LIGA ZADANIOWA - ETAP 1

Czas dostarczenia rozwiązań: 21 listopada 2008 r.

Zad 1. Pewien człowiek prowadzi psa na smyczy w stronę domu, ze stałą prędkością 4 mil na godzinę. W odległości 10 mil od domu pies zostaje spuszczony ze smyczy i natychmiast biegnie do domu z prędkością 6 mil na godzinę. Po dotarciu na miejsce pies zawraca i biegnie do pana z tą samą prędkością. Dobiegłszy do pana, znowu zawraca w kierunku domu. Sytuacja taka powtarza się, aż w końcu właściciel psa dociera do domu i wpuszcza psa do środka. Ile mil przebiegnie pies od chwili spuszczenia ze smyczy do chwili wejścia do domu?

Zad. 2. Siostra jest o trzy lata młodsza od brata. Brat ma obecnie dwa razy tyle lat, ile miała siostra wtedy, kiedy brat miał tyle, ile ma siostra teraz. Ile lat ma siostra, a ile brat?

Zad. 3. Aby skosić łan zboża pierwszy kosiarz potrzebuje 6 godzin, drugi kosiarz 5 godzin, trzeci kosiarz 4 godziny, czwarty kosiarz 3 godziny, piąty kosiarz 2 godziny. Ile godzin zajmie im skoszenie łanu zboża, jeżeli będą pracować razem, każdy ze swoją wydajnością?

Zad. 4. Oblicz:

Zad. 5. Rozwiąż układ równań:

Zad. 6. Wpisz brakujące liczby od 1 do 16 tak, aby powstał kwadrat magiczny, w którym suma liczb w każdej linii pionowej, poziomej i na przekątnych jest taka sama.

		15
5		10

Zad 1. Całą drogę pies musi pokonać w takim samym czasie, co czas potrzebny człowiekowi na powrót do domu, czyli:

.

Odp. Pies przebiegnie od chwili spuszczenia ze smyczy do chwili wejścia do domu dystans 15 mil.

Zad. 2.

: wiek (obecny) brata.

Siostra jest o trzy lata młodsza od brata, czyli
, to wiek (obecny) siostry.

3 lata temu brat miał
(czyli tyle co siostra ma teraz), a siostra miała
lat.

Brat ma obecnie dwa razy tyle lat, ile miała siostra wtedy.

Odp. Brat ma 12 lat, a siostra 9.

Zad. 3. Jako ciekawostka (niezwiązanie z rozwiązaniem):

Miary wielkości łana na ziemiach polskich

1 łan (huba) pruska 16,5 ha (~30 morg, = 66 pruskich morg)

1 łan frankoński 24,2 ha (48 morg) Małopolska

1 łan chełmiński 17,995 ha (~30 morg)

1 łan brandenburski 17,0215 ha (~30 morg)

1 łan warmiński 17,3387 ha (Prusy, (~30 morg, ~ 67 pruskich morg)

1 łan oleski 15,648 ha (Prusy Wschodnie 1720)

Rozwiązanie:

- ilość zboża, którą kosi 1 kosiarz w ciągu 1 godziny;

- ilość zboża, którą kosi 2 kosiarz w ciągu 1 godziny;

- ilość zboża, którą kosi 3 kosiarz w ciągu 1 godziny;

- ilość zboża, którą kosi 4 kosiarz w ciągu 1 godziny;

- ilość zboża, którą kosi 5 kosiarz w ciągu 1 godziny;

- czas potrzebny na wspólne skoszenie łana zboża.

,
,
,
,

,
,
,
,

.

Odp. Wspólne skoszenie łana zboża zajmie im
godziny.

Zad. 4.

=
=

= 24.

Zad. 5. Z (iii) i (iv) równania otrzymujemy:

co po podstawieniu daje:
, czyli
.

Teraz, z (ii) i (iii) równania otrzymujemy:

co po podstawieniu daje:
, czyli
.

Ponownie, z (i) i (ii) równania otrzymujemy:

co po podstawieniu daje:
, czyli
.

A z równania (i) wynika, że
.

Odp.

Zad. 6. Suma liczb w każdej linii pionowej, poziomej i na przekątnych jest taka sama, czyli równa
sumie wszystkich liczb od 1 do 16:

Skorzystałem tu z wzoru na sumę:
.

Jest wiele możliwych rozwiązań (), między innymi następujące:

4	9	15	6
14	7	1	12
5	16	10	3
11	2	8	13
12	1	15	6
4	9	7	14
5	8	10	11
13	16	2	3

www.pitagorejczycy.strefa.pl

---