Liczba e

(oznaczenie wprowadził w 1736r. szwajcarski matematyk Leonhard Euler, a jej przybliżoną wartość obliczył w 1728r. szwajcarski matematyk Daniel Bernoulli)

The number e first comes into mathematics in a very minor way. This was in 1618 when, in an appendix to Napier's work on logarithms, a table appeared giving the natural logarithms of various numbers. However, that these were logarithms to base e was not recognised since the base to which logarithms are computed did not arise in the way that logarithms were thought about at this time.

(John Napier 1550 - 1617) - wprowadził liczbę e do matematyki

Euler pokazał, że

e = 1 + ¹/_1! + ¹/_2! + ¹/_3! + ... oraz e =
(1 + ¹/_n)ⁿ

gdzie n! jest silnią liczby n (n!=1x2x3x4x...n)

Euler podał przybliżenie e z 18 miejscami po przecinku,

e = 2.718281828459045235...

W oparciu o liczbę został wprowadzony logarytm o podstawie e zwany logarytmem naturalnym

log_ex = lnx

In 1864 Benjamin Peirce had his picture taken standing in front of a blackboard on which he had written the formula

.

In his lectures he would say to his students:

Gentlemen, we have not the slightest idea what this equation means,

but we may be sure that it means something very important.

n	(1 + ^1/n)^n
1	2,00000000000000000000
11	2,60419901189753000000
31	2,67569630591468000000
71	2,69938286996830000000
81	2,70168999138346000000
101	2,70494597748515000000
111	2,70613757203900000000
121	2,70713368818801000000
itd.

Dowodzi się, że ciąg (1+1/n)ⁿ jest rosnący i ograniczony z góry, a zatem jest zbieżny. Wiadomo, że e jest liczbą niewymierną (co udowodnił Leonhard Euler), a nawet przestępną (co udowodnił Charles Hermite, liczba przestępna to taka liczba rzeczywista lub zespolona, która nie jest pierwiastkiem żadnego wielomianu jednej zmiennej o współczynnikach całkowitych: a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x¹ + a₀ = 0).

Właściwości

• e jest podstawą takiej funkcji wykładniczej, że styczna do jej wykresu w punkcie (0, 1) ma współczynnik kierunkowy równy 1

• e jest podstawą takiego logarytmu, że styczna do wykresu funkcji logarytmicznej o tej podstawie w punkcie (1,0) ma współczynnik kierunkowy równy 1.

• pochodna funkcji (e^x)' = e^x

• z definicji wprost wynika, że funkcja wykładnicza o podstawie e jest odwrotną do logarytmu naturalnego: lne^x = x, e^lnx= x

• liczbę a^b mozna zapisac w postaci e^blna, tj. a do potęgi b jest rowne e do potegi o wykladniku b logarytmow naturalnych z a.

Kultura e: W celu zapamiętania kolejnych cyfr dziesiętnych liczby e tworzone są wierszyki, a nawet opowiadania (podobnie jak o liczbie π), w których długość każdego kolejnego słowa równa się kolejnej cyfrze w rozwinięciu dziesiętnym e:

"We present a mnemonic to memorize a constant so exciting that Euler exclaimed: '!' when first it was found, yes, loudly '!'. My students perhaps will compute e, us e power or Taylor series, an easy summation formula, obvious, clear, elegant!" (gdzie znak "!" oznacza cyfrę 0).

---