Nieinercjalne układy odniesienia

• Ziemia nie jest układem inercjalnym. Wykonuje ruch obrotowy wokół swej osi a ponadto obiega Słońce po elipsie.

• W pewnych przypadkach można zaniedbać efekty nieinercjalności układu odniesienia, związanego z Ziemią (np. ze względu na duży okres obiegu wokół Słońca, można traktować ruch Ziemi po orbicie wokółsłonecznej jako postępowy, jednostajny).

• Istnieją jednak zjawiska, które można wytłumaczyć tylko wtedy, gdy przestanie się zaniedbywać „odstępstwa od inercjalności” układu:

• obrót płaszczyzny wahań wahadła (wahadło Foucault);

• odchylanie się na wschód ciał swobodnie spadających;

• podmywanie jednego z brzegów rzek płynących wzdłuż południków;

• „skręcenie” kierunku wiatrów w niżach i wyżach na obu półkulach.

Kinematyka ruchu względnego

• Rozpatrzmy ruch punktu materialnego M względem dwóch kartezjańskich układów współrzędnych:

• x, y, z - inercjalny; przyjmiemy, że jest nieruchomy; ruch ciała względem tego układu nazwiemy ruchem bezwzględnym;

• x', y', z' - nieinercjalny, porusza się dowolnie względem pierwszego układu; ruch ciała względem tego układu nazywamy ruchem względnym.

• Położenie
punktu M w układzie inercjalnym wyrażone przez położenie
w układzie nieinercjalnym:

Kinematyka ruchu względnego - c.d.¹

• Prędkość punktu M względem nieruchomego (inercyjnego) układu współrzędnych nazywamy prędkością bezwzględną:

Biorąc pod uwagę zależność między wektorami
i
:

to prędkość ruchu postępowego ruchomego układu współrzędnych

• Układ nieinercjalny może się poruszać zarówno z prędkością postępową (zmiany w wartościach x', y' i z') jak i obrotową (zmiany położenia wersorów
,
,
w czasie), więc:

Kinematyka ruchu względnego - c.d.²

• Prędkość punktu M względem ruchomego układu współrzędnych - prędkość względna punktu M:

• Ostatni człon w równaniu, wiążącym prędkości w obu układach, jest równy:

gdzie
oznacza prędkość kątową obrotu ruchomego układu.

• Możemy więc ostatecznie napisać równanie, wiążące ruch punktu w obu układach jako:

gdzie
nazywana jest prędkością unoszenia punktu M - wyraża bowiem prędkość bezwzględną tego punktu układu ruchomego, przez który w danym momencie przechodzi rozpatrywany punkt M.

Kinematyka ruchu względnego - c.d.³

• Podobnie jak w przypadku prędkości, należy znaleźć zależności pomiędzy przyspieszeniami w obu układach.

• Przyspieszenie bezwzględne punktu M to przyspieszenie względem (nieruchomego) inercjalnego układu odniesienia xyz:

• Różniczkując wyrażenie na prędkość, otrzymujemy:

gdzie:

- to przyspieszenie ruchu postępowego układu nieinercjalnego;

- to przyspieszenie kątowe ruchu obrotowego tego układu;

Kinematyka ruchu względnego - c.d.⁴

• Pamiętając, że:

oraz uwzględniając, że:

gdzie:

- to przyspieszenie względne punktu M (w układzie x'y'z');

możemy ostatecznie otrzymać:

albo inaczej:

gdzie:

to przyspieszenie unoszenia (analogicznie, jak prędkość);

to przyspieszenie Coriolisa.

Kinematyka ruchu względnego - c.d.⁵

• W przypadku układów inercjalnych, mamy:

;
;
;

a więc również:

;
;
;

i ostatecznie związki między wielkościami w obu układach upraszczają się do:

oraz:

czyli transformacji Galileusza.

• W przypadku, gdy układ ruchomy porusza się tylko ruchem postępowym (a więc nie jest inercjalny, ale się nie obraca!), mamy:

oraz:

Dynamika ruchu względnego

• Zasady Newtona nie spełniają się w nieinercjalnych układach odniesienia! Przyspieszenie punktu materialnego względem nieinercjalnego układu odniesienia nie jest bowiem równe stosunkowi wypadkowej wszystkich sił, jakimi inne ciała działają na ten punkt, do masy tego punktu:

Zasady Newtona spełnione są bowiem dla przyspieszenia
w układzie inercjalnym:

• Wyraźny przyspieszenie względne w układzie nieinercjalnym poprzez przyspieszenie bezwzględne oraz przyspieszenie unoszenia i Coriolisa:

Dynamika ruchu względnego - c.d.

• Możemy sformułować poprawnie II zasadę dynamiki Newtona jako:

gdzie:

to siła bezwładności unoszenia;

to siła bezwładności Coriolisa.

• Siły bezwładności rzeczywiście działają na punkt materialny w układzie nieinercjalnym; można je mierzyć (np. wagą sprężynową), ale nie sposób związać ich z żadnymi ciałami, od których mogłyby pochodzić! Dlatego nie można do nich stosować III zasady dynamiki Newtona.

• Siły bezwładności są więc dla każdego ciała układu siłami zewnętrznymi. Dlatego:

W nieinercjalnych układach odniesienia nie mają zastosowania zasady zachowania pędu, momentu pędu i energii.

Siły bezwładności

• Przypadek I:

Układ porusza się ruchem postępowym z przyspieszeniem:
.

W tym przypadku:

• przyspieszenie unoszenia:
  ;

• przyspieszenie Coriolisa:
  .

Na ciało działa więc tylko:

- siła bezwładności unoszenia:

Przykład: winda wznosząca się lub opadająca ruchem jednostajnie przyspieszonym w kierunku pionowym (nie uwzględniamy ruchu obrotowego Ziemi). Zawiesimy w niej ciało o masie m na dynamometrze (wadze sprężynowej).

Siły bezwładności - c.d.¹

• Obserwator nieruchomy:

- Na ciało działają dwie siły przeciwnie skierowane: ciężar ciała
oraz reakcja dynamometru
. Wypadkowa tych sił nadaje ciału przyspieszenie
. Z II zasady dynamiki:

a siła
, która działa na dynamometr (i którą on wobec tego wskaże):

- Jeśli uwolnimy ciało, będzie się ono poruszać pod działaniem własnego ciężaru, czyli spadać swobodnie z przyspieszeniem:

Siły bezwładności - c.d.²

• Obserwator ruchomy (w windzie):

- Ciało jest nieruchome (
;
), więc działające na niego siły się równoważą:

gdzie:
jest siłą bezwładności (unoszenia), której istnienie obserwator czuje wszak również na sobie! Biorąc pod uwagę kierunki tych sił i ich wartości:

a stąd, jak poprzednio, siła
, która działa na dynamometr:

- Jeśli uwolnimy ciało, będzie się ono poruszać pod działaniem dwóch sił:
oraz
i uzyska przyspieszenie:

Siły bezwładności - c.d.³

• Przypadek II:

Układ obraca się jednostajnie z prędkością kątową
i porusza się ruchem jednostajnym ze stałą prędkością
.

W tym przypadku:

• przyspieszenie unoszenia:
  ;

• przyspieszenie Coriolisa:
  .

Na ciało działają więc następujące siły bezwładności:

- siła bezwładności unoszenia:

liczbowo równa:
i skierowana od osi obrotu na zewnątrz - nazywana siłą odśrodkową bezwładności;

- siła bezwładności Coriolisa:

skierowana prostopadle do płaszczyzny, wyznaczonej przez
i
.

Siły bezwładności - c.d.⁴

• Siła odśrodkowa bezwładności

związana jest z obrotem poruszającego się układu.

• Przykłady zastosowań:

• pompy odśrodkowe;

• separatory (np. centryfuga w analizie medycznej);

• odśrodkowy regulator Watta;

• Ale też - konieczność równoważenia sił odśrodkowych przy projektowaniu szybko wirujących (i o dużych masach, a ściślej: dużych momentach bezwładności!) części maszyn.

• Siła odśrodkowa bezwładności może też stanowić „namiastkę” siły grawitacyjnego przyciągania Ziemi w statkach (stacjach) kosmicznych.

Siły bezwładności - c.d.⁵

• Siła Coriolisa

związana jest z ruchem postępowym ciał w układzie obracającym się.

• Przykład:

Ziemia jako obracający się, nieinercjalny układ odniesienia (ruch dobowy, z zachodu na wschód, z okresem 24 godziny).

Swobodny spadek ciała z wieży: następuje odchylenie miejsca upadku względem pionu, wyznaczonego przez siły grawitacji, o pewną wielkość Δ, największą na równiku, zerową na biegunie.

Siły bezwładności - c.d.⁶

• Obserwator nieruchomy (inercjalny):

Siła przyciągania ziemskiego
nadaje ciału przyspieszenie, skierowane do środka Ziemi. Jest ona prostopadła do prędkości początkowej ciała
(w ruchu obrotowym), więc nie zmienia wartości tej prędkości. Tymczasem podstawa wieży ma mniejszą prędkość liniową
(bo ma tę samą prędkość kątową):

i dlatego ciało spadnie na Ziemię na wschód od wierzchołka wieży.

Siły bezwładności - c.d.⁷

• Obserwator ruchomy (nieinercjalny):

Na ciało działają siły: przyciągania ziemskiego
, siła odśrodkowa
i siła Coriolisa
. Siły
i
powodowałyby pionowe spadanie, ale siła Coriolisa
, prostopadła do kierunku prędkości początkowej spadania, powoduje ruch ciała po paraboli i przesunięcie punktu upadku na wschód.

Siły bezwładności - c.d.⁸

• Podobieństwo istniejące pomiędzy siłami bezwładności i siłami grawitacyjnymi: obie są proporcjonalne do mas punktów materialnych i nadają im jednakowe przyspieszenie względne.

Wobec tego działanie sił bezwładności na punkt materialny można zastąpić działaniem równoważnego im pola ciążenia!

• Zasada równoważności ruchu:

Ruch ciała względem nieinercjalnego układu odniesienia jest równoważny jego ruchowi względem układu inercyjnego. Ten ruch zachodzi pod wpływem wszystkich ciał rzeczywiście współdziałających z danym ciałem a także pod wpływem jakiegoś dopełniającego pola ciążenia.

Nie jest to stwierdzenie identyczności sił bezwładności i grawitacyjnych! (Zmiany pola „równoważnego” powinny rozchodzić się w przestrzeni z prędkością nieskończenie wielką).

2

E

W

N

E

W

S

h

Δ

P

P

F_u

F_C

v

E

W