Zadanie 1

Dane jest ZPL:

1. rozwiązać metodą graficzną

2. jak zmieni się zbiór rozwiązań optymalnych po usunięciu warunku
   ?

3. Jak zmieni się zbiór rozwiązań optymalnych, jeżeli układ warunków ograniczających zostanie zmodyfikowany do postaci

Zadanie 2 Przedsiębiorstwo transportowe obsługuje przewóz kruszywa budowlanego z dwóch kamieniołomów K1 i K2 dla trzech budów A, B i C. Tabela podaje koszt przewozu 1 tony ładunku pomiędzy każdym z kamieniołomów a poszczególnymi budowami:

	A	B	C
K1	25	18	15
K2	20	22	20

1. ułożyć ZPL dla problemu minimalizacji łącznego kosztu transportu, przy którym działalność przedsiębiorstwa jest rentowna, jeżeli wiadomo, że kamieniołom K2 może tygodniowo dostarczyć każdą ilość kruszywa, a kamieniołom K1 maksymalnie 180 ton, a dla podtrzymania frontu robót każda z budów A, B, C potrzebuje w ciągu tygodnia przynajmniej po 60 ton tego surowca. Wiadomo również, że budowa A nie jest w stanie przerobić więcej niż 100 ton kruszywa tygodniowo. Dodatkowo zakłada się, że działalność przedsiębiorstwa transportowego jest rentowna, jeżeli wielkość przewozów wynosi co najmniej 280 ton w ciągu tygodnia.

2. Ocenić, który z następujących planów przewozowych jest najlepszy: PLAN I - kruszywo przewozi się tylko z kamieniołomu K2 w ilości po 100 ton na każdą budowę; PLAN II - przewozi się 150 ton z kamieniołomu K1 na budowę C oraz po 50 ton z kamieniołomu K2 na budowy A, B i C; PLAN III - przewozi się po 75 ton z kamieniołomu K1 na budowy A i C oraz 150 ton z kamieniołomu K2 na budowę B.

Zadanie 3. Dane jest ZPL

p.w.

(1)

(2)

(3)

(4)

a. podaj rozwiązanie optymalne tego zadania i maksymalną wartość funkcji celu

b. jak zmieni się maksymalna wartość funkcji celu po wyeliminowaniu ze zbioru warunków ograniczających warunku (2)?

c. Dla jakich wartości współczynnika funkcji celu przy zmiennej
punkt
jest rozwiązaniem optymalnym tego zadania?

d. Dla jakich wartości wyrazu wolnego w warunku ograniczającym (2) zbiór rozwiązań optymalnych tego zadania jest odcinkiem?

Zadanie 4. Zakład przetwórstwa owocowego specjalizuje się w produkcji trzech dżemów o nazwach handlowych: Owocowa Słodycz (OS), Ogrodowe Delicje (OD) i Przysmak Łasucha (PŁ). Do ich wytworzenia zużywa się agrest, porzeczki i koncentrat słodzący. Tabela przedstawia normy zużycia tych składników oraz ceny sprzedaży dżemów:

Nazwa	Zużycie (w kg) składników na 1 kg dżemu			Cena sprzedaży 1 kg dżemu w zł
		agrest	porzeczki		Koncentrat
OS	0,5	1	2	10
OD	1	0,5	2	12
PŁ	1	1	1	15

W bieżącym kwartale zakład posiada 15 ton agrestu, 12 ton porzeczek i 25 ton koncentratu.

Zbudowano zadanie programowania liniowego pozwalające ustalić kwartalny plan produkcji dżemów maksymalizujący przychód ze sprzedaży. Jako zmienne decyzyjne przyjęto ilość każdego rodzaju dżemu wyrażoną w kilogramach. O rozwiązaniu optymalnym tego zadania wiadomo, co następuje:

Zmienne decyzyjne
Nazwa	Wartość końcowa	Współczynnik funkcji celu	Zakres zmienności od do
OS	0	10	-*	10,5
OD	6000	12	7,5	12,5
PŁ	9000	15	14,(6)	24
Warunki ograniczające
Nazwa	Cena dualna	Prawa str. war. ogr.	od	do
Agrest	9	15000	12000	16000,(3)
Porzeczki	6	12000	10000	15000
koncentrat	0	25000	21000	+*

a. Podaj optymalny plan produkcji dżemów oraz przychód z ich sprzedaży możliwy do osiągnięcia przez przetwórnię. Czy po wykonaniu tego planu w magazynach przetwórni pozostaną niewykorzystane zapasy surowców?

b. Scharakteryzuj wpływ ceny Owocowej Słodyczy na optymalny plan produkcji.

c. O ile zmieniłby się maksymalny przychód przetwórni, gdyby miała do dyspozycji o 2,5 tony porzeczek więcej niż obecnie? Jaki wpływ na przychód miałoby zmniejszenie zapasów koncentratu o 3 tony?

d. Czy optymalny plan produkcji ulegnie zmianie, gdy cena sprzedaży dżemów OS i OD wzrośnie o 10%, a dżemu PŁ o 20%?

Zadanie 5. Dla pewnego trzygałęziowego zamkniętego układu gospodarczego dane są macierz struktury kosztów oraz macierz odwrotna do macierzy Leontiewa:

,
.

W okresie t wartość produktu globalnego wyniosła: w gałęzi I 1000 jp., w II 800, w III 600.

a. podaj TPM dla roku t;

b. oblicz współczynnik rentowności produkcji gałęzi II, jeżeli wartość zużycia środków trwałych w tej gałęzi stanowi 25% kosztów materialnych, a płace 15% produkcji globalnej;

c. dla okresu t+1 oblicz, o ile powinna wzrosnąć produkcja globalna gałęzi II, aby uzyskać wzrost produkcji końcowej w każdej gałęzi o 2 jp.

Zadanie 6. Na podstawie kwartalnych danych z lat 2005-2008 oszacowano model trendu produkcji cementu (P, w tys. ton) z uwzględnieniem wahań kwartalnych (binarne zmienne Z2, Z3 i Z4 o wartościach 1 w danym kwartale, 0 w pozostałych) :

R²=0,8965

(287) (35) (324) (330) (339)

a. podaj interpretację oszacowania parametru przy zmiennej czasowej;

b. podaj interpretację oszacowania parametru przy zmiennej Z4;

c. który parametr został oszacowany najdokładniej?

d. wyznacz prognozę produkcji cementu na pierwsze półrocze 2009.

Zadanie 7. Pizzeria „Margarita” czynna w sezonie letnim codziennie, oprócz poniedziałków, prowadzi dostawę na telefon oraz obsługuje klientów w sali restauracyjnej i przyległym ogródku. Oszacowano model wyjaśniający dzienne obroty pizzerii (w tys. zł) w zależności od dnia tygodnia (0 dla dni roboczych, 1 w weekendy i święta), pogody (1 dla dni pogodnych, 0 dla deszczowych) oraz liczby osób pracujących danego dnia.

Estymacja KMNK z wykorzystaniem 23 obserwacji (od wtorku do soboty)

Zmienna zależna: obroty

Zmienna	Współczynnik	Błąd stand.	Statystyka t	wartość p
Const	5,38015	2,1028	2,5586	0,01921	**
Dzień_tygodnia	2,1741	0,533164	4,0777	0,00064	***
Pogoda	2,68642	0,322456	8,3311	<0,00001	***
Personel	1,06054	0,163723	6,4776	<0,00001	***

Średnia arytmetyczna zmiennej zależnej = 22,1096 Odchylenie standardowe zmiennej zależnej = 2,3771

Suma kwadratów reszt = 8,64982 Błąd standardowy reszt = 0,674725

Wsp. determinacji R² = 0,930419 Skorygowany R² = 0,919433

Statystyka F (3, 19) = 84,6878 (wartość p < 0,00001) Statystyka testu Durbina-Watsona = 2,40567

Autokorelacja reszt rzędu pierwszego = -0,230551 Logarytm wiarygodności = -21,3891

Kryterium informacyjne Akaike'a = 50,7782 Kryterium bayesowskie Schwarza = 55,3202

Kryterium infor. Hannana-Quinna = 51,9205

Test RESET na specyfikację - Hipoteza zerowa: specyfikacja poprawna

Statystyka testu: F(2, 17) = 2,76649 z wartością p = P(F(2, 17) > 2,76649) = 0,0911715

Test White'a na heteroskedastyczność reszt (zmienność wariancji resztowej) -

Hipoteza zerowa: heteroskedastyczność reszt nie występuje

Statystyka testu: TR² = 9,94765 z wartością p = P(Chi-Square(7) > 9,94765) = 0,191559

Test na normalność rozkładu reszt - Hipoteza zerowa: składnik losowy ma rozkład normalny

Statystyka testu: Chi-kwadrat(2) = 3,83458 z wartością p = 0,147005

Statystyka Durbina-Watsona dla 5% poziomu istotności, n = 23

Liczba zmiennych modelu (wyłączając wyraz wolny):

1 2 3 4 5 10

dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU

1,26 1,44 1,17 1,54 1,08 1,66 0,99 1,79 0,90 1,92 0,47 2,67

Wartości krytyczne rozkładu t-Studenta (poziom istotności 0.05)

l.stopni swobody	18	19	20	21	22	23
	2,1	2,093	2,086	2,079	2,074	2,069

a. czy zmienne objaśniające są istotne?

b. czy spełnione są założenia KMNK dotyczące składnika losowego?

c. na podstawie oszacowanego modelu wyznacz prognozę punktową obrotów pizzerii na kolejne 3 dni (niedziela, wtorek, środa), jeśli w niedzielę przewiduje się ładną pogodę, a we wtorek i środę deszcz, zaś do pracy ma przyjść odpowiednio 16, 13 i 14 osób.

d. średnie błędy prognozy ex ante dla danych z punktu c wynoszą: 0.762, 0.737, 0.765. Wyznacz i zinterpretuj prognozy przedziałowe.

e. wiedząc, że rzeczywiste obroty pizzerii wyniosły 26,85 w niedzielę, 19,12 we wtorek i 19,64 w środę, wyznacz MAE i RMSE.

Zadanie 8. Dla danych w postaci szeregu czasowego oszacowano funkcję produkcji postaci

,

gdzie:

Y_t - wielkość produkcji w roku t (mln jp.),

K_t - nakłady kapitału (mln jp.),

L_t - zatrudnienie (tys. os.).

a. zinterpretuj oszacowania parametrów

b. o ile trzeba zmienić zatrudnienie, aby przy technicznym uzbrojeniu pracy równym 2 i wzroście nakładów kapitału o 1 mln jp. wielkość produkcji pozostała niezmieniona?

c. o ile wzrośnie wielkość produkcji, jeśli nakłady kapitału i pracy zostaną zwiększone o 30%?

d. wyznacz i zinterpretuj krańcową produkcyjność kapitału dla K=1 i L=3.

Zadanie 9. Na podstawie danych przekrojowych szacowano model rocznego wynagrodzenia szefów (zmienna W, w tys. USD), w zależności od rocznej sprzedaży firmy (S, mln USD) oraz stopy zwrotu z kapitału (R, w %)

.

a. podaj i zinterpretuj elastyczność zarobków względem obrotów firmy

b. w jaki sposób zarobki zależą od stopy zwrotu z kapitału?

c. roczne obroty firmy A są o 5% niższe niż w firmie B. Porównaj zarobki szefów obu firm.

Zadanie 10. Dana jest oszacowana na podstawie szeregu czasowego funkcja produkcji

,

Y - wartość produkcji (mln. jp)

X1 - zatrudnienie (tys. os.)

X2 - wartość majątku produkcyjnego (mln jp)

Wiadomo, że dla roku t planuje się TUP=0.5

a. oblicz i zinterpretuj krańcową stopę substytucji pracy kapitałem.

b. okazało się, że na początku roku t konieczne jest zmniejszenie nakładów kapitału o 100 tys. jp. Co można zrobić, aby utrzymać produkcję na wcześniej planowanym poziomie?

c. zinterpretuj oszacowanie parametru przy zmiennej czasowej.

d. podaj interpretację parametrów przy zmiennych lnX2 i lnX2.

Zadanie 11. Na podstawie danych o 15 ostatnich transakcjach w pewnej agencji nieruchomości oszacowano model wyjaśniający zależność ceny mieszkania w mieście X (w tys. zł) w zależności od ich powierzchni (m kw.), średniego czasu dojazdu do centrum (min.) oraz położenia (zmienna binarna, 1 dla lewobrzeżnej, 0 dla prawobrzeżnej części miasta).

Estymacja KMNK z wykorzystaniem 15 obserwacji 1-15

Zmienna zależna: cena_miesz

Zmienna	Współczynnik	Błąd stand.	Statystyka t	wartość p
Const	64,7339	7,31613	8,8481	<0,00001	***
powierzchnia	1,65444	0,0655276	25,2479	<0,00001	***
czas_dojazdu	-0,515302	0,181385	-2,8409	0,01606	**
strona	20,2675	3,60949	5,6151	0,00016	***

Średnia arytmetyczna zmiennej zależnej = 173,533 Odchylenie standardowe zmiennej zależnej = 39,4459

Suma kwadratów reszt = 296,981 Błąd standardowy reszt = 5,19599

Wsp. determinacji R² = 0,986367 Skorygowany R² = 0,982649

Statystyka F (3, 11) = 265,286 (wartość p < 0,00001) Logarytm wiarygodności = -43,6762

Kryterium informacyjne Akaike'a = 95,3524 Kryterium bayesowskie Schwarza = 98,1846

Kryterium infor. Hannana-Quinna = 95,3223

1)Test RESET na specyfikację - Hipoteza zerowa: specyfikacja poprawna Statystyka testu: F(2, 9) = 3,88083 z wartością p = P(F(2, 9) > 3,88083) = 0,0609067

2)Test na normalność rozkładu reszt - Hipoteza zerowa: składnik losowy ma rozkład normalny

Statystyka testu: Chi-kwadrat(2) = 3,44096 z wartością p = 0,17898

3)Test White'a na heteroskedastyczność reszt (zmienność wariancji resztowej) - Hipoteza zerowa: heteroskedastyczność reszt nie występuje

Statystyka testu: TR² = 4,21019 z wartością p = P(Chi-Square(8) > 4,21019) = 0,837678

a. czy położenie mieszkania ma istotny wpływ na jego cenę?

b. jak cena mieszkania zależy od jego powierzchni?

c. jeśli planujesz zakup mieszkania w mieście X o powierzchni ok. 30 m kw. i położonego nie dalej niż 10 minut od centrum, na jaki wydatek musisz się przygotować?

Zadanie 12. Czy poniższe założenia są konieczne do zastosowania KMNK?

1. Macierz wariancji-kowariancji składnika losowego jest diagonalna.

2. Składnik losowy jest nieskorelowany ze zmiennymi objaśniającymi.

3. Składnik losowy ma stałą wariancję.

4. Wariancja składnika losowego jest znana.

5. Wariancja składnika losowego jest równa 0.

6. Macierz obserwacji dokonanych na zmiennych objaśniających jest nieosobliwa.

7. W modelu występuje wyraz wolny.

8. Zmienna objaśniana jest liniową funkcją zmiennych objaśniających.

9. Rząd macierzy obserwacji zmiennych objaśniających jest nie mniejszy od liczby tych zmiennych.

10. Zmienne objaśniające są ze sobą słabo skorelowane.

Zadanie 13. Czy za pomocą KMNK można szacować parametry modelu liniowego:

a. W którym zmienną objaśniającą jest opóźniona zmienna zależna, a model nie zawiera wyrazu wolnego?

b. Opisującego kształtowanie się produkcji zakładu (Y) od zatrudnienia robotników w wydziale produkcji podstawowej (X₁), zatrudnienia robotników w wydziale produkcji pomocniczej (X₂) oraz łącznego zatrudnienia robotników w obu wydziałach (X₃)

c. Opisującego zależność poziomu płacy w przedsiębiorstwie, w którego skład wchodzą zakłady wytwarzające ten sam wyrób, od wielkości produkcji w sztukach (X₁) oraz od wartości produkcji w mln zł (X₂), jeżeli cena zbytu produkowanego wyrobu jest taka sama dla wszystkich zakładów?

d. W którym występuje jedynie wyraz wolny i składnik losowy?

e. W którym wszystkie zmienne objaśniające mają charakter jakościowy?

Zadanie 14. Oszacowano model logitowy wyjaśniający zależność palenia (P=1 dla osób palących, 0 dla niepalących) od zmiennych: W - wiek w latach, WW - zmienna 0-1, wartość 1 dla osób z wyższym wykształceniem, M - zmienna 0-1 określająca płeć, wartość 0 dla mężczyzn.

Estymacja Logit z wykorzystaniem 10000 obserwacji 1-10000

Zmienna zależna: P

Zmienna	Współczynnik	Błąd stand.	Statystyka t	Efekt krańcowy^*
Const	-0,631078	0,0824564	-7,6535
W	-0,00723908	0,00195128	-3,7099	-0,0013062
WW	-0,862037	0,0704953	-12,2283	-0,155544
M	-0,16348	0,0473505	-3,4526	-0,029498

^*Efekty krańcowe dla średnich Srednia dla zmiennej smoker = 0,242

Liczba przypadków 'poprawnej predykcji' = 7577 (75,8%) f(beta'x) do średnich niezależnych zmiennych = 0,180

McFaddena pseudo-R² = 0,0174927 Logarytm wiarygodności = -5440,31

Test ilorazu wiarygodności: Chi-kwadrat(3) = 193,72 (wartość p 0,000000) Kryterium informacyjne Akaike'a (AIC) = 10888,6

Kryterium bayesowskie Schwarza (BIC) = 10917,5 Kryterium infor. Hannana-Quinna (HQC) = 10898,4

a. Podaj interpretację oszacowania parametru przy zmiennej W.

b. Oblicz prawdopodobieństwo, że 30-letnia kobieta z wyższym wykształceniem jest palaczką.

c. Jakie szanse na rzucenie palenia w ciągu następnego roku ma pani z punktu b)?

d. W której grupie osób spodziewasz się większego odsetka palaczy: wśród doktorantów Wydziału Mechanicznego Energetyki i Lotnictwa czy pensjonariuszek domu spokojnej starości?

Zadanie 15

Estymacja KMNK z wykorzystaniem 16 obserwacji 1971:3-1975:2 (dane kwartalne)

Zmienna zależna: Y

Zmienna	Współczynnik	Błąd stand.	Statystyka t	wartość p
const	13354,6	6485,42	2,0592	0,06186
X1	-3628,19	635,628	-5,7080	0,00010
X2	2633,75	1012,64	2,6009	0,02319
X3	-19,2539	30,6946	-0,6273	0,54223

Średnia arytmetyczna zmiennej zależnej = 7645 Odchylenie standardowe zmiennej zależnej = 2042,81

Suma kwadratów reszt = 1,39008e+007 Błąd standardowy reszt = 1076,29

Wsp. determinacji R² = 0,777929 Skorygowany R² = 0,722411

Statystyka F (3, 12) = 14,0123 (wartość p = 0,000316)

Statystyka testu Durbina-Watsona = 2,31684 Autokorelacja reszt rzędu pierwszego = -0,162079

Logarytm wiarygodności = -132,102 Kryterium informacyjne Akaike'a = 272,204

Kryterium bayesowskie Schwarza = 275,294 Kryterium infor. Hannana-Quinna = 272,362

Test RESET na specyfikację - Hipoteza zerowa: specyfikacja poprawna

Statystyka testu: F(2, 10) = 0,462711 z wartością p = P(F(2, 10) > 0,462711) = 0,642405

Test na normalność rozkładu reszt - Hipoteza zerowa: składnik losowy ma rozkład normalny

Statystyka testu: Chi-kwadrat(2) = 0,476023 z wartością p = 0,788194

Statystyka Durbina-Watsona dla 5% poziomu istotności, n = 16

Liczba zmiennych modelu (wyłączając wyraz wolny):

1 2 3 4 5 10

dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU dL dU

1,10 1,37 0,98 1,54 0,86 1,73 0,74 1,93 0,62 2,15 0,16 3,30

Y - ilość sprzedanych róż (w tuzinach) X1 - średnia cena róż (w $/tuzin) X2 - średnia cena goździków (w $/tuzin),X3 - średni dochód do dyspozycji (w $/tydzień)

a. Wyznacz średnie błędy oszacowań parametrów

b. Czy składnik losowy modelu podlega autokorelacji pierwszego rzędu? Uzasadnij.

c. Czy średnia cena goździków ma wpływ na wielkość sprzedaży róż? Uzasadnij.

d. Podaj interpretację oszacowań parametrów.

3

---