Przykłady - równania kwadratowe

Rozwiąż równania:

• Przykład 1. x² − 3x − 4 = 0

• Przykład 2. x² − 4 = 0

• Przykład 3. x² − 6x + 9 = 0

• Przykład 4. x² − 2x = 3x + 5

• Przykład 5. − x² − 2x = 0

• Przykład 6. x² − 5x + 22 = 0

• Przykład 7. x⁴ − 3x² − 4 = 0 (równanie dwukwadratowe)

• Przykład 8. x² + 6x − 7 = 0

• Przykład 9. x² − 4 | x | − 12 = 0 (równanie z modułem)

• Przykład 1

x² − 3x − 4 = 0

Każde równanie kwadratowe można rozwiązać wykorzystując wyróżnik trójmianu kwadratowego. W powyższym przykładzie współczynniki a, b oraz c wynoszą:  
.

Teraz, gdy już wyliczyliśmy deltę, korzystamy ze wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego (miejsca zerowe).

Równanie ma więc dwa rozwiązania:
  i  
.

• Przykład 2

x² − 4 = 0

Powyższe równanie można również rozwiązać przy użyciu delty, gdzie  a = 1,b = 0,c = − 4.  Aby jednak pokazać inne metody liczenia pierwiastków trójmianu, skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

Korzystamy z niego i zamieniamy trójmian  x² − 4 = 0  na postać iloczynową:

Z tego miejsca już możemy zobaczyć pierwiastki (miejsca zerowe). Jeśli zamiast x podstawimy 2 lub -2, równanie się wyzeruje (sprawdź!). Więc rozwiązaniami są:  2 oraz -2.

• Przykład 3

x² − 6x + 9 = 0

Powyższe równanie rozwiążemy dwoma sposobami. Przez deltę oraz przez wzór skróconego mnożenia.

Pierwszy sposób - przez deltę:

Delta jest równa zeru, więc równanie ma jedno rozwiązanie:

Drugi sposób - przez wzór skróconego mnożenia:

Przyrównujemy w myślach   x² − 6x + 9 = 0   i  
...
(x − 3)² = x² − 2 * 1 * 3 + 3²

Otrzymujemy:

Podobnie jak w poprzednim przykładzie, widzimy miejsca zerowe. Jeśli podstawimy za x cyfrę 3, równanie się wyzeruje. Rozwiązaniem jest więc 3.

Uwaga: rozwiązywanie metodą wzorów skróconego mnożenia ma przydatną zaletę - przyspiesza obliczanie miejsc zerowych, można je niemal znajdować 'w pamięci'. Niestety, nie wszystkie równania dają się rozwiązać tym sposobem (wówczas trzeba wrócić do rozwiązywania z użyciem delty).

• Przykład 4

x² − 2x = 3x + 5

Najpierw przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę (aby mieć 0 po drugiej stronie) i je redukujemy:

x² − 5x − 5 = 0

Rozwiązaniami tego równania są liczby   

• Przykład 5

− x² − 2x = 0

Powyższy przykład rozwiążemy poprzez wyciągnięcie wspólnego czynnika przed nawias:

Powyższe równanie zachodzi gdy:
x = 0   lub   − x − 2 = 0

Udało się nam więc wyznaczyć rozwiązania wyciągając x przed nawias i uzyskując 2 równania liniowe (których rozwiązania są rozwiązaniami naszego przykładu). Pierwiastkami są więc liczby 0 oraz -2.

Uwaga: powyższy sposób rozumowania będzie niezbędny do rozkładania niektórych wielomianów na czynniki pierwsze. Taki sposób skraca także czas liczenia pierwiastków.

• Przykład 6

x² − 5x + 22 = 0

Policzmy deltę:

a = 1,b = − 5,c = 22

Wystarczy zauważyć, że  
  - równanie nie ma więc rozwiązań.

• Przykład 7

x⁴ − 3x² − 4 = 0

Powyższe równanie jest równaniem stopnia czwartego i jest nazywane równaniem dwukwadratowym. Można je rozwiązać poprzez wstawienie pomocniczej zmiennej t.

Po podstawieniu otrzymamy następujące wyrażenie:

Tym sposobem, możemy rozwiązać pomocnicze równanie kwadratowe, a jego pierwiastki (o ile będą spełniały przyjęte założenie) będą też pierwiastkami równania dwukwadratowego.

Dalej rozwiązujemy, wyznaczając pierwiastki  
  oraz  
.

Wyliczyliśmy wartości zmiennych pomocniczych. Jednak mamy policzyć wartość x. Wróćmy więc do równania (a jednocześnie naszego założenia):

Jeśli podstawimy obliczone wcześniej wartości, będziemy w stanie policzyć x.

Najpierw, dla t=-1

Otrzymaliśmy następna funkcję kwadratową, która musimy rozwiązać by obliczyć wartość x.

Powyższe równanie nie ma pierwiastków, ponieważ
Zauważmy, że samo równanie  
  jest sprzeczne - wartość podniesiona do kwadratu nigdy nie będzie liczbą ujemną.

Podstawmy więc drugą wartość t równą 4.

Korzystamy z wzorów skr. mnożenia i otrzymujemy  

Równanie ma dwa rozwiązania: x₁ = 2 i x₂ = − 2 (patrz na przykład nr 2).

Po obliczeniu pierwiastków x₁ i x₂ dochodzimy do wniosku, że całe równanie ma tylko dwa rozwiązania chociaż równanie stopnia czwartego może mieć tych rozwiązań 4. Bardzo ważną rzeczą jest to, że rozwiązania t ujemne nie spełniają równania. Dlatego też przy stawianiu założenia
można dodać warunek
. Warunek ten sam wyjdzie podczas podstawiania wartości t (tak jak w przykładzie), jednak taki sposób jest wygodniejszy. Można więc powiedzieć, że równanie dwukwadratowe będzie miało 4 pierwiastki wtedy i tylko wtedy, gdy po podstawieniu zmiennej pomocniczej otrzymamy 2 pierwiastki dodatnie.

• Przykład 8 (R)

x² + 6x − 7 = 0

Ten przykład zrobimy dosyć nietypowym sposobem. Pomimo, że nie można tutaj zastosować bezpośrednio wzoru skróconego mnożenia to użyjemy go - w "sprytny" sposób.

x² + 6x − 7 = 0 (*)     - Podane wyrażenie oznaczamy jako (*) w celu uzyskania większej czytelności.

"Zwińmy" to wyrażenie za pomocą wzoru:

(x + 3)² = 0 (**)

Powyższe wyrażenie nie jest równoważne wyrażeniu pierwotnemu (*). Po podniesieniu do potęgi otrzymamy bowiem: (x + 3)² = x² + 6x + 9. Uparcie chcemy jednak przejść z (*) do (**), aby jednak postawić znak równości, trzeba jedno z nich "wyrównać".

Skoro mamy otrzymać x² + 6x − 7, to odejmijmy 16 od równania (**) - żeby "przywrócić równowagę":   (x + 3)² − 16

Popatrzmy na to teraz: Po podniesieniu do potęgi i odjęciu 16 otrzymamy x² + 6x − 7 = 0. Jest to przecież nasze pierwsze równanie, (*). Czyli, można powiedzieć, że "zwinęliśmy", a następnie "wyrównaliśmy" to wyrażenie (zwróć uwagę, że jest to postać kanoniczna funkcji!).
Możemy więc zapisać:   x² + 6x − 7 = (x + 3)² − 16.
Teraz po kolei liczymy:

(x + 3)² − 16 = 0

(x + 3)² = 16     / Pierwiastkujemy obustronnie

Korzystamy z własności:  
,  po czym zostaje nam obliczyć równanie z wart. bezwzględną.

Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną jest opisane w dziale Liczby i ich zbiory.

| x + 3 | = 4

W ten sposób policzyliśmy pierwiastki równania w nieco nietypowy sposób. Oczywiście, można przecież wszystko wyliczyć przez deltę, jednak taki sposób bardzo rozwija umiejętność rachowania. Pozwala także zrozumieć "naturę" funkcji kwadratowej oraz rozwija w nas umiejętność logicznego stosowania wzorów skróconego mnożenia. (umiejętności te mogą być przydatne przy rozwiązywaniu równań wielomianowych itd.)

• Przykład 9 (R)

Żeby rozwiązać takie równanie, trzeba rozważyć dwa przypadki. Pierwszy, gdy
i drugi, gdy x < 0.

1 przypadek dla

Opuszczamy wartość bezwzględną bez zmiany znaku:

x² − 4x − 12 = 0

Teraz rozwiązujemy tak, jak każde inne równanie. Ważne: na końcu porównujemy rozwiązania z założeniem
.

Wynikami pierwszego przypadku są liczby "-2" i "6". Jednak "-2" nie spełnia naszego początkowego założenia
, więc nie jest rozwiązaniem.

2 przypadek: dla

Opuszczamy wartość bezwzględną ze zmianą znaku w części pod modułem.

x² + 4x − 12 = 0

Teraz x₂ nie spełnia naszego założenia (x<0). Odrzucamy go więc.

Podsumowując, dochodzimy do wniosku, że równanie ma dwa rozwiązania:  x₁ = 6  i  x₂ = − 6.

---