γ = ρ(dρ/dx), γ -odkształcenie poprzeczne

2)Związki fizyczne:

γ = τ /G, G -moduł sprężystości poprzecznej (Kirchoffa), τ /G = ρ(dρ/dx)

3)Warunek równowagi:

,
,

τ = (M_S/I₀ )*ρ - wzór ten pozwala wyznaczyć naprężenie w skręcanym pręcie.

-Prawo Hooke'a dla prętów skręcanych.

Warunki fizyczne określa określa prawo Hooke'a.

występują w przekroju naprężenia styczne mające wartości proporcjonalne do promienia ρ i skierowane są do nich prostopadle

.

7. Wytrzymałość na skręcanie.

Warunek wytrzymałości: σ_red≤σ_dop

W celu wyznaczenia σ_red należy posłużyć się jedną z hipotez wytężenia, σ_red = τ*3^1/2 a stąd τ ≤τ_dop

ρ = r, τ = τ_max → τ_max = M_sr /I_o

W_o = I_o /r -wskażnik wytrz. na skręcanie

τ_max = M_s /W_o, τ_max = M_s /W_o ≤ τ_dop

-Równania różniczkowe przemieszczeń kątowych.

dϕ /dx = M_s /GI_o →dϕ = (M_s /Gi_o)dx →

→

Kąt skręcania: ϕ = M_sl/GI_o

Warunek sztywności: ϕ = M_sl /Gi_o<= ϕ_dop

ϕ^o = (180^o/Π)(M_sl /GI_o)

8.Zginanie proste prętów Założenia podstawowe zależności.

Naprężenia i odkształcenia w pręcie równomiernie zginanym.

T - siła poprzeczna

Mg - moment gn*cy

Warstwa obojętna składa się z włókien, które nie zmieniaj* swojej długości.

1.Zakładamy płaskość przekroju

2.Zakładamy że w tej belce wyst*pi warstwa obojetna i powierzchnia obojętna jest prostopadła do działania momentu gn*cego.

3.Kierunek wektora momentu gn*cego jest zgodny z kierunkiem osi obojętnej.

4.W przekrojach poprzecznych występuj* tylko naprężenia normalne.

1.Zwi*zki geometryczne

2.Zwi*zki fizyczne

3.Warunki równowagi

9. Wytrzymałość na zginanie

-zginanie prętów z materiału sprężysto-plastycznego

Mg' - uplastycznienie całego przekroju (moment graniczny)

W' - wskaźnik wytrzymałości na zginanie plastyczne σ'=^Mg'/_W'

_.10. Równanie różniczkowe osi ugiętej.

-

12. Naprężenia w punkcie zależne od orientacji punktu.

Wartość napr. w punkcie dowolnego przekroju ( równanie w postaci wektorowej) wynosi:

Pu = Px l + Py m + Pz n

l, m, n- cosinusy kierunkowe normalnej n

Składowe naprężenia:

Naprężenie normalne wynosi

13. Składowe tensora stanu naprężenia.

S=S_K+S_D S_K- tensor kulisty

S_D- dewiator

14. Równania równowagi stanu naprężenia.

Układając równania równowagi rozpatrujemy punkt obciążony siłami zewnętrznymi o wartościach x,y,z, oraz punkt w odległości nieskończenie małej od poprzedniego. Naprężenia składowe rozwijamy w szereg Taylora i po uproszczeniu otrzymamy:

15. Naprężenia główne i kierunki główne w ogólnym stanie naprężenia

Kierunki główne: określone przez oś u dla którego naprężenie styczne jest równe 0. Wtedy napr. normalne jest napr. całkowitym i nazywamy je napr. głównym

Płaszczyzna główna: pł. na której występuje naprężenie główne.

Na kierunku głównym zachodzi zależność

Pux = σ l ; Puy = σ m ; Puz = σ n

Równanie sekularne : σ³-σ²s₁+σs₂-s₃ = 0 ; do wyznacznia naprężeń głównych σ₁>σ₂> σ₃

Niezmienniki stanu naprężenia: kier. główne, napr. główne, współczynniki s₁, s₂ , s₃

16. Szczególne przypadki stanu naprężenia

1.Przestrzenne nierównomierne rozciąganie:

σ _u=σ -> naprężenie normalne na dowolnej płaszczyźnie niezależne od orientacji.

Naprężenie całkowite Pu=σ , wtedy τ_u=0 napr styczne

Koła Mohra to punkty.

2.Płaskie równomierne rozci*ganie

zał. σ₁=σ₂=σ>0 σ₃=0

σ_u=σ - napr. normalne

τ_u=0 - napr. styczne

3.Jednoosiowe rozci*ganie

σ₁=σ>0 σ₂=σ₃=0 σ_x=σ σ_y=0 τ_xy=0

Naprężenia dla dowolnie zorientowanej płaszczyzny wynosz*:

gdy: α=45° wtedy σ_ρ=σ_η=¹/₂σ

τ_ρη=τ_ρηmax=-¹/₂σ

4.Ścinanie

σ₁=σ σ₂=-σ σ₃=0

Napr. dla dowolnej płaszczyzny

σ_ρ=σ cos2α

σ_η=-σ cos2α

τ_ρη=-σ sin2α

Dla α=45°⇒ τ_ρη=τ_ρηmax=-σ oraz σ_n=σ_ρ=0

17.Płaski stan naprężenia: gdy σ₁≠0, σ₂≠0, σ₃=0 Płaski stan napr. opisany jest 3 składowymi σ_x , σ_y , τ_xy=τ_yx

Równanie sekularne (jest funkcją kwadratową)

18. Teoria stanu odkszatałcenia

Pręt obci*żony ulega przemieszczeniu (jego końce)

Przemieszczenia końców pręta rozwijamy w szereg Taylora:

u, u' przemieszczenie względem OX

v, v' przemieszczenie wzgledem OY

19. Tensor stanu odkształcenia

T=T_K+T_D

T_K - tensor kulisty

T_D - dewiator

20. Odkształcenie główne i kierunkowe główne

Kierunki główne - kierunki w których odkształcenia postaciowe s* równe 0 ( γ=0)

Dla każdego stanu odkształcenia można wyznaczyć 3 wzajemnie prostopadłe osie o kierunkach zwanych głównymi kierunkami stanu odkształcenia, dla których posunięcia będą równe zero.

Odkształcenia główne - odkształcenia ε_x, ε_y, ε_z na kierunkach głównych.

Niezmienniki stanu odkształcenia e₁, e₂, e₃

ε³ - ε²e₁ + e₂ - e₃ = 0

e₁ = ε_x + ε_y + ε_z

e₂ = ε_x ε_y + ε_yε_z + ε_zε_x - (1/4)(γ²_xy + γ²_yz + γ²_zx )

e₃ = ε_xε_yε_z + (1/4)( γ_xyγ_yzγ_zx ) - (1/4)( ε_xγ²_yz + ε_yγ²_zx + ε_zγ²_xy)

21 . Uogólnione prawo Hooke'a.

-Uogólniony związek pomiędzy stanem naprężenia i odkształcenia.

Określamy związki pomiędzy E, G i υ

-Stała materiałowa dla ciała izotropowego.

Dla materiałów izotropowych uogólnione prawo Hooke'a wygl*da następuj*co:

Kierunki główne stanu odkształcenia pokrywaj* się z kierunkami głównymi stanu naprężenia.

Stała Lame'go:

ν - liczba Poissona

G - moduł Kirchoffa

22. Moduł ściśliwości sprężystej

P=b_śr/e - względna zmiana objętości

24. Energia sprężysta

Układ liniowo sprężysty Clapeyrona - zbiór połączonych ze sobą ciał odkształcalnych w których przemieszczenia są liniowymi funkcjami sił (i odwrotnie). Układ rzeczywisty może być traktowany jako liniowo-sprężysty (prawo Hooke'a);układ pozostaje w równowadze; przemieszczenia są małe i nie wpływają na warunki równowagi; tarcie można pominąć

25. Układy liniowo sprężyste

- Energia sprężysta:

L - praca wykonywana przez sily rozciągajace,

V - energia sprężysta.

dl=P⋅dλ dλ - wydłużenie

- Właściwa energia sprężysta - energia przypadająca na jedn.obj. - φ

- Energia sprężysta powstała w wyniku ścinania.

τ = G⋅γ - prawo Hooke'a

1. Rozciąganie (ściskanie):

b

2. Zginanie.

3. Skręcanie.

Energia sprężysta jednostki długości pręta jest równa polowie ilorazu kwadratu siły wewnętrznej podzielonej przez odpowiednią sztywność.

Twierdzenia ogólne o układzie liniowo-sprężystym.

Układ nazywamy liniowo - spręzystym jeżeli przemieszczenia poszczególnych punktów są liniową funkcją zadanego odkształcenia:

Δ=δ₁P_1­+δ₂P_2­+ ... + δ_nP_n

1.Układ Clapeyrona:

- materiał liniowo-sprężysty,

- siły w równowadze,

- brak tarcia,

- niewielkie przemieszczenie układu.

u­­₁=δ₁₁P_1­+δ₁₂P_2­+ ... + δ_1iP_i + ... δ_1nP_n

u­­₂=δ₂₁P_2­+δ₂₂P_2­+ ... + δ_2iP_i + ... δ_2nP_n

u­­_n=δ_n1P_1­+δ_n2P_2­+ ... + δ_niP_i + ... δ_nnP_n

u_i=Σδ_ikP_k=_­δ_ikP_k

U=D⋅P /D^-1

D^-1⋅U=P

D^-1=A

A⋅U=P

P_i=a_i1U₁+a_i2U₂+ ... a_inUn

P_i=Σa­_ikU_k

-Energia sprężysta układu Clapeyrona

L_i=1/2 P_iu_i

L=1/2Σ P_iu_i

Energia sprężysta ukł. liniowo-sprężystego będącego w równowadze jest równa połowie sumy iloczynów sił zewnetrznych i odpowiadających im przemieszczeń.

u_i=Σσ­_ikP_k P_i=Σa­_iku_k L=1/2Σ Σ a­_iku_k u_i

26. Twierdzenie Betti'ego i Maxwella

-Tw. Bettiego o wzajemności prac.Suma prac sił układu pierwszego (P­_i) na odpowiadających im przemieszczeniach wywołanych siłami układu drugiego (P_k) jest równa sumie prac sil układu drugiego (P_k) na odpowiadających im przemieszczeniach wywołanych siłami układu pierwszego (P_i).

-Tw. Maxwella o wzajemności przemieszczeń.Jeżeli na układ liniowo-sprężysty działają równe co do modułu uogólnione siły to przemieszczenie odpowiadające pierwszej lecz wywołane przez drugą równe jest przemieszczeniu odpowiadającemu drugiej lecz spowodowane siłą pierwszą.

u_ik=u_ki

27. Twierdzenie Castigliano i Menabrea - Castigliano

-Tw. Castigliano i jego zast. w obliczaniu przemieszczeń. Pochodna cząstkowa energii sprężystej całego układu liniowo - sprężystego względem jednej z niezależnie działających sil jest równa odpowiadającemu tej sile przemieszczeniu.

-Zasada Menabrea - Castigliano i jej zastosowanie.

Pochodna energii potencjalnej (sprężystej) względem wielkości statycznie niewyznaczalnej jest równa zeru.

28. Metoda Maxwella-Mohra

Twierdzenie Maxwella-Mohra i jego zastosowanie.

Zakładamy fikcyjną siłę (jeżeli wyznzczamy ugięcie w punkcie gdzie nie ma sił)

Układ obciążamy dodatkową siłą F w punkcie, gdzie chcemy wyznaczyć przemieszczenie a innych sił nie uwzględniamy.

29. Wytężenie materiału. Hipotezy wytężeniowe

Pojęcie wytężenia materiału.

Ogół zmian w stanie fizycznym ciała prowadzący do powstania trwałych odkształceń i zniszczenia spójności określono jako wytężenie. Stawia się hipotezę, że można utworzyć funkcję W określającą wytężenie. Jej argumentem są składowe stanu ośrodka ciągłego w danym punkcie (z reguły składowe stanu naprężenia σ_X , ..., τ_XY , ...) i parametry charakteryzujące materiał (C₁,...)

W=F(σ_X , ..., τ_XY ,...,C₁ ,...)

Naprężenie redukowane.

Naprężenie zredukowane odpowiada danemu stanowi naprężenia i jest porównywalne z jednokierunkowym stanem naprężenia.

Wytężenie to zagadnienie odpowiedności trój- lub dwukierunkowego stanu naprężenia z jednokierunkowym stanem naprężenia.

Hipotezy wytężenia.

1)Hipoteza największego naprężenia normalnego (Galileusz i Leibnitz). O wytężeniu decyduje max. naprężenie normalne (rozciągające lub ściskające)

a) Przestrzenny stan naprężenia.

σ₁ <= σ_zr , σ₂ <= σ_zr , σ₃ <= σ_zr

σ_zc <= σ₁ <= σ_zr , σ_zc <= σ₂ <= σ_{zr ,}

σ_zc <= σ₃ <= σ_zr

b)Płaski stan naprężenia σ₃ = 0

σ_zc <= σ₁ <= σ_{zr ,}

σ_zc <= σ₂ <= σ_zr

c)Ścinanie

τ_max = σ

σ_zc <= τ_max <= σ_zr

2)Hipoteza najwiekszych odkształceń właściwych (de Saint-Vermont)

O wytężeniu decydują odkształcenia (wydłużenie właściwe)

ε₁ <= ε_zr , ε₂ <= ε_zr , ε₃ <= ε_zr , ε_zc <= ε₁ <= ε_zr

3)Hipoteza największych naprężeń stycznych

O wytężeniu decyduje

max. naprężenie

styczne

τ_max = (σ_max - σ_min) /2

a)Rozciąganie osiowe - τ_max = σ_red /2

b)Ogólny stan naprężenia - σ_red = σ_max - σ_min

-σ_zr <= σ_max - σ_min <= σ_zr

-σ_zr <= σ₁ - σ₂ <= σ_zr

-σ_zr <= σ₂ - σ₃ <= σ_zr

c)Płaski stan naprężenia - σ₃ = 0

-σ_zr <= σ_max - σ_min <= σ_zr

- różne znaki σ_x , σ_y

σ_x σ_y <= τ_xy²

- te same znaki σ_x , σ_y

σ_x σ_y > τ_xy²

Szczególne przypadki:

I) σ_x = σ , σ_y = 0 , τ_xy = τ →

II)Ścinanie

τ_xy = τ , σ_x = 0 , σ_y = 0 →

4)Hipoteza energetyczna

a)Miara wytężenia - całkowita energia sprężysta (Huber,Beltrami)

b)Miara wytężenia - energia odkształcenia postaciowego (Huber,Ses)

Dla dowolnego stanu naprężenia spowodowanego rozciąganiem:

Φ_f = (1+ν) /6E [(σ_x -σ_y)²+(σ_y -σ_z)²+(σ_z -σ_x)²+

+6(τ_xy² +τ_yz² +τ_zx²)]-energia odkszt.postac.

Dla płaskiego stanu naprężeń: σ_z = τ_yz = τ_zx = 0

Szczególne przypadki:

I) σ_x = σ , σ_y = 0 , τ_xy = τ ,

II) Ścinanie: σ_x ,σ_y = 0 , τ_xy = τ ,

30. Hipoteza największych naprężeń stycznych

O wytężeniu decyduje

max. naprężenie

styczne

τ_max = (σ_max - σ_min) /2

a)Rozciąganie osiowe - τ_max = σ_red /2

b)Ogólny stan naprężenia - σ_red = σ_max - σ_min

-σ_zr <= σ_max - σ_min <= σ_zr

-σ_zr <= σ₁ - σ₂ <= σ_zr

-σ_zr <= σ₂ - σ₃ <= σ_zr

c)Płaski stan naprężenia - σ₃ = 0

-σ_zr <= σ_max - σ_min <= σ_zr

- różne znaki σ_x , σ_y

σ_x σ_y <= τ_xy²

- te same znaki σ_x , σ_y

σ_x σ_y > τ_xy²

Szczególne przypadki:

I) σ_x = σ , σ_y = 0 , τ_xy = τ →

II)Ścinanie

τ_xy = τ , σ_x = 0 , σ_y = 0 →

32. Hipotezy energetyczne. Hipotezy energii odkształcenia postaciowego

a)Miara wytężenia - całkowita energia sprężysta (Huber,Beltrami)

b)Miara wytężenia - energia odkształcenia postaciowego (Huber,Ses)

Dla dowolnego stanu naprężenia spowodowanego rozciąganiem:

Φ_f = (1+ν) /6E [(σ_x -σ_y)²+(σ_y -σ_z)²+(σ_z -σ_x)²+

+6(τ_xy² +τ_yz² +τ_zx²)]-energia odkszt.postac.

Dla płaskiego stanu naprężeń: σ_z = τ_yz = τ_zx = 0

Szczególne przypadki:

I) σ_x = σ , σ_y = 0 , τ_xy = τ ,

II) Ścinanie: σ_x ,σ_y = 0 , τ_xy = τ ,

33. Zginanie ukośne

Kierunek momentu gnącego jest różny od kierunku osi głównej, centralnych osi bezwładności

Kierunek osi obojętnej nie zależy od wartości momentu gnącego a zależy od kierunku momentu głównego oraz od głównych kierunków momentu bezwładności Iz, Iy. Największe naprężenia występuj* w punktach najbardziej oddalonych od osi obojętnej.

Przemieszczenia

t - przemieszczenie

a-współczynnik- funkc. położenia przekroju a=F(x)

34. Ścinanie. Wzór Żurawskiego

Naprężenia normalne w dowolnym przekroju wyznacza się jak w prostym zginaniu równomiernym

W przekroju przesuniętym względem poprzedniego o dx moment gnący wzrośnie o dM_g a naprężenie normalne o dσ.

Wzór Żurawskiego pozwala obliczyć w sposób przybliżony wartość jednej składowej τ_XY naprężeń stycznych w przekroju pręta zginanego nierównomiernie.

Środek ścinania.

K - środek ścinania (jeżeli w punkcie k przyłożymy siłę skupion* to nastąpi tylko zginanie bez skręcania)

Wpływ sił poprzecznych na przemieszczenie osi pręta.

Na osi pręta przemieszczenie υ jest równe ugięciu y zależnemu tylko od x

różniczkując jednokrotnie wzgl. x mamy:

Równania te można uważać za równania różniczkowe osi odkształconej działaniem sił poprzecznych. Takie ujęcie pozwala nam wnieść poprawkę do równania różniczkowego osi ugiętej, które po uwzględnieniu działania sił poprzecznych przybiera postać:

35. Rozciąganie ze zginaniem

Rozciąganie mimośrodowe

Dokonujemy przekroju

Szukamy y₀ aby naprężenia =0

Zginanie i ściskanie proste

-Równanie osi obojętnej

WNIOSEK : przesuwanie się punktu przyłożenia siły po linii prostej odpowiada obrót linii obojętnej wokół jednego punktu

36. Rdzeń przekroju

Każdej linii obojętnej stycznej do konturu przekroju pręta odpowiada określone położenie pręta przyłożenia siły. Zbiór prętów przyłożenia siły odpowiada wszystkim liniom objętym stycznymi do konturu przekroju pręta ogranicza obszar zwany rdzeniem przekroju. Jest to miejsce geometrycznych punktów przyłożenia siły, dla których naprężenia w całym przekroju mają jednakowy znak. Ma to istotne znaczenie dla materiałów w dużej wytrzymałości na ściskanie i znikomej na rozciąganie.

37. Zginanie ze skręcaniem

Jeżeli wał jest okrągły to największe wytężenie występuje w punktach najbardziej odległych od osi obojętnej zginania. Naprężenia w tym punkcie wynoszą:

τ_MAX = M_S/w_o σ_MAX = M_g/w

dla przekroju okrągłego stosunek wskaźników wytrzymałości wynosi (w_o/w)=2 stąd w_o = 2w.

Wyrażenie to nazywamy momentem zredukowanym.

Warunek wytrzymałości dla wału zginanego i skręcanego wyraża się jak dla wału zginanego z tym że zamiast momentu gnącego występuje moment zredukowany.

(M_red/w)≤σ_dop

Opierając się na hipotezie największych naprężeń stycznych na moment zredukowany otrzymujemy wzór:

38. Wyboczenie sprężyste prętów - wzór Eklera

Wyboczenie to wyginanie pręta spowodowane przekroczeniem przez siłę ściskającą wartości krytycznej.

Siła krytyczna Eulera:

P_kr = n²Π²EI / l² (Wyboczenie sprężyste)

Dla n=1 P_kr = Π²EI / l². EI -sztywność pręta;

n -ilość półfal sinusoidy krzywej ugięcia pręta

Siła krytyczna -najmniejsza siła po przekroczeniu której pręt utraci stateczność.

Końcowy wzór Eulera:

P_kr = Π²EI / l_r² [l_r=αl, α-wsp. zależny od sposobu zamocowania (0,5do2).

Krzywa ugięcia pręta: y=Asin(πx/2), dla P=P_kr jest półfalą sinusoidy.

α=2 - P_kr/min, α=1/2 - P_kr/max

Naprężenie krytyczne:

σ_kr=P_kr /A → σ_kr=Π²EI / l_r²A

Promień bezwładności: i²=I /A,

Smukłość pręta: λ=l_r /i

Ostateczny wzór w zakresie wyboczenia sprężystego na napr. krytyczne (w zakresie stosowania prawa Hooke'a): σ_kr=Π²E /λ²

Graniczna wartość smukłości:

σ_kr=δ_H →Π²E /λ²=δ_H →λ_gr= Π

Wyboczenie niesprężyste.

Naprężenia krytyczne wyznaczamy.

Dla λ<λ_gr ze wzorów empirycznych:

a) - (Tetmajera-Jasińskiego: σ_kr = a-bλ,

b) - Johnsona-Ostanfelda: σ_kr = A-Bλ²,

a,b,A,B-stałe materiałowe.

40. Zagadnienia brzegowe teorii sprężystości. Sformułowanie, sposób rozwiązania

Podstawowe równania teorii sprężystości.

1. Warunki równowagi:

Równania ciągłości odkształceń (nierozdzielności odkształceń)

Wyrażenia określające związki geometryczne różniczkujemy obustronnie wzgl. x,y,z, sumujemy i otrzymujemy 6 równań nierozdzielności odkształceń

Równania przemieszczeniowe teorii sprężystości (Naviera-Lamego).

Wyrażając naprężenia za pomocą składowych stanu odkształcenia, równania równowagi wyrażamy za pomocą przemieszczeń. Równania takie nazywamy równaniami Lamego:

Równania naprężeniowe (Beltromiego - Michela).

Rozpatrujemy w płaskim stanie naprężenia element w kształcie pierścienia.

Pa,Pb - ciśnienie, które powoduje, że element przemieszcza się.

Rozpatrujemy nieskończenie mały wycinek pierścienia

r-promień, σ_r -naprężenie obwodowe, A', B', C' - punkty wycinka po przemieszczeniu

Rozpatrując siły na oś y otrzymujemy:

Równanie osi pionowej możemy przedstawić za pomocą przemieszczeń

41. Podstawy metody elementów skończonych. Założenia. Podstawowe zależności

Dyskretyzacja pręta za pomocą elementów skończonych.

MES jest to metoda ogólnie stosowanej mechaniki ośrodków odkształcalnych. Punktem wyjścia metody jest koncepcja zastąpienia ośrodka ciągłego układem dyskretnych elementów skończonych. Relacje jakie w układzie takim powinny być spełnione zapisuje się w postaci równań macierzowych a ich rozwiązanie jest możliwe jedynie za pomocą komputera. Podstawą rozwiązania zagadnienia układu liniowo sprężystego metodą MES jest równanie macierzowe: P=AU formułujące związki liniowe między przemieszczeniami U, a siłami P zdeterminowane przez macierz sztywności A.

Aproksymacja przemieszczeń za pomocą funkcji interpolacyjnych (f. Kształtu), całka ważona, sformułowanie słabe.

W metodzie elem. skończ. w ujęci Raybigha - Ridsa podstawowe równania metody wyprowadzamy ze sformułowania słabego przyjmując przybliżenie oraz zakładając że funkcja ważona w(e) wyrażona jest przez funkcję kształtu: W=N^e₁ , W=N^e₂ , W=N^e₃ , W=N^e₄ . Otrzymuje się:

Macierz sztywności elementu skończonego

Macierz [K^e] jest macierzą sztywności elementu belkowego, natomiast macierz [F^e] jest macierzą kolumnową sił.

Agregacja elementów skończonych (warunki zgodności przemieszczeń i równowagi sił).

Jeżeli rozważany element skończony Ω^e wstawimy do jego pierwotnego miejsca w pręcie to powinny być spełnione dwa następujące warunki: warunek zgodności przemieszczeń w węźle u^e₂ = u^e+1₁ = u_e+1 , warunek równowagi sił w węźle a^e₂ ÷ a^e+1₁ ={0 gdy w węźle nie działają siły zewnętrzne, a₀ gdy w węźle działa siła skupiona o wartości a₀}.

42 i 43 . Elementy prętowe rozciągane i skręcane MES

dla 0<x<l

które należy uzupełnić warunkami brzegowymi u(0)=u₀ ; (adu/dx)_x=l = a₀ gdzie a=a(x)=A(x)*E jest sztywnością na rozciąganie.

44. Elementy prętowe zginane MES

dla 0<x<l

Warunki brzegowe:

ν(0)= ν₀ a=(dν/dx)_x=0 = a₀ -b(d²ν/dx²)_x=l = M_o

-b(d²ν/dx²)_x=1 = F_o

---