Metody pomiarowe i opracowania wyników w laboratorium fizyki.

Cele ćwiczenia wykonanego w laboratorium

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie oporu elektrycznego opornika R4, oporników R1, R2, R3 oraz średnicy metalowego pręta.

Wstęp teoretyczny

Część A: wyznaczanie oporów oporników R1, R2, R3, R4

Uporządkowany ruch elektronów w przewodniku nazywamy prądem. Możemy powiedzieć, że, natężenie prądu jest wprost proporcjonalne do różnicy potencjałów na końcach obwodu elektrycznego. Jest to tak zwane prawo Ohma mówiące o tym, że, stosunek napięcia do natężenia prądu jest stały. Oporem elektrycznym nazywamy zaś stosunek napięcia do natężenia prądu płynącego w przewodniku.

gdzie U jest to napięcie natomiast I natężenie prądu płynącego przez przewodnik

Znając napięcie i natężenie prądu płynącego przez opornik jesteśmy w stanie wyznaczyć opór elektryczny tego przewodnika.

Część B: wyznaczanie średnicy pręta przy pomocy śruby mikrometrycznej

Mierzony pręt można potraktować jako walec. Walec jest to bryła geometryczna, która powstaje z obrotu prostokąta wokół jednego ze jego boków. Średnica walca jest to najdłuższa cięciwa przechodząca przez środek podstawy walca. Śruba mikrometryczna jest to przyrząd pomiarowy o dokładności 0,01mm służący do pomiarów przedmiotów.

Opis procedury pomiaru oraz schematów pomiarowych

Część A poświecona wyznaczeniu oporu na danych opornikach

Do wyznaczenia danego oporu dysponujemy:

1. zasilaczem prądu stałego,

2. miernikiem uniwersalnym UM-112B,

3. cyfrowym miernikiem uniwersalnym M-3800,

4. trzema parami przewodów długich,

5. dwiema pary przewodów krótkich,

6. badany obwód elektryczny z 4 opornikami,

By wyznaczyć opór opornika R4 badamy napięcie i natężenie prądu przepływającego przez ten opornik. W tym celu budujemy układ składający się ze źródła prądu stałego oraz opornika. Do układu podłączamy szeregowo cyfrowy miernik uniwersalny, który, będzie nam służył jako amperomierz. By wyznacz natężenia prądu na końcach przewodnika podłączamy równolegle miernik uniwersalny, UM-3800 który będzie nam służył jako woltomierz. Całość układu przedstawiona jest schematycznie na rysunku.

Schemat:

Pomiary polegają na odczytaniu i zapisaniu napięcia i natężenia przy danym prądzie wyjściowym.

W celu uzyskania jak najdokładniejszych pomiarów do rejestrowania napięcia i natężenia prądu używano możliwie najmniejszych zakresów pomiarowych. Dbano o to by mierzyć wartości, które są większe od 2/3 zakresu pomiarowego gdyż w ten sposób otrzymywano mniejszy błąd związany z pomiarem.

Spadek napięcia na amperomierzu, z uwagi na bardzo mały opór amperomierza, jest tak mały, że nie wpływa on znacząco na wyniki pomiarów. Woltomierz został wpięty w obwód równolegle do opornika R4, ze względu na fakt, iż posiada bardzo duży opór powoduje również znikomy spadek natężenia, który nie wpłynie na dokładność badanych oporów.

Pomiary oporów R1, R2 i R3 przeprowadzane są według takiego samego schematu.

Część B: mierzenie średnicy metalowego pręta

W doświadczeniu dysponujemy

1. Metalowym prętem,

2. Śrubą mikrometryczną.

Pomiary średnicy pręta za pomocą śruby mikrometrycznej dokonywane są w dwóch niezależnych od siebie seriach składających się z 10 pomiarów każda. Dzięki przesuwaniu i obracaniu pręta pomiary dokonywane są w różnych miejscach na średnicy badanego obiektu. Przed każdą serią pomiarową śruba była sprawdzana w celu ustalenia czy przy zetknięciu szczęk miarka jest ustawiona na 0. Jak się okazało w obu seriach warunek ten był spełniony, wiec błąd systematyczny dla obu serii wynosi 0.

Wyniki pomiarów

Część A:

Dla opornika R4 wykonana została seria 12 pomiarów, które, zestawiono w poniższej tabelce.

Numer pomiaru	I [mA]	Zakres I [mA]	Im [mA]	Klasa amp.	U [V]	Zakres U [V]	Um [V]	Klasa volt.
1	0,205	2	0,001	0,50%	0,072	0,1	0,002	1%
2	0,218	2	0,001	0,50%	0,078	0,1	0,002	1%
3	0,550	2	0,001	0,50%	0,215	0,3	0,005	1%
4	0,718	2	0,001	0,50%	0,28	0,3	0,005	1%
5	2,03	20	0,01	0,50%	0,82	1	0,02	1%
6	2,18	20	0,01	0,50%	0,85	1	0,02	1%
7	5,61	20	0,01	0,50%	2,35	3	0,05	1%
8	6,31	20	0,01	0,50%	2,65	3	0,05	1%
9	20,4	200	0,1	1,20%	8,6	10	0,2	1%
10	21,4	200	0,1	1,20%	9,0	10	0,2	1%
11	56,6	200	0,1	1,20%	24,0	30	0,5	1%
12	59,8	200	0,1	1,20%	25,5	30	0,5	1%

Przez I i U rozumiemy kolejno dane odczytane z amperomierza i woltomierza przy danej klasie przyrządu, zakresie, na jakim mierzymy oraz najmniejszych mierzalnych jednostkach Im, Um.

Wyniki pojedynczych pomiarów dla oporników R1, R2 oraz R3 zawiera tabela.

	R1	R2	R3
U [V]	0,086	0,086	0,092
I [mA]	1,746	0,90	0,977
Zakres U [V]	0,1	0,1	0,1
Zakres I [mA]	2	20	2
Im [mA]	0,001	0,01	0,001
Um [V]	0,002	0,002	0,002

Doświadczenia zostały przeprowadzone na różnych napięciach wejściowych. Do wykonywania pomiarów używaliśmy różnych zakresów na przyrządach pomiarowych w celu uzyskania jak najdokładniejszych wyników. Obwód został skonstruowany tak, aby występował w nim tylko jeden opornik, na którym były mierzone wartość.

Część B:

Wyniki obu serii pomiarowych badanego pręta zostały przedstawione w poniższej tabelce

Seria A [mm]	Błąd [mm]	Seria B [mm]	Błąd [mm]
12,37	0,01	12,35	0,01
12,38	0,01	12,33	0,01
12,41	0,01	12,34	0,01
12,15	0,01	12,39	0,01
12,16	0,01	12,34	0,01
12,15	0,01	12,36	0,01
12,25	0,01	12,13	0,01
12,28	0,01	12,24	0,01
12,41	0,01	12,19	0,01
12,47	0,01	12,25	0,01

Przez błąd rozumiemy błąd związany z klasa śruby mikrometrycznej, jakiej używaliśmy.

Opracowanie wyników pomiarów

Część A:

Metodą najmniejszych kwadratów wyznaczono dopasowanie prostej do charakterystyki prądowo napięciowej opornika. W tym celu korzystano ze wzorów

Po odpowiednich podstawieniach otrzymano
stąd mamy dopasowanie prostej w postaci

Gdzie „a” w dopasowaniu jest to szukany opór a „Sa” błąd związany z jego wyznaczeniem.

Na podstawie wzoru możemy wyliczyć teoretyczne wartości napięcia dla mierzalnych natężeń prądu, otrzymane wyniki zamieszczamy w tabelce poniżej.

Numer pomiaru	Mierzalna wartość natężenia I [mA]	Teoretyczna wartość natężenia Ut [V}
1	0,205	0,0878
2	0,218	0,093
3	0,550	0,235
4	0,718	0,306
5	2,03	0,86
6	2,18	0,93
7	5,61	2,39
8	6,31	2,69
9	20,4	8,7
10	21,4	9,1
11	56,6	24,1
12	59,8	25,5

Kolejnym krokiem jest policzenie błędów pomiaru związanych z błędami klasowymi używanych mierników oraz odczytem danych.

Błąd pomiaru woltomierza wyrażony jest wzorem

gdzie: ΔU_k i ΔU_o są to błędy związane odpowiednio z klasą przyrządu i błędem odczytu. Przez U_z rozumiemy zakres, na którym dokonywany była dany pomiar natomiast K jest klasą sprzętu, jakiego używaliśmy przy danym zakresie. U_m jest najmniejszą mierzalną jednostką podczas dokonywania pomiaru.

Błąd pomiaru amperomierza wynosi

gdzie: ΔI_k i ΔI_o są to błędy związane odpowiednio z klasą przyrządu i błędem odczytu. I jest wynikiem odczytanym z miernika podczas pomiaru na danym zakresie a K jest klasą sprzętu, jakiego używaliśmy przy danym zakresie. I_m jest najmniejszą mierzalną jednostką podczas dokonywania pomiaru

Po odpowiednim podstawieniu zakresów pomiarowych i najmniejszych mierzalnych wartości otrzymujemy odpowiednie błędy w konkretnych przypadkach przedstawionych w poniższej tabeli.

Numer pomiaru	Pomiar U [V]	Błąd pomiaru	Pomiar I [mA]	Błąd pomiaru I [mA]
1	0,072	0,002	0,205	0,002
2	0,078	0,002	0,218	0,002
3	0,215	0,006	0,550	0,004
4	0,280	0,006	0,718	0,005
5	0,82	0,02	2,03	0,02
6	0,85	0,02	2,18	0,02
7	2,35	0,06	5,61	0,04
8	2,65	0,06	6,31	0,04
9	8,6	0,2	20,4	0,3
10	9,0	0,2	21,4	0,4
11	24,0	0,6	56,6	0,8
12	25,5	0,6	59,8	0,8

W następnej kolejności na podstawie otrzymanych wyników i wyliczonych wartości napięcia rysujemy wykres charakterystyki prądowo napięciowej, na którym zaznaczamy pola błędów i dopasowanie prostej do wyników pomiarów. Wykres przygotowano w programie Gnumeric i zamieszczono na kolejnej stronie

Z uwagi na małe wartości początkowych pomiarów wykres w tym miejscu nie jest czytelny, by lepiej ukazać jak się zachowuje w tym miejscu przedstawiamy poniżej jego zbliżenie, wykres dla pierwszych 6 pomiarów.

Szukany opór R4 jest równy współczynnikowi „a” pomnożonemu przez 1000 w celu uzyskania odpowiednich jednostek, a błąd związany z jego wyznaczeniem równy jest „Sa” również pomorzonemu przez 1000.

R4 jest zatem równy 426 Ω ± 8 Ω

Kolejnym celem naszego doświadczenia jest wyznaczenie oporów na opornikach R1, R2, R3 na podstawie pojedynczych pomiarów każdego z nich. W celu wyznaczenia błędu pomiaru na każdym z badanych oporników posłużymy się metodą różniczki zupełnej. W tym celu wyznaczymy błędy pomiarów napięcia i natężenia na każdym z badanych oporników, korzystając ze wzorów podanych i opisanych wyżej. Wyznaczone wartości zamieściliśmy w tabelce poniżej.

	R1	R2	R3
U [V]	0,086	0,086	0,092
I [mA]	1,746	0,90	0,977
Błąd U [V]	0,002	0,002	0,002
Błąd I [mA]	0,001	0,01	0,01

W dalszej kolejności wyznaczono opory R1, R2, R3 korzystając ze wzoru opór
stąd

Opornik	Opór [Ω]
R1	48,26
R2	95,56
R3	94,18

Korzystając z metody różniczki zupełnej wyznaczono błędy związane z oporami R1,R2,R3. W ty celu skorzystano ze wzorów.

Po podstawieniu otrzymanych wartości doświadczalnych wyliczono szukane opory a wyniki zestawiono w tabelce poniżej.

Opornik	Opór [Ω]	ΔR [Ω]	ΔR %
R1	48	1	2,4%
R2	96	3	3,4%
R3	94	3	3,2%

Część B:

Wartość średnia średnicy mierzonego walca wyrażona jest wzorem:
gdzie x_i są to kolejne wartością pojedynczych pomiarów oraz N jest to liczba wykonanych pomiarów. W naszym przypadku wartość średnia średnicy serii A wynosi:

natomiast średnia średnicy serii B wynosi:

.

Średnia średnicy obu serii wynosi:

Odchylenie standardowe jest wyrażane wzorem:
gdzie x_i są to kolejne wartością pojedynczych pomiarów,
jest to średnia arytmetyczna wyników pomiarów oraz N to liczba wykonanych pomiarów. Odchylenie standardowe wykonanych pomiarów na walcu dla serii A wynosi:

natomiast dla serii B wynosi:

.

Odchylenie standardowe wszystkich pomiarów wynosi:

Wynik, który można przyjąć za uśrednienie wszystkich wartości pomiarowych wynosi 12,30 ±0,10mm = 12,30* 10^-3m ± 0,10 * 10^-3m.

Na poniższym wykresie przedstawiono wszystkie pomiary wraz z wartością średniej.

Wnioski

Część A:

Wpływ na pomiary miało niedokładne wykonanie urządzeń pomiarowych użytych w doświadczeniach jak również częściowe ich zużycie, co mogło być powodem nieprecyzyjnego wyświetlania wyników pomiarowych zarówno na amperomierzu jak i na woltomierzu. Należy również wspomnieć o trudnym do wyeliminowania czynniku ludzkim, który również miał wpływ na wielkość błędu poprzez nieprecyzyjne odczytanie wyników pomiarowych. Teoretyczne wartości napięcia dla mierzalnych natężeń prądu obliczone ze współczynników a i b są porównywalne z napięciami zmierzonymi. Błędy związane z wpięciem do obwodu amperomierza i woltomierza są pomijalne z uwagi na bardzo duży lub bardzo mały opór tych przyrządów co w praktyce nie wpływa na mierzone opory.

Część B:

Różnorodność pomiarów spowodowana była nieprecyzyjnym wykonaniem walca lub zużyciem przedmiotu, wskutek których powstały wgniecenia w różnych jego punktach. Wpływ na wyniki pomiarów miało również nieprecyzyjne wyskalowanie śruby mikrometrycznej jak również błąd związany z odczytem wskazań. Co więcej różnorodność pomiarów serii A względem pomiarów serii B mogła być spowodowana nieprecyzyjnym wykonaniem czynności pomiarowych w trakcie, których mogła nie zostać uchwycona najdłuższa cięciwa walca.

Aby wyeliminować przyczyny błędów zarówno w części A jak i części B należałoby precyzyjnie wyskalować urządzenia miernicze przed przystąpieniem do czynności pomiarowych. Wyniki pomiarów powinny być odczytywane dwukrotnie w krótkim odstępie czasu, lub przez dwie osoby, co zmniejszyłoby możliwość odczytania wyniku z innej podziałki niż wskazana na urządzeniu.

7

---