POMIARY WIELKOŚCI FIZYCZNYCH - ZAGADNIENIA

1. Wielkość fizyczna i jej jednostki.

2. Pomiar i jego dokładność.

3. Analiza błędów pomiarów.

4. Rozkład statystyczny w pomiarach biologicznych.

Wielkość fizyczna - wielkość, którą można zmierzyć, np. długość.

2 m

Wartość Jednostka

liczbowa

2 m ↔ 2 x 1 m

(2 x m) / (2 x s) = 1 m/s

↓ ↓ ↓

Wielkości Wielkość

podstawowe pochodna

Jednostki w układzie SI:

1. Podstawowe:

• Metr (m);

• Kilogram (kg);

• Sekunda (s);

• Amper (A);

• Kelwin (K);

• Mol;

• Kandela (Cd) → natężenie źródła światła;

• Radian → kąt płaski;

• Steradian → kąt bryłowy.

2. Pochodne:

• Hertz (Hz);

• Niuton (N);

• Watt (W);

• m²;

• kg/m³.

3. Wielokrotności: GHz; MW; kJ; hPa; dag; dB; cm; mg; μT; nm; pF.

4. Pozaukładowe: min; h; doba; rok; ^oC; ha; l; kątowe: ^o; `; ”.

Jednostki pochodne są tworzone z podstawowych w oparciu o definicje i prawa fizyczne, np. II zasada termodynamiki Newtona:

F ~ a

F = m x a

[N] = [kg] x [m/s²]

Stałe fizyczne

Wielkości fizyczne o stałych wartościach występujące jako współczynniki (np. dopasowujące jednostki) we wzorach wyrażających prawa fizyki.

Pomiar:

• Bezpośredni;

• Pośredni.

Obarczony błędem z powodu:

• Niedoskonałości narzędzi pomiarowych;

• Nieścisłości w wykonywaniu procedury pomiarowej;

• Wpływu czynników losowych.

Dokładność przyrządów pomiarowych:

• Połowa najmniejszej działki na skali przyrządu;

• Wartość działki skali dla urządzeń ze wskazówką poruszająca się skokowo;

• Określony przez producenta ułamek wartości zmierzonej dla urządzeń z wyświetlaczem cyfrowym.

Błędy pomiarów

Błąd jest to różnica między wartością prawdziwą, a wartością zmierzoną.

Błędy dzielimy na:

• Błędy grube (omyłki);

• Błędy systematyczne;

• Błędy przypadkowe.

Wartość średnia - wielokrotny pomiar tej samej wielkości, np. napięcie (U) na zaciskach baterii.

6,02; 6,00; 5,99; 6,00; 6,01; 6,01; 5,99; 5,98; 6,00; 6,00 [V]

U_śr = 60,00 V/10 = 6,00 V

Wartość średnia jest najbliższa wartości prawdziwej.

_n

X_śr = 1/n Σ X_i

ⁱ⁼¹

Błąd przypadkowy serii pomiarów można ocenić obliczając odchylenie standardowe

Σ (x_i - x_śr)²

σ = √ ---------------

n - 1

i średni błąd średniej

ε = σ / √n

Histogram wyników pomiarów:

Krzywa Gaussa

σ (odchylenie standardowe) - opisuje rozrzut wyników pomiarów wokół wartości średniej.

← ↑ →

śr - σ średnia śr + σ

(67 %)

Wynik pomiarów

X = X_śr ± ΔX

X_śr - zamierzona wartość

ΔX - błąd bezwzględny; max. odchylenie od średniej n < 5

ΔX = σ / √n dla n ≥ 5

Błąd względny:

ΔX / X_śr

lub

ΔX / X_śr x 100% (błąd procentowy)

Błąd w pomiarach pośrednich.

Błąd względny dla wielkości złożonej

y = f (z₁, z₂, … , z_n)

Δy/y = Σ Δz₁/z_i

y = a ± b

Δy = Δa + Δb

y = a x b

Δy = a x Δb + b x Δa

Reguły podawania wyników pomiarów:

• Zaokrąglenia

22,13 + 2,5 = 24,63 ≈ 24,6

• Liczba miejsc znaczących

132,59 x 12,2 = 1617, 598 ≈ 1620

Rozkład statystyczny w pomiarach biologicznych.

Aby ustalić rozkład cechy biologicznej należy:

• Ustalić populację osobników wykazujących daną cechę;

• Losowo wybrać grupę z badanej populacji;

• Określić liczebność próby;

• Dla każdej osoby możliwie dokładnie zmierzyć wartość cechy tworząc tabelę danych;

• Ustalić histogram;

• Obliczyć wartość średnią i odchylenie standardowe wartości.

Pomiar wielkości fizjologicznych:

• Ciśnienie i tętno;

• Temperatura ciała;

• Masa ciała;

• Zawartość tkanki tłuszczowej.

Budowa i charakterystyka jądra atomowego.

^A masa atomowa

X

^Z liczba porządkowa

Jednostka masy atomowej (j.m.a.) = unit (u)

¹²C = 12,000 u

1 u = 1,66 x 10^-27 kg

Jądro (nuklid)

A = liczba nukleonów

A x u = masa jądra atomowego

Z = liczba protonów

Z x e = ładunek jądra

N = liczba neutronów

N = A - Z

Rozmiary jądra:

ρ ~ 10¹⁷ kg/m²

R = R_o A^1/3

R_o ~ 10 ^-15 m = 1 fm

Porównaj właściwości wybranej substancji monokrystalicznej z amorficzną.

Materiał będący w całości jednym kryształem (np. kryształ cukru, soli półprzewodnika). Monokryształ może zawierać w całej swej objętości niewielką ilość defektów tejże struktury, a jego zewnętrzna forma nie musi odzwierciedlać struktury krystalicznej.

Kryształy atomowe - np. diament

Kryształy jonowe - np. NaCl

Kryształy cząsteczkowe

Stany skupienia materii:

• Ciało stałe (np. lód)

• Ciecz (np. woda)

• Gaz (np. para wodna)

Gaz Ciecz Ciało stałe

Gęstość: ~ 10¹⁹/cm³ ~ 10²²/cm³ ~10²³/cm³

Energia cząsteczek

Stan skupienia zależy od stosunku energii wiązań międzycząsteczkowych do średniej energii kinetycznej ruchu cząsteczek. Temperatura jest miarą średniej energii kinetycznej ruchu postępowego cząsteczek.

E_k = 3/2 k x T

k = stała Boltzmana = R/N_A = 1,381 x 10^-23 J/K

T = temperatura bezwzględna

W temperaturze pokojowej (298 K) E_k = 0,38 eV

0 K = - 273^oC

Przejścia fazowe - zmiana energii cząsteczek:

• Parowanie (wrzenie)

• Kondensacja (skraplanie)

• Topnienie

• Krystalizacja (zamarzanie)

• Sublimacja

• Resublimacja

Gazowy stan skupienia

Energia wiązań między cząsteczkowych: E_w ≈ 0 << kT

Tworzone lokalnie wiązania są rozrywane, istnienie układów związanych jest możliwe tylko w sensie statystycznym.

Przemiany gazu doskonałego:

• Izotermiczna (prawo Boyle'a - Mariotte'a) - przemiana gazowa (gaz doskonały), zachodząca przy stałej temperaturze (ciepło właściwe przemiany izotermicznej). Opisuje ją równanie PV = constans (gdzie: P - ciśnienie, V - objętość). Praca układu w trakcie przemiany izotermicznej równa jest zmianie energii swobodnej.

• Izobaryczna (prawo Guy - Lussaca) - przemiana gazowa (gaz doskonały), zachodząca przy stałym ciśnieniu p (ciepło właściwe przemiany izobarycznej). Opisuje ją równanie: V/T = const, gdzie: V - objętość, T - temperatura. Praca L w przemianie izobarycznej wyraża się wzorem: L=pΔV, gdzie ΔV równe jest zmianie objętości.

• Izochoryczna (prawo Charlesa) - przemiana gazowa (gaz doskonały), zachodząca przy stałym ciśnieniu p (ciepło właściwe przemiany izobarycznej). Opisuje ją równanie: V/T = const, gdzie: V - objętość, T - temperatura. Praca L w przemianie izobarycznej wyraża się wzorem: L=pΔV, gdzie ΔV równe jest zmianie objętości.

Prawo gazu doskonałego - dla ustalonej masy gazu:

p₁ x V₁ p₂ x V₂

-------- = ----------

T₁ T₂

pV = nRT dla n moli gazu

R = 8,31 J/K x mol

↑

Stała gazowa

Przemiana adiabatyczna (ΔQ = 0):

• Rozprzężenie adiabatyczne: T gazu spada

• Sprzężenie adiabatyczne: T gazu rośnie

Adiabatyczna przemiana, adiabatyczny proces, proces termodynamiczny, podczas którego układ nie oddaje i nie pobiera ciepła. Proces adiabatyczny realizuje się bądź przez izolowanie cieplne układu, bądź przeprowadzając go bardzo szybko (np. rozprężanie gazów w silniku o wewnętrznym spalaniu). Jeśli w procesie adiabatycznym układ wykonuje pracę, to odbywa się to kosztem energii wewnętrznej układu, zatem temperatura jego obniża się (wykorzystywane do otrzymywania niskich temperatur).

W = -p x ΔV

↑

Praca gazu

Prawo Avogadra

W jednakowych warunkach ciśnienia i temperatury jednakowe objętości wszystkich gazów doskonałych zawierają jednakową liczbę cząsteczek.

1 mol zawiera liczbę Avogadro (N_A = 6,023 x 10²³ cząsteczek) i w warunkach normalnych

(t = 0^oC, p = 1013 hPa) ma objętość 22,41.

Prawo Daltona

Całkowite ciśnienie p mieszaniny gazów doskonałych równa się sumie ciśnień cząstkowych (parcjalnych) zawartych w niej gazów.

p_c = p₁ + p₂ + … + p_n = Σ p_i

Zależność ciśnienia atmosferycznego od wysokości nad poziomem morza.

Para nasycona i nienasycona:

• Do pary nasyconej nie można stosować praw gazów, a do pary nasyconej można, ale z ograniczeniami;

• Gęstość pary nasyconej zależy tylko od rodzaju danej substancji i temperatury (rośnie wraz z temperaturą);

• W temperaturze wyższej niż temperatura krytyczna materiał może istnieć tylko w stanie gazowym.

Woda paruje cały czas i to niezależnie od temperatury. W temperaturach poniżej temp. krzepnięcia mamy do czynienia z sublimacją (bezpośrednim przejściem z ciała stałego w stan gazowy). W temperaturze wrzenia w cieczy zaczynają się tworzyć pęcherzyki pary początkowo przy ściankach naczynia, a następnie w całej objętości.

Ciekawym zjawiskiem jest samo parowanie wody: Ciepło tego zjawiska wynosi 2252,5 kJ/kg, z czego tylko 180kJ/kg jest zużywane na zwiększenie objętości przy przejściu w stan pary (pokonanie ciśnienia powietrza; woda parując zwiększa swoją objętość 1650 razy). Pozostała ilość energii służy do rozbicia powiązanych ze sobą cząsteczek wody w pojedyncze cząsteczki.

Temperatura wrzenia wody wzrasta wraz z ciśnieniem. Dla ciśnień niższych od 1atm wrze ona w temperaturze poniżej 100°C, dla ciśnień wyższych powyżej tej temperatury. Czysta woda pozbawiona jakichkolwiek rozpuszczonych w niej gazów wrze w bardzo wysokich temperaturach.

Gęstość substancji zależy od ciśnienia i temperatury, a co z tego wynika, od stanu skupienia, w jakim się znajduje. Gęstość lodu wynosi 916,8 kg/m3, następnie w temperaturze topnienia zwiększa się do 999,868 kg/m3, rośnie aż do temperatury 3,9834°C, gdzie osiąga maksymalną wartość (pod normalnym ciśnieniem) 999,972kg/m3. Następnie dalej spada. Przy wyższych ciśnieniach gęstość wody cały czas rośnie.

Kolejną ciekawą właściwością wody jest zmiana jej objętości właściwej. Woda w temperaturach od temperatury topnienia do ok. 4° C zmniejsza swoją objętość, co można wytłumaczyć stopniowym rozpadem większych asocjatów, czyli zrywaniem niektórych wiązań wodorowych. W t=4°C woda zawiera głównie dimery (H2O)2. Przy dalszym ogrzewaniu rozpadają się one na pojedyncze cząsteczki, co zwiększa objętość cieczy. Podczas topnienia zrywa się ok. 15% wszystkich wiązań wodorowych, co powoduje zmniejszenie objętości. Dlatego też woda ma mniejszą objętość niż lód.

Jak już wspomniano, w przedziale temperatur od 273K do 277K objętość wody maleje, a gęstość rośnie. Zjawisko to jest czasami nazywane efektem anormalnej rozszerzalności cieplnej. Można to wytłumaczyć w następujący sposób. W coraz wyższej temperaturze uwolnione ze struktury lodu cząsteczki wykonują coraz gwałtowniejsze ruchy cieplne dążąc do coraz gęstszego upakowania osiągniętego właśnie w temperaturze 277K. Jednak ze względu na coraz intensywniejsze ruchy cieplne cząsteczek to upakowanie zaczyna się rozluźniać. Właśnie to zjawisko tłumaczy rozkład temperatur w zbiorniku wodnym w zimie.

Dla większości substancji ciepło właściwe zależy od temperatury i wraz z jej wzrostem rośnie. Wyjątkiem jest tu woda. W przedziale temperatur od 0° C do 27°C ciepło właściwe spada, osiąga w temperaturze t=27° C minimum, by następnie rosnąć. Ta anomalia jest związana z wiązaniami wodorowymi, które wraz ze wzrostem temperatury są rozrywane. Właśnie to, a także wzrost energii kinetycznej i potencjalnej oscylacji atomów cząsteczki wody powoduje wzrost ciepła właściwego wody. Woda ciekła posiada najwyższe ciepło właściwe, wyższe nawet od ciepła właściwego lodu.

Ze względu na bardzo małe przewodnictwo cieplne woda, a także lód są idealnymi izolatorami cieplnymi.

Wykres fazowy H₂O:

Krzywa sublimacji / resublimacji

Krzywa krzepnięcia / topnienia

Krzywa wrzenia / skraplania

Punkt potrójny

Punkt krytyczny

Temperatury krytyczne gazów - temperatura, powyżej której substancja znajduje się tylko w stanie gazowym.

• C₂H₅OH: 234^oC (507 K)

• N₂: -147^oC (126 K)

• CO₂: 31^oC (304 K)

• He: -267^oC (6 K)

• O₂: -119^oC (154 K)

• H₂O: 374^oC

Niskie temperatury:

• Rozprężanie adiabatyczne gazów

• Parowanie skroplonych gazów

Zastosowanie: krioterapia, komory niskich temperatur.

Napięcie powierzchniowe:

σ = ΔW / ΔS = F x Δx / l x Δx = F / l

T↑ σ↓

1013,3 hPa = 760 mmHg = 1 Atm

Lepkość

F = η x S x Δν / Δx

T↑ η↓

[Pa x s]

Woda 1 x 10^-3 Pa x s = 1 cpuaz

Ciekły stan skupienia:

• Energia wiązań międzycząsteczkowych E_w > kT

• Układ dąży do zajęcia jak najmniejszej objętości

• Oddziaływania są zbyt słabe dla zachowania kształtu obiektu

• Ciecze, podobnie jak ciała stałe, są mało ściśliwe

Ciecz doskonała:

• Niejednorodna

• Nieściśliwa

• Nielekka

• Przepływ laminarny

Stały stan skupienia:

• Energia wiązań cząsteczkowych E_w >> kT

• Wysycenie sił wzajemnego przyciągania drobin, zachowanie kształtu obiektu

• Przejście do cieczy (topnienie) odbywa się w ściśle określonej temperaturze → przejście fazowe

Struktura ciał stałych:

• Krystaliczna - uporządkowanie dalekiego zasięgu

• Amorficzna - uporządkowanie lokalne

Anizotropowy

Hydroksyapatyt Ca₁₀(PO₄)₂(OH)₂ - budulec kości → polikryształ

Kość - budowa polikrystaliczna o dobrze określonej teksturze

Ciekłe kryształy:

Substancje pośrednie między kryształami i substancjami amorficznymi.

Ok. 3000 związków.

• Nematyk

• Smektyk

• Cholesteryk

Lód

Ciekłe kryształy wody

Ze wzrostem temperatury objętość rośnie. Gęstość jest odwrotnością objętości.

Anomalia wody

Rozszerzalność wody jest anomalna, bo woda w temperaturze 4^oC ma najwyższą gęstość, a potem, wraz ze wzrostem temperatury, maleje.

---