Mechanika płynów jest nauką o równowadze i ruchu ciał płynnych pod działaniem sił zewnętrznych.

Płyny dzielimy na dwie grupy: płyny praktycznie nieściśliwe, czyli ciecze i płyny ściśliwe czyli gazy.

Ciecze w odróżnieniu od gazów odznaczają się małą ściśliwością i nie zachowując kształtu zachowują objętość oraz właściwość formowania swobodnej powierzchni w zbiorniku , w którym się znajdują. Natomiast gazy jako płyny ściśliwe posiadają zdolność wypełnienia całej objętości zbiornika.

Ośrodkiem ciągłym nazywamy układ mechaniczny, zawierający nieskończoną ilość cząsteczek, wypełniający w sposób ciągły daną objętość.

Cząsteczka lub element płynu jako ośrodka ciągłego jest to objętość nieskończenie mała w porównaniu z wymiarami opływanych przez płyn ciał, równocześnie dostatecznie wielka w stosunku do długości swobodnego przebiegu molekuł. Element płynu zawiera dostateczną ilość molekuł, aby można było stosować statystyczne metody związane z pojęciem ciągłości ośrodka.

Płyny rzeczywiste i doskonałe.

Płynami rzeczywistymi nazywamy ciecze i gazy posiadające określone właściwości fizyczne jak lepkość i ściśliwość. W płynach rzeczywistych na powierzchni styku elementów, poruszających się z różnymi prędkościami występują siły styczne przeciwdziałające ich wzajemnemu przemieszczeniu.

Zdolność przenoszenia naprężeń stycznych nazywamy lepkością płynu.

W celu uproszczenia matematycznego ujęcia zjawisk fizycznych wprowadzono pojęcie płynów doskonałych. Model płynu doskonałego cechuje umowne pominięcie ściśliwości i lepkości; ponadto zakładamy, że płyn doskonały nie przenosi naprężeń rozrywających. W mechanice płynów rozważane są następujące modele:

• płyn nielepki nieściśliwy,

• płyn nielepki ściśliwy,

• płyn lepki nieściśliwy,

• płyn lepki i ściśliwy.

Własności fizyczne płynów.

Do podstawowych parametrów określających własności fizyczne płynów należą:

Gęstość płynu jednorodnego określamy stosunkiem jego masy M do objętości V, czyli:

Dla płynu niejednorodnego określamy jako:

Ciężar właściwy płynu jednorodnego określony jest stosunkiem ciężaru G do jego objętości V, czyli:

Dla płynu niejednorodnego jako:

Objętość właściwą płynu określamy stosunkiem jego objętości V do masy M:

Z tego wynika, że objętość właściwą można określić jako odwrotność gęstości:

Ściśliwością cieczy nazywamy jej zdolność do zmniejszenia pierwotnej objętości na skutek działania sił zewnętrznych (ciśnienia).

Ściśliwość cieczy określa współczynnik ściśliwości
. Jest to stosunek względnej zmiany objętości V cieczy do przyrostu ciśnienia, który zmianę tę wywołał. Współczynnik ten wyraża się wzorem:

Rozszerzalnością cieplną cieczy nazywamy jej zdolność do zmiany objętości pod wpływem zmian temperatury.

Rozszerzalność cieplną określamy przy pomocy współczynnika
wyrażającego stosunek względnej zmiany objętości do przyrostu temperatury, który tę zmianę wywołał. Współczynnik rozszerzalności cieplnej
przy danym ciśnieniu wyrażany jest wzorem:

Lepkością nazywamy zdolność płynów do przenoszeniu naprężeń stycznych przy wzajemnym przemieszczeniu elementów poruszających się z różnymi prędkościami. Powstają przy tym siły styczne do kierunku przemieszczenia, które noszą nazwę sił stycznych lub sił tarcia. Siły te będą tym większe, im większa jest lepkość płynu i im większe są różnice prędkości między sąsiednimi elementami płynu.

Stosunek sił stycznych do powierzchni, na której działają, określa naprężenie styczne:

Według wzoru Newtona naprężenia styczne są proporcjonalne do przyrostu prędkości w kierunku normalnym do przepływu

Współczynnik proporcjonalności μ jest miarą lepkości i nazywa się dynamicznym współczynnikiem lepkości
.

Lepkość zależy głównie od temperatury, nieznacznie zaś od ciśnienia.

Siły działające na ciecz.

Rozróżniamy dwa rodzaje sił działających w rozważanym obszarze cieczy:

1. Siły masowe proporcjonalne do masy cieczy. Z sił masowych można wymienić siłę ciążenia, siłę odśrodkową, siłę bezwładności.

2. Siły powierzchniowe są proporcjonalne do powierzchni i działają tylko na powierzchni wydzielonej masy cieczy. W ogólnym przypadku siłę powierzchniową działającą na element powierzchni ΔF cieczy można rozłożyć na dwie składowe: normalną ΔP i styczną ΔT do danej powierzchni. Składowe styczne, odpowiadające siłom oporu występują tylko w przypadku ruchu płynów rzeczywistych (lepkich). W płynach znajdujących się w stanie spoczynku gradient prędkości dv/dn=0, tym samym naprężenie styczne τ=μdv/dn=0 oraz siła styczna dT=τdF, niezależnie od wartości dynamicznego współczynnika lepkości będzie równa zeru. Przeto w hydrostatyce istnieje tylko siła powierzchniowa normalna do powierzchni elementu, zwana parciem hydrostatycznym.

Ciśnienie hydrostatyczne

Określenie ciśnienia hydrostatycznego

Jeżeli elementarna siła ΔP jest równomiernie rozłożona na płaszczyźnie elementu ΔF, to otrzymamy średnią wartość ciśnienia hydrostatycznego w postaci.

Przy nierównomiernym rozkładzie siły ΔP, na powierzchni ΔF ciśnieniem hydrostatycznym w punkcie p_M będziemy nazywali granicę do jakiej dąży stosunek ΔP/ΔF, gdy elementarna powierzchnia ΔF→0 dąży do zera.

Przy ciągłym rozkładzie sił na powierzchni można przejść od granicy do pochodnej.

Własności ciśnienia hydrostatycznego

Ciśnienie hydrostatyczne charakteryzuje się tym, że w danym punkcie nie zależy od kierunku (orientacji) powierzchni przez ten punkt przechodzących zachowując we wszystkich kierunkach tę samą wartość.

Siły powierzchniowe normalne można wyrazić następującymi zależnościami:

dP_x = p_xdS_x

dP_y = p_ydS_y

dP_z = p_zdS_z

Wymienione ciśnienia hydrostatyczne w danym punkcie M działają w różnych kierunkach, są sobie równe i nie zależą od orientacji elementu powierzchniowego przechodzącego przez ten punkt.

Ciśnienie hydrostatyczne jest wielkością bezkierunkową (skalarem) i zależy tylko od współrzędnych p = p(x,y,z). Traktując ciśnienie jako ciągłą i różniczkowalną funkcję współrzędnych punktu można wyrazić zmianę ciśnienia w postaci różniczki zupełnej.

PRAWO PASCALA

W przypadku pominięcia siły ciążenia dp = 0

Prawo Pascala (równomiernego rozchodzenia się ciśnienia): Przyrost ciśnienia w dowolnym pkt-ie jednorodnego płynu nieściśliwego znajdującego się w stanie równowagi w polu sił masowych wywołuje zmianę ciśnień o taką samą wielkość w każdym innym pkt. płynu.

Prawo Archimedesa

Rozpatrujemy ciało całkowicie zanurzone w cieczy. Działają tam parcia poziome i pionowe, ale parcia poziome się znoszą.

P = P_z1 - P_z2 = γ ^. V₁ - γ ^. V₂ = γ ^. (V₁ - V₂)

V₂ = V₁ + V V₁ - V₂ = -V

zatem: P = -γ ^. V = W W - wypór

Na każde ciało zanurzone w cieczy działa siła wyporu skierowana ku górze i równa ciężarowi cieczy wypartej przez to ciało.

RÓWNOWAGA CIAŁ ZANURZONYCH W CIECZY

Oprócz wyporu działa przeciwnie do niego skierowany ciężar G, zaczepiony w środku ciężkości S_c.

W zależności od wielkości siły ciążenia G w porównaniu z przeciwdziałającym wyporem W można rozważyć trzy przypadki:

1. G<W, wówczas siła wypadkowa W - G wypiera ciało w górę do osiągnięcia stanu równowagi , tj. Gdy wypór zanurzonej części ciała będzie równy jego ciężarowi.

2. G=W, ciało jest całkowicie zanurzone w cieczy i pozostaje w stanie równowagi przy dowolnym zagłębieniu.

3. G>W, ciało tonie.

W przypadku ciała zanurzonego w cieczy rozróżniamy trzy warunki równowagi: trwałej, chwiejnej i obojętnej.

Równowaga trwała ( stateczność) ciała zanurzonego w cieczy zachodzi wówczas, jeżeli jego środek ciężkości S_c leży poniżej środka wyporu S_w. W tym przypadku po wychyleniu ciała o niewielki kąt α powstaje moment sił G i W, który przywróci ciało do pierwotnego stanu równowagi, czyli do takiego położenia , kiedy środki ciężkości i wyporu S_c i S_w znajdują się na tej samej osi pionowej.

Jeżeli środek ciężkości leży powyżej środka wyporu, wówczas siła ciężkości i wypór dadzą moment, który zwiększy początkowe wychylenie α . Jest to warunek równowagi chwiejnej (niestateczności) ciała pływającego. Jeśli środek ciężkości pokrywa się ze środkiem wyporu, to siły G i W nie dadzą momentu, a ciało po wychyleniu nie zmieni swego położenia, czyli znajduje się w stanie równowagi obojętnej.

WARUNKI RÓWNOWAGI CIAŁ PŁYWAJĄCYCH.

Ogólne warunki równowagi ciał pływających można sformułować następująco: ciało pływające w cieczy pozostaje w stanie równowagi wówczas, gdy ciężar ciała równy jest wyporowi G - W, a środek ciężkości S_c i środek wyporu S_w leżą na wspólnej osi pionowej, zwanej osią pływania.

Wypór równy jest iloczynowi objętości V zanurzonej części ciała i ciężaru właściwego cieczy γ .Środek wyporu S_w znajduje się w środku geometrycznym objętości V.

Powierzchnie swobodną cieczy przecinającą ciało pływające nazywamy płaszczyzną pływania.

Kontur przekroju ciała płaszczyzną pływania nazywamy linią wodną.

Ruch płynu, w którym wektor prędkości
, ciśnienie p., gęstość ρ, są funkcjami położenia i czasu, nazywamy ruchem nieustalonym.

Jeżeli parametry przepływu
zależą tylko od położenia, to taki ruch nazywamy ruchem ustalonym.

Ruch jest jednowymiarowy nieustalony wtedy, gdy wektor prędkości
ciśnienie p. i gęstość są funkcjami tylko jednej współrzędnej położenia oraz czasu t.

Torem elementu płynu nazywamy linię, która zakreśla w przestrzeni poruszający się element płynu. Równanie toru elementu płynu otrzymujemy rozważając jego przesunięcie w przestrzeni w elementarnym czasie dt.

A więc: dx =v_xdt; dy = v_vdt; dz = v_zdt

Linią prądu (wektorowa linią pola) nazywamy linię przeprowadzoną w polu prędkości, charakteryzującą się tym, że w danej chwili wektory prędkości są do niej styczne we wszystkich punktach.

W ruchu ustalonym linie prądu pokrywają się z torami poszczególnych elementów. W tym przypadku linie prądu nie mogą się przecinać, gdyż przez dowolny punkt obszaru przepływu ustalonego przechodzi tylko jedna linia prądu. W ruchu nieustalonym linia prądu nie pokrywa się z torem, a element płynu przechodzi z jednej linii prądu na drugą.

Równanie różniczkowe linii prądu. Z warunku styczności w danym punkcie linii prądu i wektora prędkości wynika, że:

Otrzymane równanie można przedstawić w postaci:

Jest to tzw równanie różniczkowe linii prądu, które przedstawia układ dwu równań różniczkowych.

Rurką prądu - nazywamy powierzchnię S, utworzoną z linii prądu, przechodzących przez wszystkie punkty konturu zamkniętego C, leżącego w obszarze przepływu (rys. 3.4)

Masa płynu wypełniająca rurkę prądu nosi nazwę strumienia. Strumień, którego przekrój poprzeczny jest nieskończenie mały dF nazywamy strugą elementarną.

W ruchu ustalonym struga elementarna posiada następujące własności:

1. Kształt strugi stanowiącej wiązkę linii prądu nie ulega zmianie, ponieważ przebieg linii prądu jest niezależny od czasu.

2. Płyn nie może przepływać przez powierzchnię boczną strugi, gdyż jej kontur ograniczony jest liniami prądu, do których wektory prędkości przepływu są styczne.

3. Prędkość przepływu we wszystkich punktach przekroju poprzecznego strugi można traktować jako jednakowe z powodu nieznacznych wymiarów tego przekroju.

Przekrojem poprzecznym strumienia lub strugi nazywamy powierzchnię prostopadłą do wszystkich linii prądu. Jeśli strumień składa się z równoległych linii prądu, to jego przekroje poprzeczne są płaszczyznami. Ogólnie biorąc, przekroje strumienia mają kształt powierzchni krzywych. W przypadku strugi przyjmujemy przekroje poprzeczne płaskie, ze względu na ich bardzo małe wymiary.

Warunek ciągłości w ruchu ustalonym jest spełniony wówczas, gdy w rozważanym obszarze przepływu rurki prądu będą całkowicie wypełnione płynem. Zgodnie z zasadą zachowania masy przez każdy przekrój strugi przepływa w jednostce czasu jednakowa ilość płynu. Masa płynu, przepływająca w jednostce czasu przez dany przekrój strugi, nazywa się masowym natężeniem przepływu Q_m, równa jest iloczynowi prędkości przez pole przekroju i gęstość płynu w danym przekroju.

dF₁v₁ = dF₂v₂ = d Q, gdzie Q - oznacza objętościowe natężenie przepływu.

Twierdzenie Cauchy'ego - Helmholtza można sformułować w sposób następujący. Elementarny ruch dowolnego elementu płynu złożony jest z trzech składników:

1. przesunięcia postępowego

2. odkształcenia

3. chwilowego obrotu

Jeśli oznaczymy prędkość w punkcie A obranym jako biegun przez
to, wektor prędkości punktu M. Znajdującego się w nieskończenie małej odległości od bieguna A można przedstawić w postaci geometrycznej sumy trzech wektorów :
- prędkości postępowej bieguna A,
- prędkości odkształcenia,
- prędkości obrotu względem chwilowej osi przechodzącej przez biegun A.

A więc prędkość w punkcie M. będzie równa:

Równania Couchy ` ego - Helmholtza

v_xA , v_yA , v_zA - przesunięcie elementu

Wyrażają bardzo istotny mechanizm ruchu płynu: wektor prędkości przemieszczenia dowolnego punktu płynu składa się w ogólnym przypadku z trzech prędkości: postępowej (v_xA , v_yA , v_zA), odkształcenia (wyrazy w nawiasie kwadratowym), i obrotowej (wyrazy w nawiasie okrągłym).

Równanie ciągłości ruchu potencjalnego

W postaci równania Laplace ` a:

Równanie powyższe można zapisać w postaci:

∇^  operator Laplace ` a lub laplasjan określa się następująco

Funkcja ϕ (x, y, z) spełniająca równanie Laplace ` a nazywa się funkcją harmoniczną.

Powierzchnia jednakowego potencjału

Powierzchnia jednakowego potencjału jest to miejsce geometryczne punktów w przestrzeni, w których potencjał ϕ (x, y, z) posiada stałą wartość ϕ (x, y, z) = const

Równanie warunku ortogonalności prędkości V do powierzchni jednakowego potencjału w danym miejscu:

Źródłem nazywamy punkt osobliwy w przestrzeni o wydajności Q jednostek objętości w jednostce czasu. Linia prądu stanowi przestrzenny pęk promieni wychodzących ze źródła punktowego. Powierzchnie ekwipotencjalne prędkości są kulami współśrodkowymi o wspólnym środku O, zwanym źródłem punktowym. Prędkości wszystkich cząstek skierowane są od źródła na zewnątrz, gdy źródło jest dodatnie lub do środka, gdy źródło jest ujemne, czyli stanowi tzw. upust.

Ruch wirowy podobnie, jak i ruch potencjalny, jest szczególnym przypadkiem najogólniejszej formy ruchu określonego równaniami Couchy'ego-Hemholtza. Ruch wirowy charakteryzuje się tym, że składowe prędkości kątowej chwilowego obrotu elementu są różne od zera. Możemy więc napisać:

zaś

Ruch wirowy określany jest polem wektorowym prędkości kątowej chwilowego obrotuϖ, zwanym polem wirowym.

Linia wirowa charakteryzuje się tym, że w każdym swym punkcie jest ona styczna do prędkości kątowej chwilowego obrotu ϖ elementu płynu.

Rurka wirowa jest to powierzchnia składająca się z linii wirowych, przechodzących przez każdy punkt obrotu C, nie będącego linią wirową.

Elementarną strugę wirową tworzy objętość płynu zawarta zawarta w rurce wirowej o małym obwodzie C.

Równanie lili wirowej ma postać analogiczną do równania lini prądu, a mianowicie

Równanie ciągłości. Twierdzenie Helmholtza.

Natężenie strugi wirowej I wyraża się jako podwójny iloczyn prędkości kątowej ω pomnożonej przez przekrój strumienia:

Natężenie strugi wirowej w cieczy doskonałej według twierdzenia Helmholtza zachowuje niezmienną wartość wzdłuż całej strugi wirowej. Aby uzasadnić powyższe twierdzenie określamy diwergencję wektora prędkości kątowej ω:

dodając te wyrażenia stronami otrzymamy

Jest to równanie ciągłości ruchu wirowego. Analogicznie do prawa ciągłości w ruchu postępowym, w którym wydatek wzdłuż strugi elementarnej jest wielkością stałą i wyraża się zależnością:

vdF=v₁dF=v₂dF=const.

W ruchu wirowym istnieje warunek:

ωdF=ω₁dF₁=ω₂dF₂=const.

A zatem iloczyn prędkości kątowej przez przekrój strugi wirowej jest wielkością stałą. Z warunku tego wynika, że natężenie strugi wirowej wzdłuż całej jej długości jest stałe:

Reakcja hydrodynamiczna.

Reakcją hydrodynamiczną strumienia płynu nazywamy siłe jaką ten strumień wywiera na ściany naczynia lub przewodu. Określenie reakcji hydrodynamicznej służyć więc może do badania dynamiki strumienia ,jak również oddziaływania płynu na otaczające go ściany.

Płynem lepkim nazywamy płyn, w którym występują naprężenia styczne a naprężenia normalne dla różnie zorientowanych elementów powierzchni w danym miejscu nie są w ogólnym przypadku sobie równe.

Rónanie Naviera-Stockesa:

Równania te znane są pod nazwą równań różniczkowych Nawiera-Stokesa ruchu płynu lepkiego ściśliwego.

Powyższe równania można zapisać w formie wektorowej.

Dla płynu nieściśliwego div v = 0 i ostatni wyraz w równaniach znika

Równania ruchu płynu lepkigo i nieściściśliwego z rozwiniętym wyrazem przyśpieszenia dadzą się przedstawić w postaci:

Do równań różniczkowych Newiera - Stokesa ruchu płynu nieściśliwego i lepkiego należy dołączyć jeszcze czwarte równanie ciągłości.

Łatwo można zauważyć , że z powyższych równań otrzymuje się dla płynu nielepkiego przy v=0 znaną postać równania Eulera.

Równanie Bernoulliego dla cieczy lepkiej.

Rozważając strumień cieczy lepkiej należy wziąć pod uwagę , że prędkość poszczególnych strug składających się na całkowity strumień są różne , a zatem do równania Bernoulliego należy wprowadzić prędkość średnią określoną z równania ciągłości Vśr.=(Q/F)

Energia kinetyczna Eśr. Obliczona według prędkości średniej jest na ogół różna od rzeczywistej energii Erz strumienia cieczy w rozpatrywanym przekroju stanowiącej sumę energii kinewtycznych poszczególnych strug.

Z prawa ciągłości dla strugi mamy

dQ=v*dF

Energia kinetyczna strugi wyraża się w postaci

Energia rzeczywista kinetyczna strumienia

Energia kinetyczna obliczona według prędkości średniej

Wprowadzamy tzw. Współczynnkik Coriolisa

Będący stosunkiem rzeczywistej energii kinetycznej strumienia w pewnym przekroju poprzecznym do energii kinetycznej obliczonej wg. Prędkości średniej w tym przekroju. W przewodach pod ciśnieniem przy ruchu laminarnym α=2, przy turbulentnym 1,026<α<1,08

Po uwzględnieniu w równaniu współczynnika Coriolisa otrzymamy:

Jest to równanie Bernoullliego dla strumienia cieczy lepkiej wyrażające bilans energii mechanicznej. Należy zwrócić uwagę , że strata energii mechanicznej spowodowana dyssypacją energii podczas ruchu cieczy lepkiej może wyrazić się tylko spadkiem ciśnienia w przekroju2-2 w porównaniu z ciśnieniem , jakie wystąpiło by w tym przekroju w przypadku cieczy doskonałej , przy założeniu , że wydatek Q oraz ciśnienie p1 są jednakowe zarówno w przypadku cieczy rzeczywistej jak i doskonałej.

Liczba Reynoldsa

Reynolds ustalił, że przejście od przepływu laminarnego do turbulentnego zachodzi przy tej samej wartości liczby
, którą nazwano liczbą Reynoldsa. Wartość liczby Reynoldsa odpowiadająca przejściu przepływu laminarnego w turbulentny nazywamy krytyczną liczbą Reynoldsa wahającą się w granicach
.

Całkowita wysokość pompowania.

gdzie: p_M i p_W - bezwzględne ciśnienia, mierzone manometrem i wakuometrem,

v₂ i v₁ - prędkości wody za i przed pompą,

h_o - różnica wysokości wlotów manometrycznych

Można więc zinterpretować całkowitą wysokość pompowania jako sumę wskazań manometru, wakumetru, pionowej odległości miejsc, w których mierzone są ciśnienia oraz różnicy wysokości i prędkości w przewodzie tłocznym i ssawnym. Jeżeli średnice przewodów są jednakowe, to prędkości te są równe v₂=v₁ i możemy zapisać:

H_o=h_M+h_W+h_o

Wysokość ssania pompy

Wysokością ssania nazywamy wysokość, na którą zostaje podniesiona ciecz ze zbiornika na skutek wytworzonego przez pompę podciśnienia w przewodzie ssącym.

Wysokość ssania H_s równa jest odległości osi pompy od zwierciadła cieczy w zbiorniku dolnym. Do obliczenia wysokości ssania H_s stosujemy równanie Bernouliego.

gdzie: p_w - ciśnienie panujące w przekroju 1-1

- suma strat hydraulicznych w przewodzie ssawnym

Moc pompy i silnika

Mocą pompy nazywamy pracę użyteczną, wykonaną przez pompę w jednostce czasu dla podniesienia określonego ciężaru cieczy na wysokość H, pokonanie oporów hydraulicznych i różnicy ciśnień oraz dla powiększenia energii kinetycznej. Moc pompy oblicza się jako iloczyn ciężaru przetłaczanej cieczy w jednostce czasu oraz wysokości pompowania H_o.

Moc silnika napędzającego pompę obliczamy ze wzoru:

gdzie: N_w - moc na wale pompy

η_p - współczynnik sprawności pompy

η_s - współczynnik sprawności silnika

Straty hydrauliczne, mechaniczne i objętościowe powstałe w pompie wyraża się współczynnikiem sprawności η_p, analogicznie dla silnika przyjmuje się współczynnik sprawności η_s.

Uderzeniem hydraulicznym nazywamy nagłą zmianę ciśnienia spowodowaną zmianą prędkości w czasie przepływu cieczy w przewodzie pod ciśnieniem.Z zagadnieniem uderzenia hydraulicznego związany jest ruch nieustalony, w którym uwzgledniamy ściśliwośćsprężystośc przewodu, ponieważ mamy do czynienia z dość dużymi przyrostamiciśnienia.

W przypadku gdy zmniejszenie prędkości wskutek zamknięcia zaworu powoduje przyrost ciśnienia, uderzenie nazywamy dodatnim. Jeżeli przy otwarciu zaworu nastąpi spadek ciśnienia, to uderzenie nazywamy ujemnym. Zmianyc wielkości ciśnienia przy uderzeniu hydraulicznym wywołane są bezwładnością masy cieczy płynącej przewodem i są tak duże że w obliczeniach będzie można pominąć opory hydrauliczne w przewodzie jako wielkości porównywalnie bardzo małe.