Celem ćwiczenia jest dobór nastaw regulatora typu PI znajdującego się w układzie sterowania pewnym obiektem dynamicznym.
Układ musi posiadać:
- czas regulacji poniżej 5 s
- zapas modułu co najmniej 16 dB
- zapas fazy co najmniej 30 stopni
- pasmo przenoszenia o pulsacji granicznej co najmniej 1 rad/s
Schemat blokowy układu:
Licznik i mianownik transmitancji obiektu regulacji.
Lo=conv([0.05 1],[0.05 1])
M=conv([1 5 17],conv([7 1],[0.01 1]))
Wynik:
L=[0.0025 0.1000 1.0000]
M=[0.0700 7.3600 37.2400 124.1700 17.0000]
Wykreślenie charakterystyki Bodego dla obiektu regulacji.
Charakterystyka Bodego dla układu regulacji ( co odpowiada charakterystykom układu otwartego z regulatorem P o wzmocnieniu kp=1)
margin(L,M)
Wykres 1 : Wyznaczenie zapasu modułu dla układu otwartego
Gm=62,3dB
Pm=∞
Lz, Mz dla transmitancji układu zamkniętego bez regulatora
[Lz,Mz]=cloop(L,M,-1)
Wynik:
Lz = 0 0 0.0025 0.1000 1.0000
Mz = 0.0700 7.3600 37.2425 124.2700 18.0000
step(Lz,Mz)
Uzyskany czas regulacji to 26 sec, dużo za dużo, więc dokładam regulator o parametrach wyznaczonych metodą Z-N
Określenie wzmocnienia granicznego/oscylacji (układ na granicy stabilności):
dM=20Log(k)= 62,3 (wyznaczony k -zapas modułu, pierwszy wykres)
kosc =103.15=1.3032*103 (kosc=10^(dM/20))
Licznik i mianownik transmitancji obiektu i regulatora P ze wzmocnieniem kosc
[Lz,Mz]=cloop(kosc*Lo,Mo,-1)
(transmitancja układu zamkniętego o wzmocnieniu kosc z regulatorem P)
Wynik:
Lz = 1.0e+003 * (0 0 0.0033 0.1303 1.3032)
Mz = 1.0e+003 * (0.0001 0.0074 0.0405 0.2545 1.3202)
Określenie okresu oscylacji graniczny
step(Lz,Mz,linspace(0,10))
(Odpowiedź układu z zamkniętą pętlą sprzężenia na skok jednostkowy, z tego wykresu wyznaczam Tosc dla Z-N)
Wykres 2: Charakterystyka skokowa dla układu zamkniętego.
Wynik odczytany z wykresu: Tosc=9,13-0,604 / 8=1.0658 s
Określenie nastaw regulatora PI wg. Zieglera-Nicholsa.
kp=0.45*kosc
ti=0.85*tosc
Wynik:
kp=586,4251
ti=0.9059 = (0,85 Tosc)
6. Licznik i mianownik transmitancji regulatora PI
Lr=kp*[ti 1]
Mr=[ti 0]
Wynik:
Lr = 178.2486 123.0697
Mr = 1.4484 0
Licznik i mianownik transmitancji układu otwartego z regulatorem PI
Lc=conv(Lr,L)
Mc=conv(Mr,M)
Wynik:
Lc = 0.4456 18.1325 190.5555 123.0697
Mc = 0.1014 10.6599 53.9367 179.8421 24.6220 0
Wykreślenie charakterystyki Bodego dla układu otwartego z regulatorem PI
margin(Lc,Mc)
Wykres 3: Charakterystyka Bodego dla układu otwartego
Wartości odczytane z wykresu:
Gm=1,94dB
Pm=6,09
Chcemy uzyskać przesunięcie wykresu amplitudy w prawo
Wymagana korekta wzmocnienia= -18dB (minimalny zapas modułu założyłem 16 dB, dlatego przesuwamy charakterystykę o 16+1.94)
Kp= 0,45 kosc * x
Współczynnik przesunięcia wykresu amplitudy
x =10(2-18)/20 = 0.158
Obliczenie nowej wartości transmitancji układu otwartego z regulatorem PI
Lr=k1*Lr
Lc=conv(Lr,L)
(Mc takie jak było)
W dalszej części zmieniam wartość Ti i kp poprzez zmianę współczynnika przy doborze tych nastaw w metodzie Z-N. Czas regulacji wyszedł mi troszkę większy od zakładanego. Pozostałe wyniki (przeregulowanie, pasmo) doskonałe.
Wykreślenie charakterystyki Bodego dla układu otwartego z regulatorem PI
Po zmianie licznika transmitancji układu:
margin(Lc,Mc)
Wykres 4 : Charakterystyka układu po zmianie kp.
Wyniki odczytane z wykresu:
- zapas wzmocnienia gm=18 dB
- zapas fazy pm=38,8 stopni
Licznik i mianownik transmitancji układu zamkniętego z regulatorem PI
[Lcz,Mcz]=cloop(Lc,Mc,-1)
Wykres odpowiedzi układu zamkniętego z regulatorem PI na skok jednostkowy
step(Lcz,Mcz,linspace(0,10))
Wykres 5: Badanie przeregulowania i czasu regulacji dla kryterium 3%
Wyniki odczytane z wykresu:
Czas regulacji: tr=5,39 s
Przeregulowanie: kappa=(ymax-yn)/yn=(1.25-1)/1=0.25 < 35%
Wykres Bodego dla układu zamkniętego z regulatorem PI
Zapas modułu uzyskaliśmy ponad 16dB
14. Pasmo przenoszenia układu
Bode(Lz,Mz,logspace(0,0.5))
Pulsację graniczną z wykresu odczytaliśmy 1,42rad/s
Wykres uzyskaliśmy dla Ti=1,3 * tosc
kp=0,6 * kosc * x
Pasmo przenoszenia to zakres częstotliwości, dla której charakterystyka amplitudowa M(ω) układu zamkniętego nie zmienia się o więcej niż 3 dB. Częstotliwość ωg ograniczająca to pasmo jest nazywana pulsacją graniczną układu. Pulsacja graniczna równa jest w przybliżeniu częstości ωm dla układu otwartego.
Wnioski:
• Metoda Zieglera-Nicholsa daje w dużej liczbie przypadków poprawne rezultaty doboru nastaw regulatorów PI. Jednak w naszym przypadku metoda ta nie dała poprawnych rozwiązań musieliśmy zmieniać jeszcze wzmocnienie i czas zdwojenia. Metodę tą potraktowaliśmy jako 1 przybliżenie poszukiwanych wartości
• Metoda Z-N umożliwia dobór nastaw regulatora bez znajomości modelu matematycznego obiektu.
• Znajomość matematycznego modelu pozwala przy zastosowaniu odpowiednich programów komputerowych na znaczne skrócenie czasu doboru nastaw regulatora PI oraz przeprowadzenie symulacji dla różnych wartości nastaw.
•Działanie P regulatora zapewnia realizację elementarnego celu regulacji tj. zmniejszenie uchybu regulacji, jednak jest działaniem dość ryzykownym, ponieważ zmniejsza zapasy stabilności układu. Wykorzystaliśmy to by określić granice stabilności układu. Z wzoru na zapas modułu:
określiliśmy wzmocnienie kosc, dla jakiego układ znajduje się na granicy stabilności, czyli chcieliśmy tak przesunąć charakterystykę Nyquista dla układu otwartego by przechodziła ona przez punkt(-1,0). Wtedy właśnie po zamknięciu pętli sprzężenia zwrotnego układ znajdzie się na granicy stabilności.
•Działanie regulatora I wprowadza efekt astatyzmu do układu regulacji umożliwiając minimalizację uchybu statycznego regulacji (w stanie ustalonym). Własności regulatora I wykorzystywaliśmy do zwiększania zapasu fazy w naszym układzie, czyli różnicę pomiędzy położeniem kątowym punktu przecięcia a kątem -180°. Parametry te czyli wzmocnienie oraz czas zdwojenia odpowiadają również za pozostałe wskaźniki jakości regulacji czyli pasmo przenoszenia układu, czas regulacji oraz przeregulowanie.
• Nie udało się zejść poniżej 5sec z czasem tr (5,39sec). Wyniki osiągnięte wyszły bardzo dobrze. Przeregulowanie 25 %, zapas modułu ponad 16 dB
4
Regulator PI
Obiekt regulacji
+
-
Zadana prędkość pochylania
Wielkość regulowana