Tablicowy algorytm zapisu macierzy admitancji (Y) obwodu,

zawierającego WO (wzmacniacze operacyjne).

Znany jest algorytm zapisu macierzy admitancji obwodu pasywnego w ramach metody węzłowej: pewna admitancja, podłączona pomiędzy węzłami a i b (a ≠ 0, b ≠ 0) w macierzy wpisywana jest 4 razy: z plusem na przekątnej w kratkach (a,a) i (b,b) oraz z minusem w kratkach (a,b) i (b,a). Gdy a lub b = 0, wtedy admitancja wpisuje się do macierzy tylko jeden raz: z plusem na przekątnej w kratce (b ,b) lub (a,a).

Niżej podamy algorytm wypełnienia Y dla obwodów, zawierających WO.

Niech idealny WO będzie podłączony do węzłów p(+), m(-) oraz w (wyjście).

Wtedy:

1. Numerujemy węzły obwodu od zera, tzn 0, 1, 2,…,n. Zero jest numerem węzła - masy.

2. Rysujemy tabele (macierz) Y, zawierającą n wierszy i n kolumn.

3. Wpisujemy do Y pasywne elementy, omijając wiersz w.

4. W wierszu w wpisujemy:

- w kolumnie p = -1,

- w kolumnie m = +1.

Dla nie idealnego WO o wzmocnieniu K w punkcie 4 wpisujemy:

- w kolumnie p = -K

- w kolumnie m = +K

- w kolumnie w = 1.

Oczywiste jest, że liczba WO oraz ich idealność nie jest ważna.

Macierz Y otrzymana na podstawie unistorowego grafu obwodu jest taka sama.

Przykład 1a: Utworzyć macierz Y dla obwodu (Rys.1a).

Pokażemy rozwiązanie krok po kroku.

1. Numerujemy węzły (pamiętamy, że 0 - masa). Rys.1a będzie wyglądać, jak Rys. 1b.

(Uwaga: Rys 1b i Rys 1c pokazano z punktu widzenia dydaktyki, dla tego nie koniecznie ich rysować. Wystarczy pokazać numery węzłów na rys. 1a.)

2. Rysujemy pustą tabelę 5x5. Utworzymy z niej macierz Y.

3. Wpisujemy do Y pasywne elementy (rys.1c), omijając wiersz 5. Wynik pokazano w Yo.

4. W wierszu 5 wpisujemy parametry idealnego WO. Wynik pokazano w tabeli Y.

Koniec formowania macierzy Y.

Wykorzystanie macierzy Y dla wyprowadzenia wzoru transmitancji.

Należy pamiętać, że wg reguły Cramera dla systemu węzłowych równań Y*V = J
, gdzie Δ oznacza wyznacznik macierzy Y, Δk oznacza wyznacznik macierzy Y, w której zamiast kolumny k zanotowano kolumnę zewnętrznych prądów J. Dla sygnału w postaci tylko jednego prądu J_i = 1A _, płynącego od masy do węzła i, ten wzór można zanotować jako
, gdzie Δ_ik oznacza wyznacznik macierzy Y, w której dokonano wykreślenia wiersza i oraz kolumny k.

Przykład 1b. Wyprowadzić wzór do operatorowej transmitancji napięciowej T(s) = U5(s) / U1(s).

Rozwiązanie:

1. Zanotujemy T(s) w postaci stosunku wyznaczników:

T(s) = Δ₁₅ / Δ₁₁ .

2. Rozwijanie wyznacznika Δ₁₅ =

= - s⋅C2*G1(G3+G4). (licznik wzoru transmitancji)

3. Rozwijanie Δ₁₁ =

= s²⋅C1⋅C2⋅G4 + s⋅(G2⋅G4(C1+C2) - C2⋅G1⋅G3) + G1⋅G2⋅G4. (mianownik wzoru)

Wynik: T(s) =

Uwaga:

jak widać, gdy chodzi o wzór transmitancji napięciowej, to można nie wypełniać w macierzy Y wiersz o numerze wejściowego węzła, ponieważ ten wiersz zawsze będzie skreślony. Jednak dla impedancji ten wiersz jest niezbędny.
Nie koniecznie wykreślać wiersz a i kolumnę b. Wystarczy w kratce (a, b) wpisać jedynkę. Reszta elementów wiersza a lub kolumny b ma być zerowe. Na przykład:

(macierz 4x4) Δ₁₅ = (-1)¹⁺⁵∗M₁₅ (macierz 5x5) Δ₁₅ = M

Wykorzystanie macierzy Y dla wyprowadzenia wzoru impedancji wejściowej.

Podobnie do poprzedniego przykładu, tylko zamiast wzoru T(s) = Δ₁₅ / Δ₁₁

notujemy Z₁(s) = Δ₁₁ / Δ.

Przykład 2: Utworzyć macierz Y dla obwodu, zawierającym dwa WO: idealny i nie
idealny (Rys.2a). Zapiszemy macierz Y bez komentarzy

Uwaga: istnieją wzory dla innych transmitancji obwodu w postaci ilorazu
zewnętrznych prądów i/ lub napięć . Na przykład (W. P. Sigorski):

gdzie zamiast G może być zwarcie, tzn. G = ∞.

Δ_aa,bb oznacza wyznacznik macierzy Y, w której wykreślone wiersze i kolumny o numerach a i b.

Δ_(a+c)b oznacza wyznacznik macierzy Y, w której:

- dodano wiersz a do wiersza c,

- skreślono wiersz a i kolumnę b.

Otrzymany wzór wyznacznika mnożymy na (-1)^a+b. Δ_(a+c)b= Δ_ab −Δ_cb.

Δ_(a+c)(b+d) oznacza wyznacznik macierzy Y, w której:

- dodano wiersz a do wiersza c oraz kolumnę b do kolumny d,

- skreślono wiersz a oraz kolumnę b.

Otrzymany wzór wyznacznika mnożymy na (-1)^a+b. Zauważmy, że Δ_(a+c)(b+d) = Δ_(a+c)b−Δ_(a+c)d.

Jak pokazano wyżej, zamiast skreślenia wiersza a i kolumny b można wpisać do kratki (a, b) jedynkę, a na miejsce reszty elementów wiersza a lub kolumny b wpisać zera. Wtedy nie ma problemu znaku.

1

R2

R4

R3

C1

C2

R1

Rys1b

Rys1a

R1

C2

C1

R3

R4

R2

2

3

4

5

0

0

5

4

3

2

R1

C2

C1

R3

R4

R2

1

Rys1c

	1	2	3	4	5
1	G1	-G1
2	-G1	G1+s⋅C1+s⋅C2	-s⋅C2		-s⋅C1
3		-s⋅C2	G2+s⋅C2		-G2
4				G4+G3	-G3
5

	1	2	3	4	5
1	G1	-G1
2	-G1	G1+s⋅C1+s⋅C2	-s⋅C2		-s⋅C1
3		-s⋅C2	G2+s⋅C2		-G2
4				G4+G3	-G3
5			+1	-1

Macierz Yo

Macierz Y

	1	2	3	4	5
1	0	0	0	0	1
2	-G1	G1+s⋅C1+s⋅C2	-s⋅C2		-s⋅C1
3		-s⋅C2	G2+s⋅C2		-G2
4				G4+G3	-G3
5			+1	-1

	1	2	3	4	5
1	1	0	0	0	0
2	-G1	G1+s⋅C1+s⋅C2	-s⋅C2		-s⋅C1
3		-s⋅C2	G2+s⋅C2		-G2
4				G4+G3	-G3
5			+1	-1

- s⋅C2*G1(G3+G4).

s²⋅C1⋅C2⋅G4 + s⋅(G2⋅G4(C1+C2) - C2⋅G1⋅G3) + G1⋅G2⋅G4

Rys. 2a

5

3

4

2

(0)

1

C5

C1

R1

R2

		1	2	3	4	5
	1	1/R5+s∙C5				-1/R5 - s∙C5
Y =	2		1/R1+1/R2+ s∙C1	-1/R2
		3	-K	+K	1
	4			-1/R3	1/R3+1/R4	-1/R4
	5	-1			+1

∞

R5

R4

R3

K

G

Ib

Ia

b

Vb

a

Va

Obwód, dla którego istnieje macierz Y

	1	2	3	4	5
1	G1	-G1
2	-G1	G1+s⋅C1+s⋅C2	-s⋅C2		-s⋅C1
3		-s⋅C2	G2+s⋅C2		-G2
4				G4+G3	-G3
5			+1	-1

	1	2	3	4	5
1	0	0	0	0	1
2	-G1	G1+s⋅C1+s⋅C2	-s⋅C2		-s⋅C1
3		-s⋅C2	G2+s⋅C2		-G2
4				G4+G3	-G3
5			+1	-1

T=Ib/Ia =G⋅Δ_ab / (Δ+G⋅Δ_bb)

T=Ib/Va =G⋅Δ_ab / (Δ_aa+G⋅Δ_aa,bb)

d

c

T=U2 / U1 =(V_b-V_d)/(V_a-V_c)=
Δ(a+c)(b+d)

Δ(a+c)(a+c)

b

U2

a

U1

Obwód, opisany macierzą Y

T= U2 / U1 =V_b / (V_a-V_c)=
Δ(a+c)b

Δ(a+c)(a+c)

0

c

b

U2

a

U1

Obwód, opisany macierzą Y

---