GEOMETRIA JEST PROSTA

prof. Krzysztof Chełmiński

Zaprezentowany wykład miał na celu zainteresować ucznia analizowaniem zadań z geometrii elementarnej. Geometria nie jest zbyt lubiana przez uczniów, gdyż wymaga często niestan­dardowego sposobu rozumowania. Jednakie stwierdzenie, czy jakaś metoda jest standardowa czy nie, jest bardzo subiektywne i zalety od tego co uczeń zalicza do swoich standardów. Ten wykład próbuje pokazać uczniowi, jak dużo jest elementarnych zadań geometrycznych bardzo często związanych z zagadnieniami pochodzącymi z innych nauk, które można zaliczyć do standardowych rozumowań szkolnych.

Pierwsza grupa zadań zaprezentowanych na wykładzie wykorzystywała rożne izometrie pła­szczyzny lub najmocniejsze twierdzenie geometrii w konstrukcjach geometrycznych. Naj­prostsze zadania konstrukcyjne, wykorzystujące izometrie, można podzielić na następujące kategorie:

1. Dane są dwie figury Fi i F₂ oraz punkt P. Znajdź punkty A ∈ F₁ i B ∈ F₂ takie, aby punkt P był środkiem odcinka AB.

2. Dane są dwie figury F₁ i F₂ oraz punkt P. Znajdź punkty A ∈ F₁ i B ∈ F₂ takie, aby AP = BP oraz kąt
   APB był zadany.

3. Dane są dwie figury F₁ i F₂ oraz prosta l. Znajdź punkty A ∈ F₁ i B ∈ F₂ takie, aby prosta l była symetralną odcinka AB.

4. 
   
   
   Dane są dwie figury F₁ i F₂ oraz wektor v. Znajdź punkty A ∈ F₁ i B ∈ F₂ takie, aby AB = v.

Wszystkie tego typu zadania rozwiązuje się jednakowo. Nalepy znaleźć obraz, na przykład figury F₁, w odpowiedniej izometrii I oraz rozważyć zbiór I(F₁) ∩ F₂. Na wykładzie przedstawiłem zadanie o dzieleniu działki trójkątnej przez zadany punkt P tak aby pola po­wierzchni odciętych działek były sobie równe. Po wstępnej analizie zadania zauważa się, ze jest to zadanie z kategorii drugiej i wystarczy znaleźć obraz jednego ramienia kata w symetrii środkowej względem punktu P. Proponuję bardzo ładne uogólnienie tego zadania.

Zadanie 1.

Na płaszczyźnie dane są 4 parami nierównoległe proste l₁,l₂,l₃,l₄ oraz punkt O nie należący do żadnej z tych prostych. Znajdź punkty A_i ∈ l_i dla i = 1, 2, 3, 4 takie, że czworokąt A₁A₂A₃A₄ jest równoległobokiem, którego środkiem symetrii jest punkt O.

Wskazówka: zadane proste zawierają boki czworokąta wypukłego P₁P₂P₃P₄. Grupujemy zadane proste w dwie pary. Pierwsza para to proste P₁P₂ i P₃P₄ oraz druga para to proste P₁P₄ i P₂P₃. Do każdej pary prostych i punktu O stosujemy zadanie o działce trójkątnej i otrzymujemy przekątne poszukiwanego równoległoboku.

Ostatni przykład zadania konstrukcyjnego prezentowany we wstępnej części wykładu wykorzystywał tak zwane najmocniejsze twierdzenie geometrii.

Najmocniejsze twierdzenie geometrii. Dany jest okrąg o i punkt P lezący na zewnątrz tego okręgu. Przez punkt P prowadzimy proste styczne do okręgu o i oznaczmy punkty styczności z okręgiem przez A i B. Wtedy zachodzi równość
PA = PB.

Prostą konsekwencją tego twierdzenia jest następujący fakt.

Fakt 1. Dany jest okrąg o i dwie proste styczne do o przecinające się w punkcie P. Pro­wadzimy trzecią prostą styczną do o przecinającą zadane dwie styczne w punktach A i B, tak aby trójkąt PAB nie zawierał punktów ograniczonych danym okręgiem o. Wtedy obwód trójkąta PAB jest równy sumie dwóch odcinków stycznych do o poprowadzonych z punktu P.

Nietrudno zauważyć, ze ten fakt pozwala odcinać na ramionach zadanego kata trójkąty o zadanym z góry obwodzie. Przedstawiony fakt jest tez ścisłe związany z bardzo ładna i często wykorzystywana własnością okręgów dopisanych do danego trójkąta.

Fakt 2 Dany jest trójkąt ABC i okrąg dopisany do tego trójkąta tzn. okrąg styczny do jednego boku tego trójkąta i do przedłużeń pozostałych dwóch boków. Wtedy punkt styczności okręgu dopisanego do podstawy trójkąta i przeciwległy wierzchołek trójkąta połowią obwód tego trójkąta.

Jako uzupełnienie tego materiału proponuje następujące zadanie konstrukcyjne, które bardzo łatwo sformułować także w języku matematyki stosowanej.

Zadanie 2

Dany jest kąt wypukły α o wierzchołku P oraz odcinki o długościach t i a. Poprowadzić prostą, która odetnie od kąta trójkąt PAB o obwodzie 2t taki, ze AB = a.

Wskazówka: Konstrukcja poprowadzenia wymaganej w zadaniu prostej jest związana z następującą konfiguracją. Mamy dwa okręgi rozłączne o rodnych promieniach i prowadzimy wspólne styczne k, l zewnętrzne do obu tych okręgów (tzn. takie styczne, ze oba okręgi leżą po tej samej stronie stycznej). Styczne te przecinają się w punkcie P. Następnie prowadzimy wspólna styczna wewnętrzna m do danej pary okręgów (tzn. taka styczna, ze dane okręgi leżą po rodnych stronach tej stycznej). Niech m przecina k i l w punktach K i L odpowied­nio. Wtedy długość boku KL w trójkącie PKL jest równa długości odcinka stycznego na stycznej zewnętrznej od punktu styczności z jednym okręgiem do punktu styczności z drugim okręgiem. Dowód tego faktu znajduje się w zbiorze zadań dla ucznia dołączonym do tych materiałów.

Następną grupą zadań przedstawionych na wykładzie były zadania o kątach w okręgu. Zada­nia te opierały się na kilku podstawowych twierdzeniach znanych z podręczników szkolnych oraz na dwóch nieco mniej znanych twierdzeniach.

Twierdzenie 1 (o kacie między styczną a cięciwą). Dany jest okrąg o cięciwa AB oraz styczna l do okręgu o w punkcie A. Wtedy kąt ostry pomiędzy styczną
l a cięciwą AB jest równy kątowi wpisanemu w okrąg o i opartemu na mniejszym z luków jakie AB wycina z tego okręgu.

Twierdzenie 2 (o symetralnej i dwusiecznej). Dany jest trójkąt ABC wpisany w okrąg o. Wtedy dwusieczna kąta przy wierzchołku A przecina się z symetralną boku BC na okręgu o.

Twierdzenie drugie podaje prosty sposób rysowania dwusiecznej kata wewnętrznego trójkąta jeżeli dany jest okrąg opisany na tym trójkącie. Jako nietrudne uzupełnienie tego materiału proponuje następujące zadanie.

Zadanie 3.

Niech AB i CD będą nieprzecinającymi się cięciwami danego okręgu o. Znajdź kąt pomiędzy AC i BD.

Wskazówka: Oczywiście zakładamy, ze AC i BD się przecinają. Odpowiedz w tym za­daniu zalety od tego, czy punkt przecięcia się tych prostych leży wewnątrz czy na zewnątrz okręgu. W pierwszym przypadku poszukiwany kat jest suma kątów wpisanych opartych na łukach AB i CD, a w drugim różnicą tych kątów.

Bardzo ładnym zastosowaniem twierdzenia o symetralnej i dwusiecznej jest następujące zadanie.

Zadanie 4.

Wykaz, ze dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta ABC są wysokościami trójkąta o wierzchołkach będących punktami przecięcia się dwusiecznych z okręgiem opisanym na tym trójkącie.

Wskazówka: Niech A', B', C' będą punktami przecięcia się dwusiecznych katów A, B, C z okręgiem opisanym na trójkącie ABC. Nalepy wykazać, ze prosta AA' jest prostopadła do prostej B'C'. Niech P będzie punktem przecięcia się tych prostych. Zauważamy, ze w trójkącie A'C'P suma kątów wewnętrznych przy wierzchołkach A i C' jest kątem wpisanym opartym na sumie łuków będących połową okręgu, więc jest kątem prostym.

Ostatnią grupą zadań prezentowanych na wykładzie były zadania wykorzystujące pojęcie symediany w trójkącie. Jest to pojęcie nieco zapomniane w geometrii elementarnej. Dlatego aby uzupełnić materiał szkolny warto czasami sięgnąć po narzędzia wykraczające poza stan­dardowy podręcznik szkolny.

Definicja. W trójkącie ABC symedianą poprowadzoną z wierzchołka C nazywamy prostą będącą obrazem dwusiecznej kąta C w symetrii osiowej względem środkowej poprowadzonej z wierzchołka C.

Jednym z ważniejszych faktów dotyczących symedian jest następujące twierdzenie.

Twierdzenie 3 Symediany w trójkącie przecinają się w jednym punkcie.

Dowód tego twierdzenia opiera się na następującym ogólnym stwierdzeniu. Jeżeli proste AA', BB' i CC' przechodzące przez wierzchołki trójkąta ABC i przecinające boki tego trójkąta w punktach A', B' i C odpowiednio przecinają się w jednym punkcie, to proste będące ob­razami tych prostych w symetriach osiowych względem dwusiecznych odpowiednich kątów wewnętrznych trójkąta ABC też przecinają się w jednym punkcie. Nietrudny dowód tego stwierdzenia korzysta z trygonometrycznej wersji twierdzenia Cevy. Ogólnie wiadomo, ze dwusieczne w trójkącie przecinają się w jednym punkcie, więc bezpośrednio z przytoczonego stwierdzenia symediany przecinają się w jednym punkcie.

Wykład wspomniał o innych ciekawych faktach dotyczących symedian.

Fakt 3 Symediana dzieli postawę AB trójkąta w stosunku (AC)² : (BC)².

Fakt ten ładnie się łączy ze znanym ze szkolnego materiału twierdzeniem o dwusiecznej.

Fakt 4 Jeżeli AK jest symedianą w trójkącie ABC to styczne do okręgu opisanego na tym trójkącie w punktach B i C oraz AK są współpękowe.

Teza tego faktu może być łatwo wykorzystywana do konstrukcji symediany w danym trójkącie. Wystarczy narysować okrąg opisany na trójkącie i przez punkt przecięcia się stycznych do tego okręgu w punktach B i C poprowadzić prosta przez wierzchołek A.

Dowody tych faktów są zawarte w dołączonym do materiałów zbiorku zadań.

Podręcznik dla nauczyciela

Projekt współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki

2

Projekt współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki

---