MODEL EKONOMETRYCZNY

SPIS TREŚCI

WSTĘP

WSTĘP

Ekonometria jest nauką, która zajmuje się badaniem, prezentacją i modelowaniem zależności głównie makroekonomicznych. Mój model przedstawia zależności właśnie tego rodzaju. Ukazuje on w jaki sposób wydatki państwa są uzależnione od liczby ludności i liczby pracujących, a także pokazuje istotny wpływ zjawisk sezonowych na poziom tych wydatków. Wybierając jako temat dla modelu tego typu kategorie ekonomiczne, wziąłem pod uwagę ich wzajemny logiczny związek. Korelacja pomiędzy zmienną objaśniana, a zmiennymi objaśniającymi umożliwia ich wspólne połączenie w modelu. Liczba ludności w istotny sposób wpływa na wydatki rządowe, gdyż im więcej ludzi tworzy dane państwo, tym większe są wydatki rządowe, które będą stanowić sumę wydatków przypadających na każdego mieszkańca kraju. Liczba bezrobotnych ma również istotny wpływ na wydatki rządowe, gdyż zwiększenie ich liczby powoduje spadek dochodów do budżetu państwa, co przyczynia się w sposób pośredni do ograniczenia jego wydatków. Wpływ ten jest w pewnym stopniu osłabiany poprzez wypłacane płatności transferowe i zasiłki subsydiujące grupę bezrobotnych. W swoim modelu rozważyłem także wpływ liczby pracujących na poziom wydatków rządowych. Jednak po przeanalizowaniu otrzymanego metodą najmniejszych kwadratów modelu, okazały się one nie mieć statystycznie istotnego wpływu na zmienną objaśnianą. Jest to zapewne spowodowane wzajemną korelacją liczby ludności i liczby pracujących. Ponieważ liczba osób pracujących jest zawarta w liczbie ludności, można było ją wyeliminować jako nie mającą statystycznie istotnego wpływu na zmienną objaśnianą.

Dane do swojego modelu zaczerpnąłem z roczników Głównego Urzędu Statystycznego. Składają się na nie 24 obserwacje, które mają strukturę danych kwartalnych z lat 1992-1997. Analiza danych z wcześniejszych lat wydaje się być pozbawiona celu, ze względu na gwałtowne zmiany gospodarcze jaki zachodziły po roku 90. Użyte przeze mnie dane przedstawiłem na końcu mojej pracy.

MODEL

Model wyjaśnia poziom wydatków rządowych w zależności od liczby ludności, osób pracujących i bezrobotnych. Uwzględniając powyższe zmienne, zależności pomiędzy nimi można zapisać w modelu teoretycznym o następującej postaci:

MODEL TEORETYCZNY (1)

WP_t = β₀ + β₁LU_t + β₂BE_t + β₃PR_t + ξ_t

Gdzie:

WP_t - wydatki rządowe, zmienna objaśniana,

LU_t - ludność ogółem, zmienna objaśniająca,

PR_t - liczba osób pracujących, zmienna objaśniająca,

BE_t - liczba osób bezrobotnych. zmienna objaśniająca,

Po oszacowaniu metodą najmniejszych kwadratów otrzymujemy następujący model empiryczny:

MODEL EMPIRYCZNY (1)

_{±98084,3 ±2,1617 ±0,55321 ±1,6761 ^}

WP_t = - 889710,7 + 235587LU_t - 2,8085BE_t - 0,4979PR_t + ξ_t

Dane użyte do oszacowania modelu to dane kwartalne. Struktura tych danych wymaga sprawdzenia, czy nie zawierają one statystycznie istotnych efektów sezonowych, które mogły by mieć wpływ na jego postać. Wstępna analiza otrzymanego modelu ujawnia także sprzeczność w oszacowaniu parametru strukturalnego β_3. Nie wydaje się bowiem możliwe znalezienie logicznego wyjaśnienia spadku wydatków rządowych przy wzroście liczby pracujących, jeżeli inne parametry pozostaną ustalone (jak okaże się w dalszej części analizy modelu parametr β₃ nie będzie różnił się statystycznie istotnie od zera, a więc wpływ liczby pracujących na wydatki rządowe nie będzie statystycznie istotny). W związku z powyższym, aby uzyskać prawidłową postać modelu należy wydzielić trendy sezonowe i sprawdzić czy ich wpływ na postać modelu jest statystycznie istotny.

1. Poszukiwanie istotnych przyczyn sezonowych:

a) postać modelu teoretycznego z uwzględnieniem zmiennych efektów sezonowych:

MODEL TEORETYCZNY (2)

WP_t = β₀ + β₁LU_t + β₂BE_t + β₃PR_t + δ₁Q_1t + δ₂Q_2t + δ₃Q_3t + δ₄Q_4t + ξ_t

Gdzie:

WP_t - wydatki rządowe, zmienna objaśniana,

LU_t - ludność ogółem, zmienna objaśniająca,

PR_t - liczba osób pracujących, zmienna objaśniająca,

BE_t - liczba osób bezrobotnych. zmienna objaśniająca,

oraz

Q_1t - zmienna efektów sezonowych I kwartrału,

Q_2t - zmienna efektów sezonowych II kwartrału,

Q_3t - zmienna efektów sezonowych III kwartrału,

Q_4t - zmienna efektów sezonowych IV kwartrału,

b) zakładamy, że suma efektów sezonowych wynosi 0, dla danych kwartalnych możemy zapisać to w następujący sposób: δ₁+δ₂+δ₃+δ₄=0, czemu równoważny jest zapis:

₄

Σ δ_i=0

ⁱ⁼¹

c) uzależnienie parametru sezonowego δ₄ od parametrów sezonowych δ₁, δ₂, δ₃:

δ₁+δ₂+δ₃+δ₄=0

δ₄=-δ₁-δ₂-δ₃

d) eliminacja współliniowości występujących pomiędzy wyrazem wolnym, a zmienną sezonową:

WP_t = β₀ + β₁LU_t + β₂BE_t + β₃PR_t + δ₁Q_1t + δ₂Q_2t + δ₃Q_3t + (-δ₁-δ₂-δ₃)Q_4t + ξ_t

WP_t = β₀ + β₁LU_t + β₂BE_t + β₃PR_t + δ₁Q_1t + δ₂Q_2t + δ₃Q_3t - δ₁Q_4t - δ₂Q_4t - δ₃Q_4t + ξ_t

WP_t = β₀ + β₁LU_t + β₂BE_t + β₃PR_t + δ₁(Q_1t - Q_4t) + δ₂(Q_2t - Q_4t)+ δ₃(Q_3t - Q_4t) + ξ_t

Przyjmijmy, że:

QQ_1t = Q_1t - Q_4t

QQ_2t = Q_2t - Q_4t

QQ_3t = Q_3t - Q_4t

Ostateczny wynik to model teoretyczny uwzględniający efekty sezonowe:

MODEL TEORETYCZNY (3)

WP_t = β₀ + β₁LU_t + β₂BE_t + β₃PR_t + δ₁QQ_1t + δ₂QQ_2t+ δ₃QQ_3t + ξ_t

Gdzie:

WP_t - wydatki rządowe, zmienna objaśniana,

LU_t - ludność ogółem, zmienna objaśniająca,

PR_t - liczba osób pracujących, zmienna objaśniająca,

BE_t - liczba osób bezrobotnych. zmienna objaśniająca,

oraz

QQ_1t = Q_1t - Q_4t - scentrowana zmienna efektów sezonowych I kwartału,

QQ_2t = Q_2t - Q_4t - scentrowana zmienna efektów sezonowych II kwartału,

QQ_3t = Q_3t - Q_4t - scentrowana zmienna efektów sezonowych III kwartału,

Po oszacowaniu metodą najmniejszych kwadratów otrzymujemy następujący model empiryczny:

MODEL EMPIRYCZNY (3)

_{±85478,9 ±1,8611 ±0,49930 ±1,53100 ±144,7423}

WP_t = - 981639,5 + 25,4561LU_t - 2,2111BE_t + 1,4416PR_t + 101,4027QQ_1t +

_{±126,8612 ±125,7783 ^}

168,4271QQ_2t + 268,4661QQ_3t + ξ_t

2. W celu ustalenia z którego kwartału efekty sezonowe mają statystycznie istotny wpływ na postać modelu, przeprowadzam weryfikację istotności parametrów sezonowych. Przyjmuje poziom istotności α=0,05, oznaczający 5% ryzyko popełnienie błędu pierwszego rodzaju polegającego na odrzuceniu hipotezy zerowej, która jest prawdziwa.

a) dla zmiennej sezonowej QQ_1t przeprowadzam badanie istotności parametru sezonowego δ₁:

H₀ : δ₁=0

H_A : δ₁≠0

Hipoteza zerowa H₀ zakłada, że parametr δ₁ nie różni się statystycznie istotnie od 0, wpływ zmiennej sezonowej QQ_1t na zmienną objaśnianą nie jest statystycznie istotny przy przyjętym poziomie istotności.

Hipoteza alternatywna H_A zakłada, że parametr δ₁ różni się statystycznie istotnie od 0, wpływ zmiennej sezonowej QQ_1t na zmienną objaśnianą jest statystycznie istotny przy przyjętym poziomie istotności.

Dla parametru δ₁ : Prob=0,493

Prob>α

Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, parametr δ₁ nie różni się statystycznie istotnie od 0, wpływ zmiennej sezonowej QQ_1t na zmienną objaśnianą nie jest statystycznie istotny przy przyjętym poziomie istotności.

b) dla zmiennej sezonowej QQ_2t przeprowadzam badanie istotności parametru sezonowego δ₂:

H₀ : δ₂=0

H_A : δ₂≠0

Hipoteza zerowa H₀ zakłada, że parametr δ₂ nie różni się statystycznie istotnie od 0, wpływ zmiennej sezonowej QQ_2t na zmienną objaśnianą nie jest statystycznie istotny przy przyjętym poziomie istotności.

Hipoteza alternatywna H_A zakłada, że parametr δ₂ różni się statystycznie istotnie od 0, wpływ zmiennej sezonowej QQ_2t na zmienną objaśnianą jest statystycznie istotny przy przyjętym poziomie istotności.

Dla parametru δ₂ : Prob=0,202

Prob>α

Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, parametr δ₂ nie różni się statystycznie istotnie od 0, wpływ zmiennej sezonowej QQ_2t na zmienną objaśnianą nie jest statystycznie istotny przy przyjętym poziomie istotności.

c) dla zmiennej sezonowej QQ_3t przeprowadzam badanie istotności parametru sezonowego δ₃:

H₀ : δ₃=0

H_A : δ₃≠0

Hipoteza zerowa H₀ zakłada, że parametr δ₃ nie różni się statystycznie istotnie od 0, wpływ zmiennej sezonowej QQ_3t na zmienną objaśnianą nie jest statystycznie istotny przy przyjętym poziomie istotności.

Hipoteza alternatywna H_A zakłada, że parametr δ₃ różni się statystycznie istotnie od 0, wpływ zmiennej sezonowej QQ_3t na zmienną objaśnianą jest statystycznie istotny przy przyjętym poziomie istotności.

Dla parametru δ₃ : Prob=0,048

Prob<α

Odrzucamy hipotezę zerową na korzyść hipotezy alternatywnej, parametr δ₃ różni się statystycznie istotnie od 0, wpływ zmiennej sezonowej QQ_3t na zmienną objaśnianą jest statystycznie istotny przy przyjętym poziomie istotności.

3. Wnioski do punktu 2: Zmienne sezonowe QQ_1t oraz QQ_2t nie mają statystycznie istotnego wpływu na zmienną objaśnianą, efekty sezonowe odpowiadających zmiennym tych kwartałów nie wpływają statystycznie istotnie na zmienną objaśnianą, przy przyjętym poziomie istotności. Przystępuje do stopniowej eliminacji tych zmiennych.

W pierwszym kroku eliminuję zmienną sezonową QQ_1t ponieważ ma ona statystycznie najmniej istotny wpływ na zmienną objaśnianą spośród pozostałych zmiennych do wyeliminowania (w tym przypadku niż zmienna QQ_2t). W efekcie otrzymuję następujący model teoretyczny:

MODEL TEORETYCZNY (4)

WP_t = β₀ + β₁LU_t + β₂BE_t + β₃PR_t + δ₂QQ_2t+ δ₃QQ_3t + ξ_t

Gdzie:

WP_t - wydatki rządowe, zmienna objaśniana,

LU_t - ludność ogółem, zmienna objaśniająca,

PR_t - liczba osób pracujących, zmienna objaśniająca,

BE_t - liczba osób bezrobotnych. zmienna objaśniająca,

oraz

QQ_2t = Q_2t - Q_4t - scentrowana zmienna efektów sezonowych II kwartału,

QQ_3t = Q_3t - Q_4t - scentrowana zmienna efektów sezonowych III kwartału,

Po oszacowaniu metodą najmniejszych kwadratów otrzymuję następujący model empiryczny:

MODEL EMPIRYCZNY (4)

_{±77084,1 ±1,6948 ±0,43634 ±1,3286 ±117,1140}

WP_t = - 957454,9 + 24,9569LU_t - 2,3729BE_t + 0,9328PR_t + 199,5912QQ_2t

_{±119,8300 ^}

+ 291,0908QQ_3t + ξ_t

4. Przeprowadzam ponowną weryfikację istotności parametrów sezonowych pozostałych po eliminacji zmiennej sezonowej QQ_1t:

a) dla zmiennej sezonowej QQ_2t przeprowadzam badanie istotności parametru sezonowego δ₂:

H₀ : δ₂=0

H_A : δ₂≠0

Hipoteza zerowa H₀ zakłada, że parametr δ₂ nie różni się statystycznie istotnie od 0, wpływ zmiennej sezonowej QQ_2t na zmienną objaśnianą nie jest statystycznie istotny przy przyjętym poziomie istotności.

Hipoteza alternatywna H_A zakłada, że parametr δ₂ różni się statystycznie istotnie od 0, wpływ zmiennej sezonowej QQ_2t na zmienną objaśnianą jest statystycznie istotny przy przyjętym poziomie istotności.

Dla parametru δ₂ : Prob=0,106

Prob>α

Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, parametr δ₂ nie różni się statystycznie istotnie od 0, wpływ zmiennej sezonowej QQ_2t na zmienną objaśnianą nie jest statystycznie istotny przy przyjętym poziomie istotności.

b) dla zmiennej sezonowej QQ_3t przeprowadzam badanie istotności parametru sezonowego δ₃:

H₀ : δ₃=0

H_A : δ₃≠0

Hipoteza zerowa H₀ zakłada, że parametr δ₃ nie różni się statystycznie istotnie od 0, wpływ zmiennej sezonowej QQ_3t na zmienną objaśnianą nie jest statystycznie istotny przy przyjętym poziomie istotności.

Hipoteza alternatywna H_A zakłada, że parametr δ₃ różni się statystycznie istotnie od 0, wpływ zmiennej sezonowej QQ_3t na zmienną objaśnianą jest statystycznie istotny przy przyjętym poziomie istotności.

Dla parametru δ₃ : Prob=0,026

Prob<α

Odrzucamy hipotezę zerową na korzyść hipotezy alternatywnej, parametr δ₃ różni się statystycznie istotnie od 0, wpływ zmiennej sezonowej QQ_3t na zmienną objaśnianą jest statystycznie istotny przy przyjętym poziomie istotności.

5. Wnioski do punktu 4: Zmienna QQ_2t nie ma statystycznie istotnego wpływu na zmienną objaśnianą, efekty sezonowe odpowiadające zmiennej tego kwartału nie wpływają statystycznie istotnie na zmienną objaśnianą, przy przyjętym poziomie istotności. Eliminuje zmienną QQ_2t z modelu otrzymując następujący model teoretyczny:

MODEL TEORETYCZNY (5)

WP_t = β₀ + β₁LU_t + β₂BE_t + β₃PR_t + δ₃QQ_3t + ξ_t

Gdzie:

WP_t - wydatki rządowe, zmienna objaśniana,

LU_t - ludność ogółem, zmienna objaśniająca,

PR_t - liczba osób pracujących, zmienna objaśniająca,

BE_t - liczba osób bezrobotnych. zmienna objaśniająca,

oraz

QQ_3t = Q_3t - Q_4t - scentrowana zmienna efektów sezonowych III kwartału,

Po oszacowaniu metodą najmniejszych kwadratów otrzymuję następujący model empiryczny:

MODEL EMPIRYCZNY (5)

_{±80813,4 ±1,7762 ±0,45768 ±1,3934}

WP_t = - 961674,5 + 25,0753LU_t - 2,3770BE_t + 0,89531PR_t +

_{±110,2400 ^}

389,1927QQ_3t + ξ_t

6. Aby ustalić które ze zmiennych objaśniających mają statystycznie istotny wpływ na zmienną objaśnianą przeprowadzam weryfikację istotności parametrów zmiennych objaśniających. Przyjmuje poziom istotności α=0,05, oznaczający 5% ryzyko popełnienie błędu pierwszego rodzaju polegającego na odrzuceniu hipotezy zerowej, która jest prawdziwa.

a) badanie istotności wyrazu wolnego β₀:

H₀ : β₀=0

H_A : β₀≠0

Hipoteza zerowa H₀ zakłada, że wyraz wolny β₀ nie różni się statystycznie istotnie od 0, przy przyjętym poziomie istotności.

Hipoteza alternatywna H_A zakłada, że wyraz wolny β₀ różni się statystycznie istotnie od 0, przy przyjętym poziomie istotności.

Dla wyrazu wolnego β₀: Prob=0,000

Prob<α

Odrzucamy hipotezę zerową na korzyść hipotezy alternatywnej, wyraz wolny β₀ różni się statystycznie istotnie od 0, przy przyjętym poziomie istotności.

b) dla zmiennej objaśniającej LU_t przeprowadzam badanie istotności parametru β₁:

H₀ : β₁=0

H_A : β₁≠0

Hipoteza zerowa H₀ zakłada, że parametr β₁ nie różni się statystycznie istotnie od 0, wpływ zmiennej objaśniającej LU_t na zmienną objaśnianą nie jest statystycznie istotny przy przyjętym poziomie istotności.

Hipoteza alternatywna H_A zakłada, że parametr β₁ różni się statystycznie istotnie od 0, wpływ zmiennej objaśniającej LU_t na zmienną objaśnianą jest statystycznie istotny przy przyjętym poziomie istotności.

Dla parametru β₁: Prob=0,000

Prob<α

Odrzucamy hipotezę zerową na korzyść hipotezy alternatywnej, parametr β₁ różni się statystycznie istotnie od 0, wpływ zmiennej objaśniającej Lu_t na zmienną objaśnianą jest statystycznie istotny przy przyjętym poziomie istotności.

c) dla zmiennej objaśniającej BE_t przeprowadzam badanie istotności parametru β₂:

H₀ : β₂=0

H_A : β₂≠0

Hipoteza zerowa H₀ zakłada, że parametr β₂ nie różni się statystycznie istotnie od 0, wpływ zmiennej objaśniającej BE_t na zmienną objaśnianą nie jest statystycznie istotny przy przyjętym poziomie istotności.

Hipoteza alternatywna H_A zakłada, że parametr β₂ różni się statystycznie istotnie od 0, wpływ zmiennej objaśniającej BE_t na zmienną objaśnianą jest statystycznie istotny przy przyjętym poziomie istotności.

Dla parametru β₂: Prob=0,000

Prob<α

Odrzucamy hipotezę zerową na korzyść hipotezy alternatywnej, parametr β₂ różni się statystycznie istotnie od 0, wpływ zmiennej objaśniającej BE_t na zmienną objaśnianą jest statystycznie istotny przy przyjętym poziomie istotności.

d) dla zmiennej objaśniającej PR_t przeprowadzam badanie istotności parametru β₃:

H₀ : β₃=0

H_A : β₃≠0

Hipoteza zerowa H₀ zakłada, że parametr β₃ nie różni się statystycznie istotnie od 0, wpływ zmiennej objaśniającej PR_t na zmienną objaśnianą nie jest statystycznie istotny przy przyjętym poziomie istotności.

Hipoteza alternatywna H_A zakłada, że parametr β₃ różni się statystycznie istotnie od 0, wpływ zmiennej objaśniającej PR_t na zmienną objaśnianą jest statystycznie istotny przy przyjętym poziomie istotności.

Dla parametru β₃: Prob=0,528

Prob>α

Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, parametr β₃ nie różni się statystycznie istotnie od 0, wpływ zmiennej objaśniającej PR_t na zmienną objaśnianą nie jest statystycznie istotny przy przyjętym poziomie istotności.

e) dla zmiennej sezonowej QQ_3t przeprowadzam badanie istotności parametru sezonowego δ₃:

H₀ : δ₃=0

H_A : δ₃≠0

Hipoteza zerowa H₀ zakłada, że parametr δ₃ nie różni się statystycznie istotnie od 0, wpływ zmiennej sezonowej QQ_3t na zmienną objaśnianą nie jest statystycznie istotny przy przyjętym poziomie istotności.

Hipoteza alternatywna H_A zakłada, że parametr δ₃ różni się statystycznie istotnie od 0, wpływ zmiennej sezonowej QQ_3t na zmienną objaśnianą jest statystycznie istotny przy przyjętym poziomie istotności.

Dla parametru δ₃ : Prob=0,002

Prob<α

Odrzucamy hipotezę zerową na korzyść hipotezy alternatywnej, parametr δ₃ różni się statystycznie istotnie od 0, wpływ zmiennej sezonowej QQ_3t na zmienną objaśnianą jest statystycznie istotny przy przyjętym poziomie istotności.

7. Wnioski do punktu 6: Zmienna objaśniająca PR_t nie ma statystycznie istotnego wpływu na zmienną objaśnianą, nie wpływa statystycznie istotnie na zmienną objaśnianą, przy przyjętym poziomie istotności. Po wyeliminowaniu zmiennej PR_t otrzymuje następujący model teoretyczny:

MODEL TEORETYCZNY (6)

WP_t = β₀ + β₁LU_t + β₂BE_t + δ₃QQ_3t + ξ_t

Gdzie:

WP_t - wydatki rządowe, zmienna objaśniana,

LU_t - ludność ogółem, zmienna objaśniająca,

BE_t - liczba osób bezrobotnych. zmienna objaśniająca,

oraz

QQ_3t = QQ_3t - Q_4t - scentrowana zmienna efektów sezonowych III kwartału,

Po oszacowaniu metodą najmniejszych kwadratów otrzymuję następujący model empiryczny:

MODEL EMPIRYCZNY (6)

_{±28995,1 ±0,74926 ±0,23977 ±104,1629 ^}

WP_t = - 913314,3 + 24,0440LU_t - 2,6260BE_t + 369,1314QQ_3t + ξ_t

8. Aby ustalić które ze zmiennych objaśniających mają statystycznie istotny wpływ na zmienną objaśnianą, po wyeliminowaniu zmiennej PR_t przeprowadzam ponowną weryfikację istotności parametrów zmiennych objaśniających. Przyjmuje poziom istotności α=0,05, oznaczający 5% ryzyko popełnienie błędu pierwszego rodzaju polegającego na odrzuceniu hipotezy zerowej, która jest prawdziwa.

a) badanie istotności wyrazu wolnego β₀:

H₀ : β₀=0

H_A : β₀≠0

Hipoteza zerowa H₀ zakłada, że wyraz wolny β₀ nie różni się statystycznie istotnie od 0, przy przyjętym poziomie istotności.

Hipoteza alternatywna H_A zakłada, że wyraz wolny β₀ różni się statystycznie istotnie od 0, przy przyjętym poziomie istotności.

Dla wyrazu wolnego β₀: Prob=0,000

Prob<α

Odrzucamy hipotezę zerową na korzyść hipotezy alternatywnej, wyraz wolny β₀ różni się statystycznie istotnie od 0, przy przyjętym poziomie istotności.

b) dla zmiennej objaśniającej LU_t przeprowadzam badanie istotności parametru β₁:

H₀ : β₁=0

H_A : β₁≠0

Hipoteza zerowa H₀ zakłada, że parametr β₁ nie różni się statystycznie istotnie od 0, wpływ zmiennej objaśniającej LU_t na zmienną objaśnianą nie jest statystycznie istotny przy przyjętym poziomie istotności.

Hipoteza alternatywna H_A zakłada, że parametr β₁ różni się statystycznie istotnie od 0, wpływ zmiennej objaśniającej LU_t na zmienną objaśnianą jest statystycznie istotny przy przyjętym poziomie istotności.

Dla parametru β₁: Prob=0,000

Prob<α

Odrzucamy hipotezę zerową na korzyść hipotezy alternatywnej, parametr β₁ różni się statystycznie istotnie od 0, wpływ zmiennej objaśniającej Lu_t na zmienną objaśnianą jest statystycznie istotny przy przyjętym poziomie istotności.

c) dla zmiennej objaśniającej BE_t przeprowadzam badanie istotności parametru β₂:

H₀ : β₂=0

H_A : β₂≠0

Hipoteza zerowa H₀ zakłada, że parametr β₂ nie różni się statystycznie istotnie od 0, wpływ zmiennej objaśniającej BE_t na zmienną objaśnianą nie jest statystycznie istotny przy przyjętym poziomie istotności.

Hipoteza alternatywna H_A zakłada, że parametr β₂ różni się statystycznie istotnie od 0, wpływ zmiennej objaśniającej BE_t na zmienną objaśnianą jest statystycznie istotny przy przyjętym poziomie istotności.

Dla parametru β₂: Prob=0,000

Prob<α

Odrzucamy hipotezę zerową na korzyść hipotezy alternatywnej, parametr β₂ różni się statystycznie istotnie od 0, wpływ zmiennej objaśniającej BE_t na zmienną objaśnianą jest statystycznie istotny przy przyjętym poziomie istotności.

d) dla zmiennej sezonowej QQ_3t przeprowadzam badanie istotności parametru sezonowego δ₃:

H₀ : δ₃=0

H_A : δ₃≠0

Hipoteza zerowa H₀ zakłada, że parametr δ₃ nie różni się statystycznie istotnie od 0, wpływ zmiennej sezonowej QQ_3t na zmienną objaśnianą nie jest statystycznie istotny przy przyjętym poziomie istotności.

Hipoteza alternatywna H_A zakłada, że parametr δ₃ różni się statystycznie istotnie od 0, wpływ zmiennej sezonowej QQ_3t na zmienną objaśnianą jest statystycznie istotny przy przyjętym poziomie istotności.

Dla parametru δ₃ : Prob=0,002

Prob<α

Odrzucamy hipotezę zerową na korzyść hipotezy alternatywnej, parametr δ₃ różni się statystycznie istotnie od 0, wpływ zmiennej sezonowej QQ_3t na zmienną objaśnianą jest statystycznie istotny przy przyjętym poziomie istotności.

9. Wnioski do punktu 8: Wszystkie zmienne objaśniające, wyraz wolny i parametr sezonowy III kwartału mają statystycznie istotny wpływ na zmienną objaśnianą. Przyjmuję postać modelu teoretycznego (6) jako ostateczną.

OSTATECZNA POSTAĆ MODELU TEORETYCZNEGO

WP_t = β₀ + β₁LU_t + β₂BE_t + δ₃QQ_3t + ξ_t

Gdzie:

WP_t - wydatki rządowe, zmienna objaśniana,

LU_t - ludność ogółem, zmienna objaśniająca,

BE_t - liczba osób bezrobotnych. zmienna objaśniająca,

oraz

QQ_3t = Q_3t - Q_4t - scentrowana zmienna efektów sezonowych III kwartału,

Po oszacowaniu metodą najmniejszych kwadratów otrzymuję następujący model empiryczny:

OSTATECZNA POSTAĆ MODELU EMPIRYCZNEGO

_{±28995,1 ±0,74926 ±0,23977 ±104,1629 ^}

WP_t = - 913314,3 + 24,0440LU_t - 2,6260BE_t + 369,1314QQ_3t + ξ_t

Zestawienie podstawowych współczynników określających dopasowanie modelu empirycznego do danych teoretycznych (interpretacja w dalszej części pracy):

Współczynnik determinacji: R²=0,98545

Współczynnik indeterminacji: Φ²=0,01455

_^

Błąd standardowy reszt: σ_ξ=359,9544

Autokorelacja składników losowych: DW=2,2917

10. Analiza graficzna modelu empirycznego:

Wykres A

Wykres pokazuje rzeczywiste wartości wydatków rządowych i ich wielkości oszacowane za pomocą modelu empirycznego. Krzywe przedstawiające dane rzeczywiste i oszacowane za pomocą modelu empirycznego mają bardzo zbliżony przebieg, co pozwala wstępnie stwierdzić, że model dobrze odwzorowuje poziom zmiennej objaśnianej.

11. Interpretacja oceny parametrów strukturalnych:

a) interpretacja parametru strukturalnego β₁:

Jeżeli liczba ludności wzrośnie o 1 osobę to należy oczekiwać, że wydatki rządowe wzrosną o 24,0440 zł z błędem ±0,74926 zł pod warunkiem, że pozostałe czynniki objaśniające pozostaną niezmienione.

b) interpretacja parametru strukturalnego β₂:

Jeżeli liczba bezrobotnych wzrośnie o 1 osobę to należy oczekiwać, że wydatki rządowe zmaleją o 2,6260 zł z błędem ±0,23977 zł pod warunkiem, że pozostałe czynniki objaśniające pozostaną niezmienione.

c) interpretacja parametru strukturalnego δ₃:

W kwartale III wydatki rządowe zwiększają się o 369,1314 zł z błędem ±104,1629 zł na skutek wpływu efektów sezonowych pod warunkiem, że pozostałe czynniki objaśniające pozostaną niezmienione. W pozostałych kwartałach wydatki rządowe są zależne tylko od liczby ludności i liczby bezrobotnych.

12. Przedziały ufności dla parametrów strukturalnych modelu. Przyjmuje poziom istotności α=0,05. Aby odczytać wartość krytyczną testu t-Studenta muszę określić liczbę stopni swobody.

s.s=T-k-1

Gdzie: T=24 - liczba obserwacji (dane z lat 1992 do 1997 w kwartałach),

k=3 - liczba zmiennych objaśniających.

s.s=T-k-1=24-3-1=20

Z tablic statystycznych odczytuję wartość krytyczną testu t-Studenta dla przyjętego poziomu istotności i obliczonej liczby stopni swobody: t_0,05=1,725.

a) przedział ufności dla wyrazu wolnego β₀:

_{^ ^ ^ ^}

P(β₀ - t_ασ(β₀) ≤ β₀ ≤ β₀ - t_ασ(β₀))<1-α

P(-913314,3 - 1,725 * 28995,1 ≤ β₀ ≤ - 913314,3 + 1,725 * 28995,1)<1-α

P(-963330,84 ≤ β₀ ≤ -863297,75)<1-α

W przedziale (-963330,84 ; -863297,75) z prawdopodobieństwem 0,95 znajduje się nieznana, rzeczywista wartość wyrazu wolnego β₀.W 95 przypadkach na 100 przedział zawiera nieznaną, rzeczywistą wartość wyrazu wolnego β_0.

b) przedział ufności dla parametru strukturalnego β₁:

_{^ ^ ^ ^}

P(β₁ - t_ασ(β₁) ≤ β₁ ≤ β₁ - t_ασ(β₁))<1-α

P(24,0440 - 1,725 * 0,74926 ≤ β₁ ≤ 24,0440 + 1,725 * 0,74926)<1-α

P(22,751526 ≤ β₁ ≤ 25,336473)<1-α

W przedziale (22,751526 ; 25,336473) z prawdopodobieństwem 0,95 znajduje się nieznana, rzeczywista wartość parametru strukturalnego β₁. W 95 przypadkach na 100 przedział zawiera nieznaną, rzeczywistą wartość parametru strukturalnego β₁.

c) przedział ufności dla parametru strukturalnego β₂:

_{^ ^ ^ ^}

P(β₂ - t_ασ(β₂) ≤ β₂ ≤ β₂ - t_ασ(β₂))<1-α

P(-2,6260 - 1,725 * 0,23977 ≤ β₂ ≤ -2,6260 + 1,725 * 0,23977)<1-α

P(-3,0396032 ≤ β₂ ≤ -2,2123967)<1-α

W przedziale (-3,0396032 ; -2,2123967) z prawdopodobieństwem 0,95 znajduje się nieznana, rzeczywista wartość parametru strukturalnego β₂. W 95 przypadkach na 100 przedział zawiera nieznaną, rzeczywistą wartość parametru strukturalnego β₁.

d) przedział ufności dla parametru sezonowego δ₃:

_{^ ^ ^ ^}

P(δ₃- t_ασ(δ₃) ≤ δ₃ ≤ δ₃ - t_ασ(δ₃))<1-α

P(369,1314 - 1,725 * 104,1629 ≤ δ₃ ≤ 369,1314 + 1,725 * 104,1629)<1-α

P(189,45039 ≤ δ₃ ≤ 548,8124)<1-α

W przedziale (189,45039 ; 548,8124) z prawdopodobieństwem 0,95 znajduje się nieznana, rzeczywista wartość parametru sezonowego δ₃. W 95 przypadkach na 100 przedział zawiera nieznaną, rzeczywistą wartość parametru sezonowego δ₃.

13. Wnioski do punktu 12: Żaden z oszacowanych przedziałów ufności nie zawiera 0, potwierdza to wnioski dotyczące istotności parametrów strukturalnych z punktu 8.

14. Ocena współczynników dopasowania modelu empirycznego do danych teoretycznych.

a) współczynnik determinacji:

R²=0,98545

Interpretacja: 98% zmienności zmiennej objaśnianej jest wyjaśnione przez zmienne objaśniające w modelu empirycznym.

b) współczynnik indeterminacji:

Φ²=0,01455

Interpretacja: 2% zmienności zmiennej objaśnianej nie jest wyjaśnione przez zmienne objaśniające w modelu empirycznym.

c) błąd standardowy reszt:

_^

σ_ξ=359,9544

Interpretacja: przeciętne odchylenie wartości teoretycznych od empirycznych wynosi 359,9544 mln zł.

d) współczynnik zmienności resztowej:

_{^ _}

V=(σ_ξ/y) *100=5,366%

Interpretacja: przeciętne odchylenie wartości teoretycznych od empirycznych stanowi 5,366% przeciętnego poziomu zmiennej objaśnianej.

15. Badanie autokorelacji składników losowych:

DW=2,2917

gdzie DW - statystyka Durbina-Watsona

_^

Ponieważ DW>2, a rozkład DW jest symetryczny, bowiem wiadomo, że DW≈2(1-p), przyjmuję DW₄=4-DW.

DW₄=4-DW=1,7083

Ponieważ DW>2 występuje ujemna autokorelacja składników losowych.

H₀ : p=0

H_A : p<0

Hipoteza zerowa H₀ zakłada brak statystycznie istotnej autokorelacji składników losowych.

Hipoteza alternatywna H_A zakłada występowanie statystycznie istotnej ujemnej autokorelacji składników losowych.

Do zbadania istotności autokorelacji składników losowych, należy porównać statystykę DW z wartościami krytycznymi dL i du odczytanymi z tablic dla odpowiedniej liczby obserwacji T=24 i liczny zmiennych egzogenicznych k=3 oraz założonego poziomu istotności α=0,05, oznaczającego 5% ryzyko popełnienie błędu pierwszego rodzaju, który polega na odrzuceniu hipotezy zerowej, która jest prawdziwa.

dL=1,101

dU=1,656

Ponieważ DW>2 wartości krytyczne porównujemy z DW₄=4-DW=1,7083.

DW₄>dU>dL

Brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, brak statystycznie istotnej autokorelacji składników losowych, przy założonym poziomie istotności.

16. Ocena zbioru zmiennych objaśniających:

Przyjmuje poziomo istotności α=0,05, oznaczający 5% ryzyko popełnienie błędu pierwszego rodzaju polegającego na odrzuceniu hipotezy zerowej, która jest prawdziwa.

H₀ : β^*=0

H_A : β^*<0

Hipoteza zerowa H₀ zakłada, że włączenie zbioru zmiennych objaśniających nie było statystycznie istotne, wszystkie parametry strukturalne są jednocześnie równe 0.

Hipoteza alternatywna H_A, że włączenie zbioru zmiennych objaśniających było statystycznie istotne, nie wszystkie parametry strukturalne są jednocześnie równe 0.

Prob=0,000

Prob<α

Odrzucamy hipotezę zerową na korzyść hipotezy alternatywnej, włączenie zbioru zmiennych objaśniających było statystycznie istotne, nie wszystkie parametry strukturalne są jednocześnie równe 0.

17. Badanie zmienności wariancji składników resztowych (heteroskedastyczność):

Przyjmuje poziomo istotności α=0,05, oznaczający 5% ryzyko popełnienie błędu pierwszego rodzaju polegającego na odrzuceniu hipotezy zerowej, która jest prawdziwa.

H₀ : Eξ_t²₌σ_ξ²

H_A : Eξ_t²₌σ_ξ²(Ey_t)²

Hipoteza zerowa H₀ zakłada brak statystycznie istotnej zmienności wariancji składnika resztowego w czasie.

Hipoteza alternatywna H_A zakłada występowanie statystycznie istotnej zmienności wariancji składnika resztowego w czasie.

Prob=0,605

Prob≥α

Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, zmienność wariancji składnika resztowego w czasie nie jest statystycznie istotna przy przyjętym poziomie istotności.

18. Badanie normalności rozkładu składników losowych (test Jarque'a-Bera):

Przyjmuje poziomo istotności α=0,05, oznaczający 5% ryzyko popełnienie błędu pierwszego rodzaju polegającego na odrzuceniu hipotezy zerowej, która jest prawdziwa.

H₀ : ξ_t=N

H_A : ξ_t≠N

Hipoteza zerowa H₀ zakłada, że rozkład składników losowych nie odbiega statystycznie istotnie od rozkładu normalnego.

Hipoteza alternatywna H_A, że rozkład składników losowych odbiega statystycznie istotnie od rozkładu normalnego.

Prob=0,591

Prob≥α

Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, rozkład składników losowych nie odbiega statystycznie istotnie od rozkładu normalnego przy przyjętym poziomie istotności.

WNIOSKI DO MODELU EMPIRYCZNEGO

Model empiryczny bardzo dobrze oddaje rzeczywisty poziom wydatków rządowych. Świadczą o tym obliczone współczynniki dopasowania modelu empirycznego do danych teoretycznych oraz wyniki przeprowadzonych testów: na autokorelację, dopasowanie zbioru zmiennych objaśniających, heteroskedastyczność, normalność rozkładu składników losowych.

PROGNOZA

Prognoza ekonometryczna to ilościowy sąd dotyczący przyszłości wydany na podstawie ekstrapolacji modelu ekonometrycznego, który został oszacowany i zweryfikowany na podstawie informacji z przeszłości.

W swojej pracy postanowiłem zastosować prognozę ex-post. Wybierając ten rodzaj prognozy nie musze zakładać poziomu zmiennych objaśniających w okresie prognozowanym, gdyż są one już znane. W ostatecznej postać mojego modelu ekonometrycznego, który zostanie użyty do prognozowania występują dwie zmienne objaśniające. Pierwsza z nich ukazuje liczbę ludności, a druga liczbę bezrobotnych. Realizując prognozę ex-ante musiałbym założyć wartości obu tych zmiennych. Stosując metodę ex-post spełnione jest założenie dotyczące znajomości wartości zmiennych prognozujących w okresie prognozowanym. Zakładam także aktualność modelu empirycznego, oszacowanego na podstawie danych historycznych w okresach prognozowanych, przyjmuję, że model w tych okresach jest stabilny.

Za okres prognozowany przyjęto rok 1997 roku. W efekcie otrzymałem prognozy zmiennej określającej wydatki rządowe na kwartały tego roku.

MODEL PROGNOSTYCZNY:

_P

WP_T+j = β₀ + β₁LU_T+j + β₂BE_T+j + δ₃QQ_T+j,3 + ξ_T+j

W wyniku przeprowadzenia procesu prognostycznego otrzymałem następujące wartości prognoz oraz ich błędów:

Obserwacja	Aktualna wartość	Prognoza	Błąd	Błąd standardowy prognozy
1997Q1	9136,4	10080,6	-944,1730	356,8052
1997Q2	10197,2	11083,6	-886,4040	397,3695
1997Q3	10472,1	11721,9	-1249,8	451,2845
1997Q4	12086,2	12722,7	-636,4950	463,5899

1. Interpretacja otrzymanych wyników. Zakładam wartość krytyczną współczynnika zmienności V^*=5%.

a) W pierwszym kwartale roku 1997 przewidywane wydatki rządowe wyniosą 10080,6 tysiąca zł z dokładnością do 356,8052 tysiąca złotych.

_{P P}

V_1997Q1 = (σ(ξ_1997Q1)/WP_1997Q1)*100%

_{^ P}

V_1997Q1 = 3,539%

Średni błąd prognozy stanowi 3,539% wartości prognozy na ten okres.

V^*>3,539%

Prognoza na pierwszy kwartał roku 1997 jest przyjmowalna przy założonej wartości krytycznej współczynnika zmienności V^*.

b) W drugim kwartale roku 1997 przewidywane wydatki rządowe wyniosą 11083,6 tysiąca zł z dokładnością do 397,3695 tysiąca złotych.

_{P P}

V_1997Q2 = (σ(ξ_1997Q2)/WP_1997Q2)*100%

_{^ P}

V_1997Q2 = 3,585%

Średni błąd prognozy stanowi 3,585% wartości prognozy na ten okres.

V^*>3,585%

Prognoza na drugi kwartał roku 1997 jest przyjmowalna przy założonej wartości krytycznej współczynnika zmienności V^*.

c) W trzecim kwartale roku 1997 przewidywane wydatki rządowe wyniosą 11721,9 tysiąca zł z dokładnością do 451,2845 tysiąca złotych.

_{P P}

V_1997Q3= (σ(ξ_1997Q3)/WP_1997Q3)*100%

_{^ P}

V_1997Q3= 3,849%

Średni błąd prognozy stanowi 3,849% wartości prognozy na ten okres.

V^*>3,849%

Prognoza na trzeci kwartał roku 1997 jest przyjmowalna przy założonej wartości krytycznej współczynnika zmienności V^*.

d) W pierwszym kwartale roku 1997 przewidywane wydatki rządowe wyniosą 12722,7 tysiąca zł z dokładnością do 463,5899 tysiąca złotych.

_{P P}

V_1997Q4 = (σ(ξ_1997Q4)/WP_1997Q4)*100%

_{^ P}

V_1997Q4 = 3,643%

Średni błąd prognozy stanowi 3,643% wartości prognozy na ten okres.

V^*>3,643%

Prognoza na czwarty kwartał roku 1997 jest przyjmowalna przy założonej wartości krytycznej współczynnika zmienności V^*.

2. Przedziały ufności. Przyjmuję poziom istotności α=0,05. Aby odczytać wartość krytyczną testu t-Studenta muszę określić liczbę stopni swobody.

s.s=T-k-1

Gdzie: T=20 - liczba obserwacji (dane z lat 1992 do 1996 w kwartałach wykorzystane do oszacowania modelu prognostycznego),

k=3 - liczba zmiennych objaśniających.

s.s=T-k-1=20-3-1=16

Z tablic statystycznych odczytuję wartość krytyczną testu t-Studenta dla przyjętego poziomu istotności i obliczonej liczby stopni swobody: t_0,05=1,746.

a) przedział ufności dla pierwszego kwartału 1997 roku:

_{P ^ P ^}

P(WP_1997Q1 - t_ασ(ξ_1997Q1) ≤ WP_1997Q1 ≤ WP_1997Q1 + t_ασ(ξ_1997Q1))<1-α

P(10080,6 - 1,746 * 356,8052 ≤ β₀ ≤ 10080,6 - 1,746 * 356,8052)<1-α

P( 9457,6181 ≤ β₀ ≤ 10703,5810)<1-α

W przedziale (9457,6181 ; 10703,5810) z prawdopodobieństwem 0,95 znajduje się nieznana, rzeczywista wartość prognozy wydatków rządowych dla pierwszego kwartału 1997 roku. W 95 przypadkach na 100 przedział zawiera nieznaną, rzeczywistą wartość prognozy wydatków rządowych dla pierwszego kwartału 1997 roku.

b) przedział ufności dla drugiego kwartału 1997 roku:

_{P ^ P ^}

P(WP_1997Q1 - t_ασ(ξ_1997Q1) ≤ WP_1997Q1 ≤ WP_1997Q1 + t_ασ(ξ_1997Q1))<1-α

P(11083,6 - 1,746 * 397,3695 ≤ β₀ ≤ 11083,6 + 1,746 * 397,3695)<1-α

P(10389,7928 ≤ β₀ ≤ 11777,4071 )<1-α

W przedziale (10389,7928 ; 11777,4071 ) z prawdopodobieństwem 0,95 znajduje się nieznana, rzeczywista wartość prognozy wydatków rządowych dla drugiego kwartału 1997 roku. W 95 przypadkach na 100 przedział zawiera nieznaną, rzeczywistą wartość prognozy wydatków rządowych dla drugiego kwartału 1997 roku.

c) przedział ufności dla trzeciego kwartału 1997 roku:

_{P ^ P ^}

P(WP_1997Q1 - t_ασ(ξ_1997Q1) ≤ WP_1997Q1 ≤ WP_1997Q1 + t_ασ(ξ_1997Q1))<1-α

P(11721,9 - 1,746 * 451,2845 ≤ β₀ ≤ 11721,9 + 1,746 * 451,2845)<1-α

P(10933,9572 ≤ β₀ ≤ 12509,8427)<1-α

W przedziale (10933,9572 ; 12509,8427) z prawdopodobieństwem 0,95 znajduje się nieznana, rzeczywista wartość prognozy wydatków rządowych dla trzeciego kwartału 1997 roku. W 95 przypadkach na 100 przedział zawiera nieznaną, rzeczywistą wartość prognozy wydatków rządowych dla trzeciego kwartału 1997 roku.

d) przedział ufności dla czwartego kwartału 1997 roku:

_{P ^ P ^}

P(WP_1997Q1 - t_ασ(ξ_1997Q1) ≤ WP_1997Q1 ≤ WP_1997Q1 + t_ασ(ξ_1997Q1))<1-α

P(12722,7 - 1,746 * 463,5899 ≤ β₀ ≤ 12722,7 + 1,746 * 463,5899)<1-α

P( 11913,2720 ≤ β₀ ≤ 13532,1279)<1-α

W przedziale (11913,2720 ; 13532,1279) z prawdopodobieństwem 0,95 znajduje się nieznana, rzeczywista wartość prognozy wydatków rządowych dla czwartego kwartału 1997 roku. W 95 przypadkach na 100 przedział zawiera nieznaną, rzeczywistą wartość prognozy wydatków rządowych dla czwartego kwartału 1997 roku.

2. Średnia arytmetyczna błędów prognozy ex-post:

MPE = -929.2088

Wyznaczone na okres 4 kwartałów 1997 roku prognozy wydatków państwowych odchylają się średnio od wartości rzeczywistych o -929.2088 tysięcy złotych.

Wniosek: Prognozy są wyraźnie niedoszacowane, zbyt niskie.

3. Suma kwadratów błędów prognoz:

SSPE = 911052.2

4. Empiryczny błąd średni predykcji (uśredniony pierwiastek kwadratowy sumy kwadratów błędów prognoz):

RMSPE = 954.4905

WNIOSKI KOŃCOWE

Model empiryczny bardzo dobrze oddaje rzeczywisty poziom wydatków rządowych. Świadczy to o istnieniu zależności pomiędzy wysokością wydatków rządowych, a liczbą ludności oraz liczbą pracujących. Model potwierdza także istnienie sezonowych wahań w wysokości wydatków rządowych. Występują one w III kwartale każdego roku.

Model umożliwia prognozowanie wielkości wydatków rządowych na przyszłe lata, jednak

prognozy są silnie zaniżone, niedoszacowane. Jednak zakładając 5% krytyczny poziom współczynnika zmienności, prognozy dla wszystkich kwartałów 1997 roku są możliwe do przyjęcia. Średni błąd prognozy na odpowiedni kwartał był zawsze niższy od przyjętej wartości krytycznej.

MODEL EKONOMETRYCZNY

___________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

- 2 -

---