10. RÓWNANIE CIĄGŁOŚCI

Zgodnie z zasadą zachowania masy płynu każdy przekrój strugi przepływa w jednostce czasu jednakowa ilość płynu. Masa ta nazywa się masowym natężeniem przepływu Q_m i równa jest ona iloczynowi prędkości, pola przekroju i gęstości płynu w danym przekroju

Q_m= V * F * ρ = const [kg/s]

Gdzie Q_m- masowe przepływy

W przypadku płynów nieściśliwych tzn. dosk. ρ=const , więc równanie przyjmuje następującą postać Q= V * F [m³/s] gdzie Q-obj. nat. przepływu.

Natężenie objętościowe można wyrazić stosunkiem obj. ΔV przepływającej przez dany przekrój strumienia do czasu przepływu Δt : Q= ΔV/Δt

RÓWNANIA RUCHU PŁYNU DOSKONAŁEGO RÓWNANIE EULERA.

Na wyodrębniony element płynu działają siły pow. Wywołane ciśnieniem hydrodynamicznym. X Y Z to składowe jednostkowych sił masowych. Masa płynu dM =ρdxdydz

Rzuty jednostkowych sił masowych na osie Xρdxdydz, Yρdxdydz, Zρdxdydz.

Siły powierzchniowe są prostopadłe do ścianek prostopadłościanu: pdydz - (p+(δp/δx)*dx)dydz

pdzdx - (p+(δp/δy)*dy)dxdz

pdxdy - (p+(δp/δz)*dz)dxdy

Rzuty sił bezwładności wynoszą

|
|

Po przekształceniu otrzymyjemy

Składowe naprężeń normalnych:

Ostatecznie otrzymujemy układ równ Eulera w postaci:

Z - analogicznie ( jak wyżej )

Równania te w połączeniu z równaniem ciągłości określają ruch płynów doskonałych w najogólniejszej postaci.

W ruchu ustalonym płynu doskonałego pierwsze wyrazy prawych stron równań, tj. cząstkowe składowe pochodnych prędkości względem czasu są równe zeru, tzn.:

RÓWNANIE BERNULIEGO

Postać równania Bernuliego:

Vdv/g+ dp/γ+dh_str=const

Równanie Bernuliego to bilans energii w przekrojach prostopadłych. Dla każdego przekroju strugi cieczy dosk. Znajdującej się w ruchu ustalonym pod działanie wyłącznie siły grawitacyjnej ( ciążenia) . Suma wysokości prędkości, wys. Ciśnienia, wys. Położenia jest wartością stałą (czyli suma energii kinetycznej i potencjalnej w każdym przekroju strugi cieczy doskonałej jest stała.

Ogólna postać równania Bernouliego

V²/2g +p/γ+z= const dla dosk.

Gdzie: V²/2g - wys. pr. ( energia kinet. cieczy na jedn. ciężaru) p/γ - wys ciśnienia (en. Pot. Cieczy na jedn. ciężaru) z-wys. wzniesienia zwierciadła ponad oś przewodu ( energia potencjalna cieczy na jednostkę ciężaru)

(7)

Dla Rzeczywistych -

PŁYNY NEWTONOWSKIE I NIENEWTONOWSKIE. PRZEPŁYW PŁYNU RZECZ. ISTOTA „TARCIA WEW.”, LEPKOŚĆ WG. PRAWA NEWTONA.

(9)

dw/dn=K*(τ-τ₀)ⁿ

τ=μdu/dy

(10)

μ=τ/(du/dy)

Płyny newtonowskie to płyny charakteryzujące się stałą lepkością.

Przepływ płynów rzecz. : V=α*((2gh)^1/2)

Dla ruchu ustalonego

V₁²/2g +p₁/γ+z₁>>V₂²/2g+p₂/γ+z₂>>V₃²/2g+p₃/γ+z₃

TARCIE WEW. - przepływ ustalony płynu lepkiego(rzecz) związany jest ze stratami energii potencjalnej (ciśnienia i wysokości). W cieczach siły styczne wywołane lepkością są siłami przeciwstawiającymi się ruchowi , inaczej mówiąc siłami hamującymi (podobnie jak tarcia w mechanice ciał stałych). Siły styczne wywołują przede wszystkim tzw. zjawisko kohezji, czyli trwałe przyleganie cząstek do powierzchni ciał stałych. Dzięki zmniejszającej się kohezji w miarę podwyższania temperatury, wsp. Lepkości również maleje.

PRAWO NEWTONA

Siła działająca na element pow. Może być obliczone wg. Zasady ilości ruchu, w której bierze się prędkość normalną do tej powierzchni. Opór wg Newtona nie zależy od kształtu ciała lecz od wielkości jego czołowej powierzchni. Hamujące siły styczne na powierzchni styku dwóch elementów stanowią naprężenia styczne, które Newton wyraził następującym wzorem τ = μδV/δn gdzie: μ-lepkość dynamiczna będąca cechą płynu, V pr płynu, n- kierunek normalny wektora pr. płynu.

Dla płynów lepkich (rzecz.) oprócz sił masowych oraz normalnych sił powierzchniowych należy wziąć pod uwagę styczne siły powierzchniowe , tzn. SIŁY LEPKOŚCI. Wpływ lepkości na ruch płynu lepkiego pojawia się przez powstanie naprężeń stycznych oraz przez zmianę naprężeń normalnych.

Założeniem podstawowym jest założenie proporcjonalności naprężeń powierzchniowych do prędkości odkształceń kątowych (Prawo Newtona). Stan naprężeń w płynie określają w dowolnym punkcie naprężenia normalne i styczne.

Z twierdzenia Newtona τ=μ dV/dn i zatem wielkość naprężeń stycznych jest proporcjonalna do odpowiednich odkształceń kątowych

dla Z analogicznie

lub wg. Walden:

dla Z analogicznie

Gdzie: div v^(wektor)=(δv_x/δx+δv_y/δy+δv_z/δz)

XYZ składowe jednostkowych sił masowych

∇- laplasj'an

(1/ρ) (δp/δx); (1/ρ)(δp/δy); (1/ρ)(δp/δz) - składowe naprężeń normalnych

Dla płynu lepkiego div v^(wektor)=0, więc

⇒ 0

Są to równania Nawiera Stokesa (dwie postacie) stanowiące najogólniejszą formę różniczkową równań ruchu lepkiego, ściśliwego (rzeczywistego) przy μ=const.

Dla ruchu płaskiego płynu doskonałego otrzymujemy:

du/dt=X-(1/ρ)(δp/δx)+νΔu

dv/dt=Y- (1/ρ)(δp/δy)+νΔu

PRZEPŁYW LAMINARNY, PRAWO HAGEN-POISSEULLE'A , DOŚWIADCZENIE REYNOLDSA Z UTRATĄ STATECZNOŚCI PRZEPŁYWU PŁYNU. PROFIL PRĘDKOŚCI W RUCHU LAMINARNYM.

Przepływ laminarny to przepływ podczas którego nie występuje wymiana całych elementów pomiędzy poszczególnymi tarcia. Cząsteczki cieczy poruszają się prostoliniowo. Naprężenia styczne w przepływie laminarnym uzależnione są od prędkości płynu, wywołuje je między innymi lepkość:

τ=μδv/δn. V_max=ΔpR²/4μl wychodząc ze wzoru: Q=Δp/4μl *₀∫^R(R²-r²)2πrdr= =ΔpπR⁴/8μl dzieląc przez przekrój rury: F=πR² otrzymamy: V_śr=ΔpR²/8μl; V_śr=V_max/2

(14) Profil prędkości przy przepływie laminarnym przybiera postać rozkładu paraboloicznego.

PRAWO HAGEN - POISEULLE'A

„Wydatek cieczy lepkiej przepływającej przez rurkę o małej średnicy jest proporcjonalny do różnicy ciśnień powodującej przepływ oraz proporcjonalnej do 4 potęgi średnicy rury i odwrotnie proporcjonalny do jej długości.

Q=πΔpR⁴/128μl ; Δp=128μQl/πD⁴ ; V=Δp/μηl(R²-r²)

DOŚWIADCZENIE REYNOLDSA

Reynolds dokonał podstawowego podziału przepływu płynów lepkich na ruch laminarny i turbulentny (burzliwy) . Doświadczenie polegało na tym, że Reynolds zmieniając prędkość przepływu wody w rurze szklanej o przekroju kołowym obserwował barwną strugę, która do pewnej krytycznej prędkości rysowała się ostro i wyraźnie (ruch laminarny). Powyżej pewnej krytycznej prędkości przepływu barwna struga podlegała intensywnym wahaniom, rozpraszała się zabarwiając lekko całą masę wody ( ruch burzliwy).

Reynolds doszedł do wniosku iż przejście z przepływu laminarnego w burzliwy powinno zachodzić w rurach o różnej średnicy i dla płynów o różnej lepkości zawsze przy określonej krytycznej liczbie Re=V*D/ν

Wielkość tą nazwano Liczbą Reynoldsa, a wartość jej odpowiadającą przejściu przepływu laminarnego w burzliwy nazywa się KRYTYCZNĄ LICZBĄ REYNOLDSA.

30.000≤Re≤50.000

Re = ω4R_n/ν - z promieniem hydraulicznym R_n dla cieczy w kanałach kanalizacyjnych

Re = 4r/η - dla spływu cieczy; η - lepkość godzinowa

Re = μ*l*ρ/η

Re = V*D*ρ/μ dla dynamicz. wsp. lepkości

Re=VD/ν dla kinem. wsp.lep.

(15) PRZEPŁYW TURBULENTNY, INTENSYWNOŚĆ TURBULENCJI. PROFIL PRĘDKOŚCI W RUCHU TURB.

Przepływ turbulentny jest przepływem podczas, którego następuje wymiana całych elementów płynu między poszczególnymi warstwami przepływającego płynu. Kolejne elementy płynu przechodzące przez dany punkt przestrzeni mają inne prędkości.

Istnienie zmiennych prędkości płynu oraz zmiennych przyrostów tych prędkości stanowi istotę zjawiska turbulencji. W ogólnym przypadku zjawisko turbulencji można przedstawić w postaci trzech składowych prędkości chwilowych (pobocznych), z których każda składa się z prędkości głównej (średniej): u = ū +u', v = v +v', w = ŵ +w', gdzie u,v,w składowe prędkości chwilowej w danym punkcie przestrzeni

uvw^{(z kreskami)} - prędkości główne (średnie),

u',v',w' - prędkości pulsacyjne ( poboczne)

Przepływ turbulentny nazywamy izotropowym jeżeli w danym punkcie przestrzeni kwadraty prędkości chwilowych (pobocznych) są stałe ū'²=w'²=v'²=const.

Jeżeli zaś we wszystkich punktach rozpatrywanego przekroju wartość stała nie ulegnie zmianie to turbulencja zwana jest HOMOGENICZNĄ. Zagadnienie intensywności turbulencji jest szczególnie ważne w aerodynamice powietrznej. INTENSYWNOŚĆ TURBULENCJI można przedstawić w postaci trzech składowych: u = ū +u', v = v +v', w = ŵ +w'.

Miarą intensywności turbulencji jest stosunek pierwiastka kwadratowego kwadratu prędkości pobocznej do prędkości głównej

ε - stanowi turbulentny współczynnik lepkości; nie jest on cechą fizyczną płynu, zależy od intensywności ruchu turbulentnego

(16)

n - wsp. zal. od liczby Re

(17) Podczas przepływu turbulentnego mamy do czynienia ze zwiększoną wymianą ciepła . Spowodowane jest to chaotycznym ruchem cząsteczek płynu, uderzeniami cząsteczek o ściany rury, jak również uderzeniem cząsteczek o cząsteczki mające inną prędkość przepływu płynu.

PRZEWODY ROZGAŁĘZIONE, LINIA PIEZOMETRYCZNA I LINIA ENERGII

Schemat przewodu rozgałęzionego.

(18)

d₁,d₂ ,d₃ - średnice przewodów A, B, C. H_A - energia płynu początkowa; H_B - energia objętości płynu u wylotu, H_C - energia płynu u wylotu.

Zagadnienie przewodów rozgałęzionych nie ogranicza się tylko do dwóch rozgałęzień. Może ich być więcej i to w różnym układzie.

(19)

Jeżeli ze wspólnego źródła zasilania (zbiornika przewodu głównego) doprowadzamy kilkoma przewodami ciecz do jednego miejsca o jednakowych warunkach wypływu ( jednakowych wysokościach) to łączny wydatek Q można przedstawić jako: Q=Q₁+Q₂+…+Q_n=_i=1ΣⁿQ_i

Stąd :Q=πd_i²/4 * V_i zaś h_{i str}=λ_i*(V_i/2g)*L/d_i

LINIA PIEZOMETRYCZNA - jest to wykres wykazujący zmianę ciśnień wzdłuż osi przewodu ( to wykres energii potencjalnej). Zmiany ciśnień następują zgodnie z równaniem Bernouliego dla płynów lepkich. Są one wywołane zmianami wysokości przekroju w przewodzie, stratami na tarcie oraz stratami miejscowymi jak i również zmianami prędkości. Spadek ciśnienia jak i opory tarcia powodują zmianę energii mechanicznej na inną energię na ciepło lub dźwięk.

(20)

*

Przy zmianie średnicy rurociągu opory miejscowe występują na skutek zmiany ilości ruchu i tarcia. Tu rozpatrujemy następujące przypadki:

1 przy gwałtownym zwiększeniu średnicy przewodu - występują zaburzenia i powstawanie wirów, a następnie strumień płynu wypełnia cały przekrój

(21)

2 przy gwałtownym zmniejszeniu średnicy przewody wpływ na opory miejscowe mają początkowo tworzące się wiry, a następnie zjawisko dławienia strumienia.

(22)

3 w przypadku dyfuzora opory miejscowe zależą od kąta δ, długości dyfuzora oraz od chropowatości ścianki przewodu.

K - względna chrop. przewodu zal. od δ

(23)

4 w przypadku konfuzora opory miejscowe są znikome, zależne głównie od chropowatości ścian przewodu.

ξ_{przyjmuje się w gr.}0,05÷0,06

(24)

Współczynniki oporów miejscowych w przypadku przewodów rurowych z rozgałęzieniem tzw. trójników zależą od kąta nachylenia odgałęzień. Niekiedy przedstawia się straty lokalne w postaci równoważnej długości rury L_Równ, na której występuje strata równa sumie oporów. Dłu

gość tą otrzymuje się przez porównanie strat ciśnienia lokalnej i tarcia:

ξ - wsp. oporów miejscowych, D- średnica rury, λ - wsp. oporów liniowych i odczytywany z wykresu Re

PODOBIEŃSTWO PROCESÓW I PODSTAWOWE LICZBY KRYTERIALNE, ANALIZA WYMIAROWA

Teorię podobieństwa można stosować tylko do zjawisk tego samego rodzaju określonych jednakowymi równaniami zarówno w formie jak i treści fizycznej. Dwa zjawiska fizyczne uważa się za podobne, jeżeli dowolna wielkość fizyczna zjawiska pierwszego jest proporcjonalna do tożsamościowo tej samej wielkości zjawiska drugiego.

Pełny opis matematyczny dowolnego zjawiska fizycznego obejmuje:

1 równania różniczkowe

2 własności geometryczne układu, w którym przebiega zjawisko

3 warunki fizyczne określające warunki fizyczne rozpatrywanych ciał

4 warunki brzegowe rozpatrywanego zjawiska

5 warunki początkowe rozpatrywanego zjawiska

W układach podobnych istnieją pewne wielkości, które dla wszystkich zjawisk podobnych zachowują jedną i tę samą wartość liczbową. Wielkości te są bezwymiarowe i noszą nazwę liczb podobieństwa (kryterialnych).

PODSTAWOWE LICZBY PODOBIEŃSTWA (KRYTERIALNE)

1 Liczba Reynoldsa: Re=ρVl/μ- to stosunek sił bezwładności do sił lepkości, gdzie V- prędkość, μ- dynamiczny współczynnik lepkości; ρ- gęstość ; l- wymiar charakterystyczny

2 Liczba Grashofa: Gr=gBl³Δt/ν² - stanowi miarę stosunku sił wyporu do sił lepkości;B- wsp. Rozszeżalności objętościowej; Δt- różnica temperatur; ν- kinem. wsp. lepkości

3 liczba Prandtta: Pr=ν/a, stąd a=λ/(c_pρ) - to miara stosunku współczynnika lepkości kinematycznej do współczynnika wyrównania temperatur; ν- kinem. wsp. Lepkości, a- wsp. wyrównania temperatur , λ - wsp. przewodzenia ciepła; c_p- ciepło wł. przy p=const.

4 Liczba Nusselta: Nu=αl/λ; α-wsp. wnikania ciepła

5 Liczba Frouda: Fr= w²/(d*g) - to miara stosunku sił ciężkości do sił bezwładności

6 Liczba Eulera: Eu= Δp/(ρV²) - to stosunek spadku ciśnienia statycznego płynu do ciśnienia dynamicznego

7 Liczba Strouhala: Sh= Vt/l - to stosunek czasu ruchu elementu płynu do całkowitego czasu potrzebnego na przebycie określonej drogi

8 Liczba Galileusza: Ga= Fr*Re²

9 Liczba Archimedesa Ar= Ga*(ρ-ρ₀)/ρ

10 Liczba Fowiera Fo= a*t/l²

ANALIZA WYMIAROWA- Opiera się na hipotezie, że poprawne równania opisujące zjawisko fizyczne są wymiarowo niezmienne i jednorodne. Pierwsza własność oznacza, że kształt funkcji nie zależy od wyboru jednostek, druga własność oznacza, że pomnożenie argumentów jakiejkolwiek liczby przez inną nie powoduje zmiany wymiaru funkcji:

f(m₁A₁,m₂A₂,…m_nA_n)= mf(A₁,A₂,…,A_n).

Tw. „Każde równanie fizyczne wiążące ze sobą n wielkości wymiarowych z których k jest wymiarowo niezależnych f(A₁,A₂,…,A_n)= θ może być przekształcone na równanie bezwymiarowe zawierające n-k bezwymiarowych parametrów: f(π₁,π₂,…,π_n)=θ utworzonych z n wielkości wymiarowych.”

RÓWNANIE DARCY - WEISBACHA. WSPÓŁCZYNNIK STRAT λ. SZORSTKOŚĆ. DOŚWIADCZENIE NIKURADSE'GO

Równanie Darcy - Weisbacha określa straty ciśnień dla przepływu burzliwego. Są to tzw. Straty liniowe (na długości)

λ-wsp strat liniowych( strat tarcia) , L - długość przewodu badanego, R_n- Promień hydrauliczny, D- średnica wew przewodu.

Wartość wsp. oporów liniowych zależy od rodzaju ruchu cieczy opisywanego liczbą Reynoldsa

- dla przepływu laminarnego wsp. oporów liniowych zależy tylko od liczby Reynoldsa; szorstkość nie ma tu wpływu na wartość współczynnika, ponieważ przy ściankach tworzy się warstwa przyścienna: λ= f(Re), λ=64/Re

- dla przepływu turbulentnego współczynnik oporów liniowych zależy od chropowatości względnej czyli szorstkości; oraz od liczby Reynoldsa:λ_turb=f(Re,K)

Podstawowe różnice:[WAŻNE!!!]

1 Opór opływu zależy od kształtu i liczby Re; opór miejscowy zaś od średnicy i kształtu.

2 Opór opływu znajdujemy z wykresu Re, zaś opór miejscowy znajdujemy w tablicach

3 Opór opływu wyrażany jest w sile [MN], zaś opór miejscowy wyrażany jest spadkiem ciśnień

SZORSTKOŚCIĄ przewodu, chropowatością względną nazywamy średnią wysokość nierówności na ściance przewodu mierzoną w [mm]. Chropowatość może być jednorodna lub niejednorodna. Względną miarą chropowatości przewodu jest stosunek chropowatości bezwzględnej K do promienia lub średnicy przewodu: ε=K/d - wzór Misesa. Szorstkość zależy od materiału z jakiego został wykonany przewód, jako technicznie gładkie możemy traktować rury miedziane, mosiężne oraz szklane. Szorstkość powierzchni wpływa na wielkość współczynnika strat tylko dla przepływów turbulantnych. W przypadku przepływów laminarnych nie obserwuje się zmian w wartościach tego współczynnika. Badania nad wpływem wielkości szorstkości na wartość wsp. strat prowadził NIKURADSE. Stwierdził on, że wartość wsp. strat ustala się po przekroczeniu pewnej liczby Reynoldsa. Dla której szorstkości istnieje zakres, w którym straty energii są dokładnie proporcjonalne do kwadratu średniej prędkości przepływu. Doświadczenie Nikuradsego służy jedynie do poznania zjawisk wywołanych szorstkością, nie zawsze używane są w praktyce. Prędkość przepływu w rurach zarówno gładkich jak i chropowatych jest taka sama i nie zależy od stopnia chropowatości przewodu.

TEORIA WARSTWY PRZYŚCIENNEJ. ZJAWISKO ODERWANIA.

Warstwa przyścienna - to cienka warstwa płynu powstająca na powierzchni ciała opływanego płynem lepkim. Tworzenie się warstwy przyściennej wywołuje nie tylko siły tarcia ale również zmiany pola prędkości i rozkłady ciśnienia. Zmiana profilu prędkości płynu spowodowana jest siłami pochodzącymi od lepkości oraz zmianą objętości.

Grubość warstwy przyściennej - to odległość, na którą odsuwa się od ciała linia prądu wskutek tworzenia się warstwy przyściennej. Grubość warstwy przyściennej wzrasta w miarę oddalania się od punktu wejścia, czyli wzrasta w kierunku przepływu. Grubość nazywana jest również miarą liniową.

Zjawisko oderwania warstwy przyściennej - wpływa na zmianę rozkładu prędkości i ciśnienia. Oderwanie zależne jest od wartości Re. Siły tarcia występujące w warstwie przyściennej powodują, że element płynący traci część energii kinetycznej. Pozostała część energii kinetycznej jest zbyt mała aby przezwyciężyć wzrastające ciśnienie. W rezultacie następuje zahamowanie elementu płynu a przepływ następuje w kierunku odwrotnym. Właśnie to zjawisko nazywamy oderwaniem warstwy przyściennej. Oderwanie to powoduje oderwanie wiru.

Czynniki sprzyjające oderwaniu warstwy przyściennej:

- przyrost ciśnienia - zmiana rozkładu ciśnienia i ciągłości.

---