Numer ćwiczenia: 1	TEMAT: Wyznaczanie rozkładów wyników pomiarów (krzywa Gaussa) wykonanych przy użyciu mostka Wheatstone'a.	Ocena z teorii:
Numer zespołu: 2	Grzegorz Sumera	Ocena końcowa:
Data: 4.03.1997	IMiR Rok IB Grupa 8	Uwagi:

CZĘŚĆ TEORETYCZNA

Podstawowe pojęcia:

Źródła błędów - na skutek skończonej dokładności przyrządów pomiarowych i niedoskonałości organów zmysłowych biorących udział w obserwacjach oraz w przypadku bardzo czułych pomiarów, na skutek fluktuacji (łac. fluctuatio - chwianie się, przypadkowe odchylenia dowolnych wielkości od ich wartości średnich) mierzonej wielkości wszystkie pomiary obarczone są błędami, które możemy podzielić następująco:

a) błędy systematyczne - wynikające ze złego cechowania (kalibracji) przyrządów pomiarowych, z błędnej metody pomiaru lub z działania czynników zewnętrznych (przykłady: wadliwe wykonanie skali przyrządu, korzystanie ze wzoru na okres drgań wahadła matematycznego dla dużego wychylenia początkowego, przyjęcie wartości współczynnika lepkości w danej temperaturze podczas gdy temperatura otoczenia, w której prowadzony jest pomiar jest inna itd.),

b) błędy grube - powstające wskutek fałszywego odczytania przyrządów pomiarowych lub nieprawidłowego zapisania wyników,

c) błędy przypadkowe - powstające przy nastawianiu przyrządów, na skutek fluktuacji mierzonej wielkości oraz w wyniku ograniczoności naszych zmysłów (przykłady: zmieniający się docisk śruby mikrometrycznej, fizjologicznie uwarunkowane różnice czasu pomiędzy momentem zaobserwowania zjawiska a uruchomieniem stopera w kolejnych pomiarach, wahania napięcia sieci itp.).

Rozkład Gaussa:

Błąd przypadkowy podlega rozrzutowi statystycznemu, który opisywany jest funkcją:

zwaną funkcją Gaussa lub rozkładem normalnym. Funkcja ta ma kształt dzwonu symetrycznego względem osi pionowej przechodzącej przez punkt x = X, którego szerokość charakteryzuje odchylenie standardowe σ. W przedziale (-σ,σ) znajduje się 68.3% wyników pomiarów a w przedziale (-3σ,3σ) znajduje się 99.7% wyników pomiarów.

Histogram - pełną informację o dokładności danej metody pomiarowej może dać znajomość krzywej rozkładu błędów. W celu doświadczalnego wyznaczenia tej krzywej wykonujemy wielokrotnie, np. 100 razy, pomiar tej samej wielkości fizycznej, której wartość „rzeczywista” jest znana. Następnie sporządzamy histogram uzyskanych wyników (Rys. 1).

Rysunek 1. Histogram serii 100 pomiarów i krzywa rozkładu błędu

Wysokość słupa histogramu f_j jest równa częstości występowania wyników w przedziale o szerokości  równej podstawie słupka f_j = n_j/(n gdzie n_j ­- liczba wyników pomiaru w przedziale (x_i, x_i+), n - liczba wszystkich pomiarów. Jeżeli wyobrazimy sobie, że liczby n_j i n dążą do nieskończoności, a szerokość przedziału δ do zera, to nasz histogram przeobrazi się w ciągłą krzywą rozkładu błędów (x).

Normalizacja i renormalizacja

Prawa i zasady:

Postulat Gaussa dotyczący średniej arytmetycznej pomiarów

Zgodnie z teorią prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo L(x) otrzymania w kolejnych pomiarach wartości x₁, x₂,..., x­_n wynosi

Wartość x jest wartością najbardziej prawdopodobną, stąd dla L(x) powyższa funkcja musi przyjmować maksimum.

przy wyrażenie powyższe osiąga maksimum, jeżeli

Wynik ten, zwany jest postulatem Gaussa, jest punktem wyjścia przy ustalaniu błędów pomiarowych.

Błędy przypadkowe określamy następująco:

- błąd bezwzględny - czyli różnica między wielkością zmierzoną x_i a wielkością rzeczywistą X,

ε = x_i - X (1)

- błąd względny - określony jest przez stosunek błędu bezwzględnego do wielkości rzeczywistej,

δ = /X (2)

Błąd względny pomnożony przez 100% nosi nazwę błędu względnego procentowego.

Wielkością najbardziej zbliżoną do wartości rzeczywistej jest średnia arytmetyczna wyników pomiarów (stwierdzenia to jest następstwem postulatu Gaussa). Zastępując zatem nieznaną wartość rzeczywistą wartością średniej arytmetycznej X równania (1) i (2) możemy zapisać

ε = x_i - X δ = (x_i - X)/X

Prawo Ohma, prawa Kirchoffa

Znalezienie wielkości napięć i prądów płynących w poszczególnych częściach obwodu jest zagadnieniem podstawowym w konstrukcji układów o różnym przeznaczeniu. Rozwiązywanie obwodów prądu stałego opiera się na następujących prawach:

1) stosunek napięcia między końcami przewodnika do natężenia prądu jest wielkością stałą, nazywaną opornością (prawo Ohma) R = U/I.

2) w węzłach sieci, tzn. w punktach wspólnych dla trzech lub więcej przewodów algebraiczna suma natężeń, wpływających musi być równa zeru (I prawo Kirchoffa)

3) suma różnic potencjałów obliczonych kolejno wzdłuż zamkniętej pętli sieci - tzn. drogi, która rozpoczyna się i kończy w tym samym węźle, równa się zeru (II prawo Kirchoffa).

Warunki powyższe zapisuje się w postaci algebraicznego układu takiej liczby niezależnych równań, która pozwala na jednoznaczne znalezienie poszukiwanych prądów.

Podstawowe wzory:

Błąd średni kwadratowy pojedynczego pomiaru oraz średniej arytmetycznej

Miarą błędu przypadkowego jest błąd średni pojedynczego pomiaru czyli odchylenie standardowe,

Ponieważ średnia arytmetyczna również jest tylko przybliżeniem wartości rzeczywistej więc ściśle określa się również błąd średni wartości średniej (odchylenie standardowe średniej),

Rozkład (funkcja) Gaussa o danej wartości średniej X i odchyleniu standardowym σ

Dla wartości złożonej podajemy bezwzględny błąd średni i maksymalny. Błąd bezwzględny średni obliczamy ze wzoru:

gdzie x_i jest równe odchyleniu standardowemu.

Błąd bezwzględny maksymalny wartości złożonej wyznaczamy ze wzoru:

gdzie x_i jest równe 3σ.

Wzór na nieznany opór w układzie mostka Wheatstone'a

Aby wyliczyć oporność R_x należy rozwiązać obwód mostka w stanie równowagi. W tym celu należy skorzystać z prawa Ohma: U = I*R, oraz z praw Kirchoffa: 1. Suma algebraiczna prądów w węźle jest równa zero, 2. W odwodzie zamkniętym suma algebraiczna sił elektromotorycznych oraz spadków napięć na poszczególnych elementach obwodu jest równa zero. Rozwiązując obwód elektryczny mostka otrzymujemy następujący wzór na R_x:

gdzie n_x oznacza wskazania (ilość działek) potencjometru spiralnego (helipotu), n_1000-x jest ilością działek obliczoną z równania: 1000-n_x.

Przyrządy:

Mostek Wheatstone'a

Mostek Wheatstone'a jest układem do pomiaru (porównywania) oporów. Tworzy go połączenie czterech oporów: R_x, R₂, R₃, R₄ oraz galwanometru o oporze R₅. Mostek jest zasilany z ogniwa galwanicznego lub zasilacza (Rys. 2).

Rysunek 2. Oporowy mostek Wheatstone'a

Analiza tego układu jest stosunkowo prosta. Niech I oznacza natężenie prądu płynącego z ogniwa, a natężenie prądów na odcinkach obwodu AB, AD, BC, DC i BGD odpowiednio: I₁, I₂, I₃, I₄, I₅. W układzie są 4 węzły A, B, C, D. Dla trzech z nich układa się równania Kirchoffa. Jeśli kierunek prądu jest taki, jak wskazują strzałki, dla węzłów A, B i D otrzymujemy

A I - I₁ - I₃ = 0

B I₁ - I₂ - I₅ = 0 (1)

D I₅ + I₃ - I₄ = 0

Drugi układ równań Kirchoffa można ułożyć wydzielając w schemacie zamknięte obwody ABDA, BCDB i ACEA. Obchodząc każdy z tych obwodów według kierunku wskazówek zegara otrzymujemy dla obwodu

ABDA I₁R_X + I₅R₅ - I₃R₃ = 0

BCDB I₂R₂ - I₄R₄ - I₅R₅ = 0 (2)

ACEA I₃R₃ + I₄R₄ + IR_E = 

Jeśli dana jest siła elektromotoryczna  oraz opory R_x, R₂, R₃, R₄, R₅, R_E, można znaleźć natężenie wszystkich sześciu prądów I, I₁, I₂, I₃, I₄, I₅.

PYTANIA PROBLEMOWE:

1. W stanie równowagi mostka wyprowadzić wzór na szukaną wartość oporu R_x.

Metoda Wheatstone'a porównywania oporów polega na tzw. równoważeniu mostka, to znaczy na takim dopasowaniu oporów, by potencjały w punktach B i D były równe (V_B = V_D), czyli żeby prąd I₅ płynący przez galwanometr G był równy zeru. Przy I₅ = 0 drugie i trzecie równanie układu (1) dają

I₂ = I₁ I₃ = I₄ (3)

a pierwsze i drugie równanie układu (2)

I₁R_x = I₃R₃ I₂R₂ = I₄R₄ (4)

Z równań (3) i (4) wynika, że

R_x/R₂ = R₃/R₄, czyli R_x = R₂(R₃/R₄) (5)

Ostatnie wyrażenie pozwala eksperymentalnie wyznaczyć R_x.

2. Co wyraża pole powierzchni pod krzywą Gaussa?

Dlaczego należy zrenormalizować funkcję Gaussa aby dopasować ją do histogramu wyników pomiarów?

Czy można sporządzić histogram tak, aby opisywała go znormalizowana funkcja Gaussa?

---