LIGA ZADANIOWA - ETAP 2

Czas dostarczenia rozwiązań: 8 grudnia 2008 r.

Zad 1. Znajdź cyfrę jedności liczby:
.

Zad. 2. Elementami zbiorów A, B, C są liczby: 1, 2, 3, …, 9. Wiadomo, że A
B = {1, 2}, B
C = {3, 7}, A
B = {1, 2, 3, 6, 7, 8}, A
C = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}. Wyznacz elementy każdego ze zbiorów A, B i C.

Zad. 3. Basen opróżnia się przez otwór w dnie w ciągu czterech godzin. Jeden z dwóch kranów napełnia basen w ciągu 1 godziny, a drugi w ciągu 2 godzin. Otwieramy obydwa krany i otwór w dnie. Oblicz, w jakim czasie napełnimy basen.

Zad. 4. Znajdź wszystkie liczby całkowite x, dla których wyrażenie:
ma wartość całkowitą.

Zad. 5. Oblicz:

. Wynik obliczenia przedstaw w najprostszej postaci.

Zad. 6. Ile jest liczb stucyfrowych, których suma cyfr jest równa:

1. dwa;

2. trzy.

Plik dostępny na: http://chomikuj.pl/matematyka4lo/Liga+zadaniowa/

LIGA ZADANIOWA - ETAP 2

Zad 1.

,
,
,

,

Zatem cyfrą jedności liczby:

• 
  , gdzie
  jest liczbą naturalną, która w wyniku dzielenia przez 4 daje:

• resztę 1, jest cyfra 7,

• resztę 2, jest cyfra 9,

• resztę 3, jest cyfra 3,

• resztę 0, jest cyfra 1.

• 
  , gdzie
  jest liczbą naturalną, która w wyniku dzielenia przez 4 daje:

• resztę 1, jest cyfra 8,

• resztę 2, jest cyfra 4,

• resztę 3, jest cyfra 2,

• resztę 0, jest cyfra 6.

• 
  , gdzie
  jest liczbą naturalną, która w wyniku dzielenia przez 2 daje:

• resztę 1 (
  - liczba nieparzysta), jest cyfra 9,

• resztę 0 (
  - liczba parzysta), jest cyfra 1.

Cyfrą jedności liczby
jest 3,
jest 6,
jest 9. Ponieważ
, zatem cyfrą jedności
jest 8.

Zad. 2

1		1		2		3		4		5		6	7		8		9
A		®		®
B		®		®
C
2		1		2		3		4		5		6			7		8		9
A						×									×
B						®									®
C		×		×		®									®

3		1		2		3		4		5		6	7		8		9
A								×		×							×
B								×		×							×
C
4		1		2		3		4		5		6			7		8		9
A												×					×
B												®					®
C								®		®		×					×		®

5	1	2	3	4	5	6	7	8	9
A	®	®	×	×	×	×	×	×	×
B	®	®	®	×	×	®	®	®	×
C	×	×	®	®	®	×	®	×	®

1. A
B = {1, 2}, zatem 1 i 2 należą zarówno do A i B.

2. B
C = {3, 7}, zatem 3 i 7 należą zarówno do B i C, 1 i 2 nie należy do C, 3 i 7 nie należy do A.

3. A
B = {1, 2, 3, 6, 7, 8}, zatem 4, 5, 9 nie należy zarówno do A i B

4. A
C = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}, zatem 6, 8 nie należy zarówno do A i C; 4, 5 , 9 należy do C; 6, 8 należy do B.

5. Połączmy wszystkie 4 tabelki. Stąd:

A = {1, 2} , B = {1, 2, 3, 6, 7, 8}, C = {3, 4, 5, 7, 9}

Zad. 3.

- ilość wody (w litrach), która wypływa z basenu przez otwór w dnie w ciągu 1 godz.

- ilość wody (w litrach), która wpływa do basenu przez 1 kran w ciągu 1 godz.

- ilość wody (w litrach), która wpływa do basenu przez 2 kran w ciągu 1 godz.

- objętość basenu

- poszukiwany czas

Z treści zadania wynika układ równań:

Z ostatniego równania wynika, że




[godz.] = 48 [min].

Zad. 4.

=
=
=
.

Rozpatrzmy 4 przypadki:

1. 
   
   Wtedy licznik i mianownik
   jest dodatni. Aby ułamek był liczbą naturalną, licznik musi być większy lub równy mianownikowi. Czyli:

Jak widać z rysunku nie ma takich liczb, które spełniają oba te warunki.

2. 
   Wtedy
   2
   . ◄

3. 
   
   Zapiszmy
   
   =
   . Wtedy licznik i mianownik
   jest dodatni. Aby ułamek był liczbą naturalną, licznik musi być większy lub równy mianownikowi. Czyli:

Jak widać z rysunku są dwie liczby całkowite, które spełniają oba warunki.

. ◄

4. 
   
   Wtedy licznik i mianownik
   jest ujemny. Aby ułamek był liczbą naturalną, licznik musi być mniejszy lub równy mianownikowi. Czyli:

Jak widać z rysunku są cztery liczby, które spełniają oba te warunki.

. ◄

Odp.




. (Symbol
czytamy „lub”).

Zad. 5.
=

=
=

=
=

=
=
=
=

Zad. 6.

3. 2 = 1 + 1 + 0 + … + 0 = 2 + 0 + … + 0

Więc pierwszą cyfrą szukanej liczby może być 2, a pozostałe cyfry to 0. Jest jedna taka liczba.

Drugą możliwością jest, że pierwszą cyfrą jest 1. Jest 99 takich liczb.

.

Odp. 1 + 99 = 100. Szukanych liczb jest 100.

4. 3 = 1 + 1 + 1 + 0 + … + 0 = 2 + 1 + 0 + … + 0 = 3 + 0 + … + 0

Więc pierwszą cyfrą szukanej liczby może być 3, a pozostałe cyfry to 0. Jest 1 taka liczba.

Drugą możliwością jest, że pierwszą cyfrą jest 2. Jest 99 takich liczb.

.

Trzecią możliwością jest, że pierwszą cyfrą jest 1.

(98)

(97)

…

(1)

(Skorzystałem z wzoru podanym w poprzednich rozwiązaniach).

Odp.
4951. Szukanych liczb jest 4951.

-5,5

7

-5,5

---