1. Zasada względności Galileusza.
Prawa fizyki są jednakowe we wszystkich inercjalnych układach odniesienia, które poruszają się względem siebie ze stałą prędkością.
Zasada względności Galileusza jest prawdziwa tylko dla prędkości znacznie mniejszych od prędkości światła.
2. Siły bezwładności.
Jeżeli układ odniesienia porusza się ruchem postępowym przyspieszonym lub obraca się względem pewnego inercjalnego układu odniesienia, to taki układ nazywamy układem nieinercjalnym. W układzie nieinercjalnym pojawiają się dodatkowo siły pozorne, zwane siłami bezwładności. Siły te nie są wywołane przez oddziaływania między ciałami lecz wynikaj --> [Author:(null)] ą z przyspieszenia układu odniesienia. Siły bezwładności zależą od masy ciała, są one zawsze zwrócone przeciwnie do przyspieszenia nieinercjalnego układu odniesienia. Są one siłami zewnętrznymi.
Siła bezwładności w ruchu postępowym
; — siła bezwładności działająca na ciało o masie w nieinercjalnym układzie odniesienia poruszającym się ruchem postępowym z przyspieszeniem .
Siła odśrodkowa bezwładności jest to siła, która pojawia się w wirującym, względem innego układu odniesienia, układzie odniesienia. Taka siła działa na ciało w tym układzie niezależnie od tego czy ciało spoczywa w tym układzie czy porusza się względem niego.
; — siła odśrodkowa bezwładności działająca na ciało o masie w nieinercjalnym układzie odniesienia wirującym z prędkością kątową .
3. Siła Coriolisa.
Siła bezwładności Coriolisa pojawia się jeśli ciało porusza się względem wirującego układu odniesienia. Jest ona skierowana prostopadle do wektora prędkości ciała i wektora prędkości kątowej obracającego się układu. Znika, gdy ciało w układzie wirującym spoczywa, tzn. oraz gdy ciało porusza się równolegle do osi obrotu układu tzn. gdy .
— siła bezwładności Coriolisa działająca na poruszające się ciało o masie w wirującym układzie odniesienia.
4. Wahadło Foucaulta.
Łatwym do sprawdzenia doświadczalnego zjawiskiem wywołanym przez przyspieszenie Coriolisa jest obrót płaszczyzny wahań wahadła. Jeżeli wahadło wyprowadzimy z położenia równowagi, to jego płaszczyzna wahań widziana przez „nieruchomego” obserwatora O zachowuje niezmienne położenie w przestrzeni, natomiast dla obserwatora O' związanego z obracającą się Ziemią płaszczyzna ta będzie się obracała z prędkością kątową (na półkuli północnej obrót odbywa się zgodnie z ruchem wskazówek zegara). Zjawisko obrotu płaszczyzny wahań wahadła jest więc prostym doświadczalnym dowodem, że Ziemia obraca się wokół osi. Wahadło to na biegunie zachowuje stałą płaszczyznę wahań, Ziemia zaś obraca się pod nim; dla obserwatora na Ziemi obraca się płaszczyzna wahań wahadła.
5. Pole potencjalne, siły zachowawcze i niezachowawcze.
Jeśli w każdym punkcie przestrzeni zostanie określona dana siła, to mówimy o polu danej siły. Pole sił jest polem sił zachowawczych, jeśli praca potrzebna na przesunięcie ciała z dowolnego punktu A do dowolnego punktu B nie zależy od drogi po jakiej ciało będzie przesuwane. W przeciwnym razie pole sił jest polem niezachowawczych.
— całka od punktu A do punktu B niezależna od drogi całkowania.
Pola sił zachowawczych: pole grawitacyjne, elektrostatyczne, pole sił sprężystych.
Pola sił niezachowawczych: pole sił oporu ośrodka, pole sił tarcia.
Energia całkowita:
— potencjał pola.
Związek między siła a energią potencjalną:
;
— siła działająca na ciało umieszczone w danym polu sił,
— energia potencjalna ciała w danym polu sił.
6. Środek masy i ruch środka masy.
Środek masy porusza się jak punkt materialny, w którym skupiona jest masa układu i na który działa siła równa wypadkowej sił zewnętrznych przyłożonych do układu.
— położenie środka masy układu;
— prędkość środka masy, — pęd środka masy.
7. Moment pędu, II zasada Newtona w ruchu obrotowym.
Gdy na bryłę działa niezrównoważony moment siły wtedy nadaje on tej bryle przyspieszenie kątowe , którego wartość jest proporcjonalna do wartości momentu siły a zwrot i kierunek są identyczne jak zwrot tego momentu siły.
; — moment bezwładności względem danej osi obrotu;
— przyspieszenie kątowe wirującego ciała.
Zależność między momentem siły a momentem pędu:
; — moment siły — ; — moment pędu;
8. Ruch w polu sił centralnych.
Siła centralna to siła, skierowana zawsze do pewnego stałego punktu, zwanego centrum pola, a jej wartość zależy tylko od odległości od centrum:
— siła pola centralnego; — funkcja określająca zależność wartości siły pola od odległości od centrum pola.
W polu siły centralnej energia zależy tylko od odległości od centrum pola:
.
Prędkość polowa:
— w polu siły centralnej prędkość polowa jest stała.
, — odpowiednio: promień wodzący, prędkość punktu materialnego.
Przykładem pola sił centralnych może być pole grawitacyjne masy punktowej czy też pole elektrostatyczne ładunku punktowego.
I prawo Keplera:
Każda planeta porusza się po elipsie, przy czym Słońce znajduje się w jednym z ognisk tej elipsy.
II prawo Keplera:
Pola zakreślone przez promień wodzący planety w takich samych odcinkach czasu są sobie równe.
III prawo Keplera:
Kwadrat okresu obiegu planety dookoła Słońca jest wprost proporcjonalny do sześcianu wielkiej półosi jej orbity.
; — okres obiegu planety wokół Słońca; — wielka półoś elipsy
; — stała grawitacji; — masa Słońca.
Prędkości kosmiczne;
I — ; II —
9. Tensor bezwładności.
Tensor bezwładności przedstawiamy w kartezjańskim układzie współrzędnych za pomocą macierzy 3x3. Elementy diagonalne tej macierzy to momenty bezwładności względem trzech kolejnych osi układu współrzędnych, np.:
wzgl. osi OX — .
Elementy pozadiagonalne tej macierzy są nazywane dewiacyjnymi momentami bezwładności a także momentami dewiacji lub momentami zboczenia, np.:
.
— tensor bezwładności.
10. Osie główne i swobodne bryły sztywnej.
Osie główne:
Można dla zadanego ciała tak wybrać osie układu współrzędnych, aby macierz tensora bezwładności była macierzą diagonalną, tzn.:
— momenty dewiacji są równe zeru.
W takim przypadku osie układu współrzędnych nazywamy głównymi osiami bezwładności ciała, a momenty , , są wtenczas głównymi momentami bezwładności ciała.
Osie swobodne: Osią swobodną może być teoretycznie każda oś główna. Najbardziej stabilną jest oś, względem której moment bezwładności jest największy. Dokładna analiza wykazuje, że stałą osią swobodną może być tylko jedna z głównych osi bezwładności.
11. Precesja i nutacja.
Precesja: Jeżeli na obręcz wirującą wokół osi największego momentu bezwładności działa w układzie inercjalnym siła równoległa do osi obrotu to moment siły jest prostopadły do osi obrotu, moment pędu . Jeśli siła podziała w czasie , to . Wektor obróci się i przyjmie położenie . Moment sił zewnętrznych powoduje obrót wektora , a wraz z nim obrót osi symetrii — zjawisko to nosi nazwę precesji.
Nutacja jest to precesja dla której wypadkowy moment siły .
12. Prędkość precesji.
Prędkość precesji jest to prędkość kątowa, z jaką oś bąka zakreśla pobocznicę stożka:
— prędkość precesji; — ciężar bąka; — odległość środka masy od punktu podparcia; — moment pędu.
13. Doświadczenia Michaelsona-Morleya.
Istota tego doświadczenia polega na tym, że jeśli hipotetyczny eter jest w spoczynku lub porusza się względem Słońca to prędkość Ziemi , poruszającej się wokół Słońca i prędkość światła emitowanego przez źródła znajdujące się na Ziemi, będą raz się dodawać a raz odejmować. Zmierzona w różnych punktach toru Ziemi i w różnych kierunkach względem tego toru, prędkość światła , zgodnie z transformacjami Galileusza powinna być różna. W pomiarach zastosowano metodę interferometryczną. Interferometr składa się on z dwu prostopadłych do siebie ramion o identycznej długości, z których jedno było równoległe do toru Ziemi w jej ruchu wokół Słońca. Czasy przebiegu światła w kierunku prostopadłym i równoległym do powinne się różnić i interferujące ze sobą promienie świetlne, biegnące wzdłuż ramion interferometru muszą dać obraz interferencyjny spowodowany różnicą dróg optycznych tych promieni. Doświadczenie nie wykazało jednak przesunięcia prążków większego od błędu metody. Taki wynik oznaczał, że prędkość światła jest stała dla każdego obserwatora w układzie inercjalnym i nie zależy od układu odniesienia.
14. Skrócenie długości i wydłużenie czasu.
Skrócenie:
— długość pręta w układzie spoczywającym,
— długość pręta mierzona w układzie poruszającym się; — prędkość względna obu układów;
Wydłużenie czasu;
— czas w układzie spoczywającym
— czas w układzie poruszającym się
15. Dodawanie prędkości relatywistycznej.
Transformacja Lorenza:
; ; ;
Transformacja prędkości:
;
; ;
Składanie prędkości równoległych:
— prędkość względem układu spoczywającego.
16. Masa i energia.
Związek między masą a energią:
— energia całkowita; — masa relatywistyczna;
— energia spoczynkowa; — energia kinetyczna.
17. Oscylator harmoniczny prosty.
Równanie oscylatora harmonicznego prostego:
— wychylenie z położenia równowagi; — maksymalna wartość wychylenia z położenia równowagi (amplituda drgań); — częstość kołowa drgań; — okres drgań; — częstotliwość drgań; — faza początkowa.
Siła w ruchu harmonicznym:
— siła harmoniczna; — współczynnik proporcjonalności między siłą a wychyleniem.
Równanie różniczkowe drgań harmonicznych:
; ; — masa drgającego ciała.
Energia potencjalna drgań harmonicznych:
— energia potencjalna drgań dla siły ;
Energia całkowita drgań harmonicznych:
; — energia kinetyczna;
18. Oscylator harmoniczny tłumiony.
Równanie oscylatora harmonicznego tłumionego:
— wychylenie z położenia równowagi.
— amplituda drgań ; — amplituda początkowa;
— współczynnik tłumienia ( — współczynnik oporu ośrodka);
— czas relaksacji (czas, po którym amplituda zmaleje razy);
— częstość drgań tłumionych ( — częstość drgań własnych);
Równanie różniczkowe drgań tłumionych:
19. Dodawanie drgań. Dudnienie. Krzywe Lissajous.
Składanie drgań równoległych o jednakowych częstościach:
— drganie pierwsze; — drganie drugie;
— drganie wypadkowe; — amplituda drgania wypadkowego; ; — faza początkowa drgania wypadkowego.
Składanie drgań równoległych o różnych częstościach:
— drganie pierwsze; — drganie drugie;
— drganie wypadkowe; — faza drgania wypadkowego;
Dudnienia:
Jeżeli , to czynnik zmienia się w funkcji czasu powoli w porównaniu z czynnikiem . Pozwala nam to traktować jako drganie harmoniczne o częstości i o zmiennej w czasie amplitudzie. Amplituda zmienia się w czasie z częstością (częstość dudnień).
Składanie drgań prostopadłych o jednakowej częstości drgań:
— wychylenie wzdłuż osi OY; — wychylenie wzdłuż osi OX; — przesuniecie fazowe między drganiami;
— równanie toru cząstki poruszającej się pod wpływem dwu drgań wzajemnie prostopadłych.
Krzywe Lissajous:
Jeżeli częstości dwu drgań wzajemnie prostopadłych są różne to tor ruchu wypadkowego jest dość złożoną krzywą. W przypadku, gdy stosunek częstości jest liczbą wymierną, tor będzie krzywą zamkniętą, tzw. krzywą Lissajous. W zależności od różnicy faz początkowych obydwu drgań otrzymujemy różne kształty tych krzywych. Wielkością niezmienną jest stosunek liczby przecięć krzywej z prostą pionową do liczby przecięć z prostą poziomą. Stosunek ten jest równy stosunkowi częstości drgań OX do częstości OY.
20. Przybliżenie małego tłumienia.
Jeżeli w ruchu harmonicznym tłumionym jest spełniony warunek ( — współczynnik tłumienia, — częstość drgań własnych) to mówimy, że tłumienie jest słabe. W takim przypadku , . Wtedy energia całkowita w przybliżeniu wynosi:
; .
21. Oscylator wymuszony.
Równanie oscylatora harmonicznego wymuszonego:
— równanie drgań wymuszonych w stanie ustalonym;
; — amplituda siły wymuszającej;
— częstość siły wymuszającej; — częstość drgań własnych; — współczynnik tłumienia;
— opóźnienie fazy drgania wymuszonego względem siły wymuszającej — ;
— amplituda rezonansowa;
— częstość rezonansowa;
Równanie różniczkowe drgań wymuszonych:
.
22. Klasyczne równanie fali. Drganie strun.
Klasyczne równanie fali:
— klasyczne równanie falowe;
— drganie;
;
— fala biegnąca;
— amplituda nie zależy od czasu — fala stojąca;
Drganie strun:
Drgania struny zamocowanej z dwóch końców:
Drganie struny jest ruchem cząsteczek struny opisywanym przez równanie fali stojącej:
;
Długości fal stojących wzbudzonych w strunie a w konsekwencji częstości drgań struny wynikają z warunku brzegowego, że w miejscach zamocowania struny powinny występować węzły. Drgania harmoniczne o częstościach nazywają się drganiami własnymi lub normalnymi. W ogólnym przypadku drgania struny stanowią złożenie wielu drgań własnych, z tym, że amplitudy drgań własnych mogą być różne.
— długości fal stojących; — częstotliwości własne struny;
— częstotliwość podstawowa; — długość struny
Drgania struny zamocowanej z jednego końca:
Długości fal stojących wzbudzanych w strunie w tym przypadku wynikają z warunku brzegowego, że w miejscu zamocowania struny występuje węzeł a w miejscu wolnym — strzałka.
Równanie fali:
— równanie fali płaskiej rozchodzącej się w kierunku osi OX.
— amplituda fali; — częstość kołowa drgań źródła; — liczba falowa;
— prędkość fazowa fali; — długość fali; — częstotliwość drgań punktów ośrodka;
23. Drgania periodyczne. Analiza Fouriera.
Twierdzenie Fouriera:
Dźwięki, a więc i drgania źródeł podlegają zasadzie superpozycji, można je więc rozłożyć na sumę drgań składowych o stałych częstotliwościach, będącymi kolejnymi wielokrotnościami najmniejszej częstotliwości zwanej częstotliwością podstawową (inna dla różnych źródeł dźwięku).
24. Równania ciągłości Bernouliego (wypływ cieczy z rury).
Przy przepływie idealnej cieczy iloczyn prędkości cząsteczek i pola powierzchni i pola powierzchni przekroju (= natężenie przepływu) jest wielkością stałą .
Przy przepływie cieczy suma trzech ciśnień: zewnętrznego, hydrostatycznego i hydrodynamicznego jest stała:
25. Przepływ laminarny. Wzór Poissona.
Prędkość () jest tsła w każdym dowolnie wybranym miejscu i nie zależy od czasu.
Wzór Poissona:
— objętość cieczy przepływającej przez przekrój poprzeczyn w jednostce czasu.
26. Ruch ciał w płynach (wzór Stokesa, siła nośna).
Na opór ruchu ciała ma wpływ lepkość cieczy. Dla małych prędkości, siła tarcia zewnętrznego jest wprost proporcjonalna do . Poza tym zależy od wymiaru liniowego ciała () i od współczynnika lepkości .
Wzór Stockesa ( — promień kulki)
27. Gaz doskonały i rzeczywisty.
Gaz doskonały — oddziaływanie międzycząsteczkowe jest do pominięcia;
( — uniwersalna stała gazowa);
Dla gazu doskonałego jest proporcjonalna do temperatury i nie zależy od innych parametrów stanu.
Dla gazu rzeczywistego — ;
a— poprawka na oddziaływanie międzycząsteczkowe;
b— poprawka na objętość własną gazu;
28. Pierwsza zasada termodynamiki.
— energia wewnętrzna; — ciepło; — praca;
W dowolnej przemianie termodynamicznej układu zamkniętego zmiana energii wewnętrznej jest równa ciepłu dostarczonemu i pracy wykonanej nad układem.
29. Druga zasada termodynamiki (cykl Carnota).
Entalpia jest stała dla przemian odwracalnych.
Cykl Carnota:
Sprawność silnika:
30. Funkcje stanu. dla gazu rzeczywistego i doskonałego.
Funkcje stanu:
Równanie gazu doskonałego:
Jeśli masa gazu doskonałego nie zmienia się, to ciśnienie , temperatura i objętość gazu spełniają równanie:
— równanie Clapeyrona; — uniwersalna stała gazowa —
— energia wewnętrzna; — energia swobodna; — entalpia; — entalpia swobodna;
:
— ciepło molowe przy stałym ciśnieniu;
— ciepło molowe przy stałej objętości;
Dla gazu doskonałego ():
— funkcja stanu;
Dla przy dużych gęstościach gaz rzeczywisty odbiega od zależności ;
Dodatek:
— energia wewnętrzna; — energia swobodna; — entalpia; — entalpia swobodna;
31. Fala biegnąca. Energia fali elektromagnetycznej. Wektor Payntinga.
Wektor Payntinga opisujący energetyczne właściwości fali określony jest wzorem: ; kierunek i zwrot taki sam jak prędkość rozchodzenia się fali;
— gęstość strumienia energii;
— ilość energii () przeniesiona przez falę w czasie () przez powierzchnię prostopadłą do czoła fali ().
— gęstość pola magnetycznego.
32. Prędkość fazowa i grupowa.
Prędkość fazowa:
— prędkość fazowa;
— współczynnik załamania ośrodka, w którym rozchodzi się fala.
— dyspersja;
Prędkość grupowa (prędkość przenoszenia energii przez falę):
;
; ; ; ; ;
Gdy prędkość fazowa nie zależy od to wtedy .
33. Równania Maxwella (sens równań).
1). — równanie całkowe;
Prawo Faradaya dla indukcji elektromagnetycznej: zmienne pole magnetyczne wytwarza wirowe pole elektryczne, które może wywołać prąd elektryczny.
— równanie różniczkowe;
2). — równanie całkowe;
— gęstość prądu;
Uogólnione prawo Ampere'a: Prąd elektryczny lub zmienne pole elektryczne wytwarza wirowe pole magnetyczne;
— równanie różniczkowe;
3). — równanie całkowe;
Prawo Gaussa dla pola elektrycznego mówi, że źródłami pola elektrycznego są ładunki. Jeżeli brak ładunków, to linie pola elektrycznego są liniami zamkniętymi.
— równanie różniczkowe;
4). — równanie całkowe;
Prawo Gaussa dla pola magnetycznego: nie istnieją w przyrodzie ładunki magnatyczne. Linie indukcji pola magnetycznego są liniami zamkniętymi.
— równanie różniczkowe;
34. Prawo Gaussa. Pole tworzone przez naładowaną kulę (metal lub izolator), płaszczyznę, dwie płaszczyzny(kondensator) i walec.
Twierdzenie Gaussa: ;
Prawo Gaussa: ;
— wektor natężenia pola;
— całkowity ładunek;
— strumień wektora;
— przenikalność elektryczna ośrodka otaczającego ładunki;
Pole dla jednorodnie naładowanych brył:
Kula: dla ; — promień kuli;
Płaszczyzna: ; — gęstość powierzchniowa ładunku;
Dwie płaszczyzny: ; — natężenie pola pochodzącego od płaszczyzny naładowanej dodatnio; — natężenie pola pochodzącego od płaszczyzny naładowanej ujemnie;
Walec: ;
35. Indukcja pola magnetycznego wytworzona przez przewodnik z prądem (jednostki).
Indukcja magnetyczna wytworzona przez przewodnik z prądem:
— przenikalność magnetyczna próżni;
Indukcja magnetyczna wytwarzana przez solenoid:
Na zewnątrz cewki pola magnetycznego brak:
; ; ;
Wewnątrz:
; ; — ilość zwojów solenoidu; — długość solenoidu; — natężenie prądu;
36. Dielektryki (wektory , , ) i histereza.
39. Interferencja światła (wyprowadzić wzory).
; ; — okres fali; — długość fali; — faza początkowa; — amplituda; — liczba falowa;
;
;
Wypadkowa fala płaska:
; ;
1. Zasada względności Galileusza.
24. Równania ciągłości Bernouliego (wypływ cieczy z rury).
25. Przepływ laminarny. Wzór Poissona.
26. Ruch ciał w płynach (wzór Stokesa, siła nośna).
27. Gaz doskonały i rzeczywisty.
28. Pierwsza zasada termodynamiki.
29. Druga zasada termodynamiki (cykl Carnota). 2
30. Funkcje stanu. dla gazu rzeczywistego i doskonałego 4
31. Fala biegnąca. Energia fali elektromagnetycznej. Wektor Payntinga. 3
32. Prędkość fazowa i grupowa. 3
33. Równania Maxwella (sens równań). 4
34. Prawo Gaussa. Pole tworzone przez naładowaną kulę (metal lub izolator), płaszczyznę, dwie płaszczyzny(kondensator) i walec. 5
35. Indukcja pola magnetycznego wytworzona przez przewodnik z prądem (jednostki). 5
36. Dielektryki (wektory , , ) i histereza. 6
37. Magnetyki (wektory , , ) i histereza. 7
38. Równanie fali elektromagnetycznej (wyprowadzenie z równań Maxwella). 8
39. Interferencja światła (wyprowadzić wzory). 9
40. Doświadczenie Younga. 10
41. Koherencja czasowa i przestrzenna. 10
42. Prążki równego wychylenia. 11
43. Rozkład Maxwella-Boltzmanna (wzory).