REDUKCJA UKŁADU SIŁ, inż. BHP, I Semestr, Fizyka


1. REDUKCJA DOWOLNYCH UKŁADÓW SIŁ

Redukcja płaskiego układu sił

Zadanie 1.1

Znaleźć wartość liczbową i równanie linii działania wypadkowej czterech sił przedstawionych na rysunku. Wartości liczbowe sił są następujące: F1=300 N, F2=500 N, F3=300 N, F4=200 N, a ich punkty przyłożenia widać na rysunku 1.1.1.

0x01 graphic

Rys.1.1.1

Pierwszym etapem redukcji dowolnego płaskiego układu sił będzie redukcja do punktu O, który jest początkiem naszego układu współrzędnych.

Metoda analityczna

Przygotowujemy współrzędne danych sił względem osie x i y :

F1x = 0 N F1y = 300N

F2x = 500N F2y = 0 N

F3x = -300N F3y = 0 N

F4x = 200N F4y = 0 N

Wyznaczamy współrzędne Sx i Sy wektora głównego jako sumy algebraiczne współrzędnych Fix i Fiy :

0x01 graphic

0x01 graphic

Moduł wektora głównego jest równy sumie geometrycznej Sx i Sy :

0x01 graphic

Jego kierunek i zwrot określamy wyznaczając kąt jaki tworzy on z osią 0x :

0x01 graphic

a więc α = 36,9o

Wektor momentu ogólnego naszego układu (płaskiego) jest prostopadły do płaszczyzny działania sił. Wystarczy wyznaczyć jego moduł i zwrot.

0x01 graphic
0x01 graphic

Otrzymany wynik dodatni mówi nam, że zwrot MO jest zgodny z kierunkiem osi „z” prawego układu współrzędnych.

W punkcie O otrzymaliśmy więc dwa prostopadłe wektory S i MO (wektor główny i moment ogólny).

Musimy zredukować je do jednego wektora równoległego i równego co do modułu wektorowi S zwanego wypadkową W układu sił. Poszukujemy równania prostej zwanej osią centralną układu wzdłuż której działa wektor wypadkowy. Równanie to dla płaskiego układu sił ma postać:

0x01 graphic

wstawiając wartości:

0x01 graphic

Metoda wykreślna

Mając wyznaczone wektory S i MO rysujemy z początku układu O pod kątem α wektor S rys.1.1.2. Następnie z punktu O zataczamy okrąg o promieniu h równym:

0x01 graphic

Przesuwamy równolegle wektor S stycznie do otrzymanego kręgu, tak by powodował obrót względem punktu O przeciwnie do ruch wskazówek zegara (bo otrzymany MO>0).

Otrzymany wektor to wypadkowa naszego układu sił, a linia wzdłuż której działa to oś centralna układu.

0x01 graphic

Rys.1.1.2

Zadanie 1.2

Dany jest układ 4-ech sił działających w płaszczyźnie 0xy układu współrzędnych. F1=100 N, F2=200 N, F3=150 N, F4=300 N, przyłożonych w punktach : A(5, 5), B(-2, 8), C(-10, -5), D(10, -4). Współrzędne punktów wyrażono w metrach. Siły tworzą z dodatnim kierunkiem osi Ox kąty: α1= 45o, α2= 150o, α3= 60o, α4=330o. Rys.1.2.1 Zredukować dany układ do punktu 0 oraz określić położenie wypadkowej.

0x01 graphic

Rys.1.2.1

Pierwszym etapem będzie redukcja do punktu O.

Wypisujemy współrzędne danych sił względem osi x i y:

F1x = F1 cosα1 =0x01 graphic
F1y = F1 sinα1 =0x01 graphic

F2x = F2 cosα2 = 0x01 graphic
F2y = F2 sinα2 =0x01 graphic

F3x = F3 cosα3 =0x01 graphic
F3y = F3 sinα3 =0x01 graphic

F4x = F4 cosα4 =0x01 graphic
F4y = F4 sinα4 =0x01 graphic

Wyznaczamy współrzędne Sx I Sy wektora głównego:

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
+ 75 +0x01 graphic
= 232,3 N

Sy = 0x01 graphic
0x01 graphic
+ 100 + 0x01 graphic
- 150 = 150,6 N

jego wartość liczbową:

0x01 graphic

oraz kierunek i zwrot (kąt α jaki tworzą z osią 0x):

0x01 graphic

0x01 graphic

Długość wektora momentu ogólnego względem punktu O

0x01 graphic

Wynik ujemny mówi o tym, że wektor MO ma zwrot przeciwny do zwrotu osi „z”

W punkcie O otrzymaliśmy dwa prostopadłe wektory S i MO (wektor główny i moment ogólny).

Drugim etapem jest redukcja do wypadkowej W

Redukujemy wektory S i MO do jednego wektora równoległego i równego co do modułu wektorowi S zwanego wypadkową W układu sił. Równanie wypadkowej ma postać:

0x01 graphic

wstawiając wartości:

0x01 graphic

Można to przedstawić graficznie. Wektor główny należy przesunąć równolegle stycznie do okręgu o promieniu h tak aby względem punktu O kręcił on zgodnie z ruchem wskazówek zegara (MO<0).

0x01 graphic

0x01 graphic

Rys.1.2.2

Redukcja przestrzennego układu sił

Zadanie 1.3

Wzdłuż boków sześcianu o boku równym 1 m działają cztery siły F1 = 3N, F2 = 4N, F3 = 12N, F4 = 1N, jak pokazano na rysunku 1.3.1. Zredukować podany układ sił do punktu O przyjętego za początek układu współrzędnych. Następnie zredukować układ do skrętnika i napisać równanie osi centralnej.

0x01 graphic

Rys.1.3.1

Rozwiązanie

Wszystkie wartości sił w obliczeniach podane są w niutonach.

Wyznaczamy współrzędne sił działających na ciało.

F1x = 3 F1y = 0 F1z = 0

F2x = 0 F2y = -4 F2z = 0

F3x = 0 F3y = 0 F3z = 12

F4x = -1 F4y = 0 F4z = 0

Współrzędne wektora głównego (ogólnej sumy) układu wynoszą:

Sx = 3 - 1 = 2

Sy = -4

Sz = 12

Równanie wektora głównego w postaci wektorowej:

0x01 graphic

zaś długość wektor głównego wyliczmy ze wzoru:

0x01 graphic

Współrzędne momentu ogólnego MO wyznaczamy jako momenty sił względem poszczególnych osi układu (ramiona wszystkich sił są równe 1m). Obrót w prawo patrząc wzdłuż danej osi jest dodatni.

Wszystkie wartości momentów będą wyrażone w Nm.

Mx = F2 1+F3 1 = 4 + 12 = 16

My = -F3 1 -F4 1 = -12 -1 = -13

Mz = -F1 1 -F2 1 = -3 -4 = -7

Równanie wektorowe momentu głównego:

0x01 graphic
,

a jego długość:

0x01 graphic

Możemy teraz wyznaczyć parametr układu ze wzoru:

p = Sx Mx + Sy My + Sz Mz = 0x01 graphic

Ponieważ parametr układu jest równy zeru a S ≠ 0 i MO ≠ 0 w punkcie O otrzymaliśmy dwa wektory wzajemnie prostopadłe. Układ taki można zredukować do siły wypadkowej równoległej do wektora sumy S i przesuniętej o wielkość h w płaszczyźnie prostopadłe do wektora momentu MO .

0x01 graphic

Moduł wektora wypadkowej jest równy modułowi wektora głównego 0x01 graphic
, zaś równanie osi centralnej na której leży wypadkowa można przedstawić jak równanie prostej przechodzącej przez punkt C i równoległej do wektora 0x01 graphic

0x01 graphic

Punkt C jest końcem ramienia h i leży na wypadkowej najbliżej początku układu współrzędnych. Współrzędne punktu C wyznaczamy jako współrzędne końca wektora 0x01 graphic
. Wektor h jest prostopadły do wektorów S i M0.

W przypadku ogólnym, gdy kąt pomiędzy 0x01 graphic
(nazwijmy go α) jest różny od 900 składową momentu M0 prostopadłą do S (nazwijmy ją M') można wyrazić wzorem:

M' = M0 sinα = h⋅S

więc:

0x01 graphic

mnożąc licznik i mianownik prawej strony ostatniego równania przez S otrzymamy

0x01 graphic

0x01 graphic
jest to długość wektora 0x01 graphic

więc h jako wektor opiszemy wzorem

0x01 graphic

wyliczamy współrzędne hx, hy, hz oznaczone w równaniu osi centralnej jako xc, yc, zc, które są równe wartością podwyznaczników powyższego wyznacznika

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

więc wektor h możemy zapisać wzorem

0x01 graphic

wstawiając do równania osi centralnej otrzymamy

0x01 graphic

Wyznaczenie punktów przebicia osi centralnej z płaszczyznami układu.

Podstawiając z = 0 znajdujemy współrzędne punktu przebicia z płaszczyzną 0xy:

0x01 graphic

y = 0; przebicie płaszczyzny 0xz:

x - 1,122 = 0,628 x = 1,75

z - 0,232 = 3,768 z = 4,00

Patrz rysunek 1.3.2

Równanie osi centralnej można także przedstawić w postaci krawędziowej:

0x01 graphic

0x01 graphic

Oczywiście jest to równanie tej samej prostej.

0x01 graphic

Rys.1.3.2

Zadanie 1.4

Do ciała sztywnego w punktach o współrzędnych M1(2,0,1), M2(1,-1,2), i M3(3,0,0), wyrażonych w metrach, przyłożono sił o wartościach F1 = 4N, F2 = 3N, F3 = 2N. Kąty kierunkowe tych sił wynoszą:

z osią x z osią y z osią z

siła F1 α1 = 600, β1 =600, γ1 = 450,

siła F2 α2 = 1350, β2 = 600, γ2 = 600,

siła F3 α3 = 900, β3 = 450, γ3 = 450.

Zredukować podany układ:

  1. do początku układu 0,

  2. do skrętnika i napisać równanie osi centralnej (sporządzić perspektywiczny szkic osi centralnej).

Rozwiązanie

Wypiszmy wszystkie dane potrzebne przy dalszych obliczeniach

Współrzędne punktów przyłożenia sił w prostokątnym układzie odniesienia

x1 = 2, y1 = 0, z1 = 1,

x2 = 1, y2 = -1, z2 = 2,

x3 = 3, y3 = 0, z3 = 0.

Współrzędne sił działających na ciało (wartość siły mnożona przez cosinus kąta kierunkowego danej osi)

F1x = 4 cos600 = 2, F1y = 4 cos600 = 2, F1z = 0x01 graphic

F2x = 3 cos1350 =0x01 graphic
F2y = 3 cos600 = 1,5, F2z = 3 cos600 = 1,5,

F3x = 2 cos900 = 0, 0x01 graphic
0x01 graphic

Współrzędne wektora głównego (sumy ogólnej) wynoszą

0x01 graphic

a jego długość

0x01 graphic

Możemy też przedstawić sumę ogólną jako wektor

0x01 graphic

Przechodzimy teraz do wyznaczania momentu ogólnego M0 względem początku układu 0.

Współrzędne momentu ogólnego :

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Jego długość :

0x01 graphic

Zapis wektorowy :

0x01 graphic

Wyznaczamy teraz parametr układu :

0x01 graphic

Otrzymaliśmy w punkcie 0 dwa wektory skośne: wektor główny 0x01 graphic
i wektor ogólnego mmetu 0x01 graphic
. Ponieważ S, M0 i p są różne od zera układ można zredukować do skrętnika.

Redukcja do skrętnika

Ponieważ wiemy, że moment ogólny układu sił zależy od położenia bieguna redukcji i zminia się wraz ze zmianą położenia bieguna, szukamy takiego zbioru punktów względem których moment ogólny jest równoległy do wektora głównego. Miejscem geometrycznym takich punktów jest prosta zwana osią centralną. Szukamy więc takiego punktu względem którego moment ogólny M jest równoległy do wektora głównego S. Niech ten punkt nazywa się C. Moment względem nowego bieguna C wyznaczamy ze znanego wzoru

0x01 graphic

więc współrzędne momentu MC :

0x01 graphic

Skoro MC i S są mają być do siebie równoległe to odpowiednie współrzędne tych wektorów muszą być do siebie proporcjonalne:

0x01 graphic
0x01 graphic

lub po podstawieniu:

0x01 graphic

Jest to równanie osi centralnej w postaci krawędziowej.

Po wstawieniu naszych danych

0x01 graphic

Chcąc wyznaczyć punkty przebicia osi centralnej z płaszczyznami układu współrzędnych należy w równaniu osi centralnej podstawić kolejno z = 0 (punkt przebicia płaszczyzny 0,x,y) itd. rys.1.4.1.

0x01 graphic

z równań tych :

x = 2,04m, y = -1,14m

0x01 graphic

Rys.1.4.1

Moment skętnika jest równoległy do wektora głównego a jego długość Ms wyliczamy jako rzut wektora M0 na kierunek wektora głównego S

0x01 graphic
0x01 graphic

ponieważ 0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

Wektor momentu skrętnika możemy przedstawić jako iloczyn jego długości i wersora kierunku wektora głównego 0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

Zadanie 1.5

Dane są dwie sił działające jak pokazano na rysunku 1.5.1. Zredukować układ do punktu O, a następnie do skrętnika i napisać równanie osi centralnej. Dane F1 = 3N, F2 = 4N, a = 2m.

0x01 graphic

Rys.1.5.1

Rozwiązanie

Rozpisujemy dane potrzebne w trakcie obliczeń

Współrzędne sił :

F1x = 0, F1y = F1 = 3, F1z = 0,

F2x = 0, F2y = 0, F2z = F2 = 4,

x1 = 2, y1 = 0, z1 = 0,

x2 = 0, y2 = 0, z2 = 0.

Współrzędne wektora głównego :

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Forma wektorowa :

0x01 graphic

jego długość :

0x01 graphic
N

cosinusy kierunkowe :

0x01 graphic

Moment ogólny układu względem punktu O.

W zadaniu tym możemy ale nie musimy posługiwać się wzorami na współrzędne momentu M0, bo widać wyraźnie, że tylko siła F1 na ramieniu a daje moment względem osi z.

Mx = 0,

My = 0,

Mz = F1 a = 3 ⋅ 2 = 6

0x01 graphic

Forma wektorowa momentu ogólnego :

0x01 graphic

Jest to wektor leżący na osi z

Wyznaczamy parametr układu :

0x01 graphic

Otrzymaliśmy w punkcie O dwa wektor skośne S i M0.

Układ ten można również zredukować do skrętnika

Współrzędne punktu C leżącego na osi centralnej najbliżej początku układu wyznaczamy z zależności:

0x01 graphic

xC = 0,72m

yC = 0m

zC = 0m

wstawiamy do równania osi centralnej :

0x01 graphic

Moment skrętnika

0x01 graphic

Wektor momentu skrętnika

0x01 graphic

Zakładając w równaniu osi centralnej np. z = 0

4x -2,88 = 0

x = 0,72; y = 0,75z

Oś centralna leży więc w płaszczyźnie równoległej do płaszczyzny 0yz o równaniu y= 0,75z i przecina oś x przy x = 0,72m.

Dla sprawdzenia równanie osi centralnej w postaci krawędziowej powinno mieć postać

0x01 graphic

0x01 graphic

Rys.1.5.2



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Jednostki SI, inż. BHP, I Semestr, Fizyka
w4-oscylacje, inż. BHP, I Semestr, Fizyka
zalaczniki1, inż. BHP, V semestr
Mikroklimat TEST nr 2, inż. BHP, V semestr
KODY I SYSTEMY ZNAKOWE, inż. BHP, I Semestr, Komunikacja społeczna
Komunikacja i promocja, inż. BHP, I Semestr, Komunikacja społeczna
Ekonomia i gospodarka, inż. BHP, I Semestr, Mikroekonomia
Członkowie UE, inż. BHP, I Semestr, Mikroekonomia
Toksykologia - wykladymar, WSZOP INŻ BHP, V Semestr, TOKSYKOLOGIA
Pytania 2 wiora z odpowiedziami[1] do poprawy[1][1], inż. BHP, V semestr
od stasi 2, WSZOP INŻ BHP, V Semestr, BUDOWA I EKSPLOATACJA MASZYN I URZADZEN
CELE I ZNACZENIE ZROWNOWAZONEGO ROZWOJU TECHNOLOGICZNEG1, inż. BHP, V semestr
marketing od ZB9A, inż. BHP, I Semestr, Marketing
KOMUNIKACJA I, inż. BHP, I Semestr, Komunikacja społeczna
Choroby zawodowe - test, inż. BHP, V semestr
zalaczniki1, inż. BHP, V semestr
Stacjonarne, inż. BHP, V semestr

więcej podobnych podstron