ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA

Przedział ufności dla wartości przeciętnej m
	1
		2	lub
Przedział ufności dla wariancji
1-α- poziom ufności dQ- bezwzględny błąd losowy (max błąd szacunku)- połowa przedziału ufności B(Q)- wzgłędny błąd losowy, względna precyzja ω=X/n- częstość występowania sukcesu Estymatory: -nieobciążoność -obciążenie estyma: -asymptot nieobciąż -jeżeli estymator jest nieobciążony (lub asympt nieo) i spełnia to jest zgodny -estymator nieobciążony o najmniejszej wariancji jest najefektywniejszy - jeśli jest nieobciążony: - - średni błąd szacunku -to wyżej/Q-względny średni błąd szacunku -1/sqrt(V(Q))- precyzja szacunku	1	dla k=n
		2	dla k=n-1
		3
Przedział ufności dla wskaźnika struktury (prawdopodobieństwa sukcesu, procentu, odsetka, frakcji)

Minimalna liczebność próby:
Dla oszacowania m
- znane	- nieznane
	(student dla n-1)
Dla oszacowania p
p- znane lub n>100→p=ω	p- nieznane to p=0.5

ROZKŁADY ZMIENNEJ LOSOWEJ

CIĄGŁEJ	SKOKOWEJ
r. jednostajny [a,b]	r. zero-jedynkowy EX=np VX=pq E(C)=C E(CX)=CE(X) E(X+Y)=E(X)+E(Y) E(X-Y)=E(X)-E(Y) E(Σxi)=ΣE(xi) V(C)=0 V(CX)=C^2E(X) V(Σxi)=ΣV(xi)
r. wykładniczy EX= VX=	r. dwumianowy EX=np VX=npq gdy p<0.2 i n>100- przybliżamy r. Poissona gdy n>30- przybliżamy r. normalnym X-N(np., )
r. normalny EX=m VX=
		r. Poissona EX=m VX=m
r. chi-kwadrat dla k<30 k>30⇒	r. geometryczny
r. studenta T-N(0,1)	r. hipergeometryczny N-liczba el. W populacji R-liczba el majacych wyróżnioną cechę w populacji n- liczebność próbki k- liczba sukcesów (wyr elw próbce

Statystyki z próby:

Test stosunku wiarogodności:

Statystyka testowa:

-nie znamy rozkładu. Jeżeli próba duża to rozkład
zbiega do rozkładu chi-kwadrat o 1 stopniu swobody

Zbiór krytyczny Z jest prawostronny:

		Warunki		Sprawdzian hipotezy			Wartość krytyczna
WARTOŚĆ PRZECIĘTNA H0:m=m0 H1:m≠m0 H1:m>m0 H1:m<m0		σ znane, n<30 σ znane, n>30 σ nieznane, n>30 (σ=S)		rozk:N(0,1)			zb. dwustronny zb. jednostronny
				σ nieznane n<30		lub rozk. Studenta o n-1 st. swo			zb. dwustronny zb. jednostronny
		DWIE WARTOŚCI PRZECIĘTNE H0:m1=m2 H1:m1≠m2 H1:m1>m2 H1:m1<m2		σ1,σ2 znane n1<30 n2<30 σ1,σ2 znane n1>30 n2>30 σ1,σ2 nieznane n1>30 n2>30		rozk: n(0,1)			zb. dwustronny zb. jednostronny
				σ1,σ2 nieznane n1<30 n2<30, σ1=σ2 (Jeśli nie wiemy, czy σ1=σ2 to należy zweryfikować hipotezę o dwóch wariancjach H0:σ1^2=σ2^2)		rozk: Studenta o n1+n2-2 st. swobody			zb. dwustronny zb. jednostronny
WSKAŹNIK STRUKTURY H0:p=p0 H1:p≠p0				rozk:N(0,1)			zb. dwustronny zb. jednostronny
DWA WSKAŹNIKI STRUKTURY H0:p1=p2 H1:p1≠p2		n1>100, n2>100		rozk:N(0,1)			zb. dwustronny zb. jednostronny
WARIANCJA H0:σ^2=σ0^2 H1:σ^2>σ0^2 (Zwykle prawostronny zbiór krytyczny)		m znane n<30		rozk χ^2z n st swob
				m nieznane n<30		rozk χ^2z n-1 st swob
				m znane n>30		rozk: N(0,1)			zb. dwustronny zb. jednostronny
				m nieznane n>30		rozk: N(0,1)
DWIE WARIANCJE H0:σ1^2=σ2^2 H1:σ1^2>σ2^2		Numerujemy tak aby		rozk: F-Snedecora r1=(n1-1) r2=(n2-1) stopni swobody			Jeśli Fe>Fα- odrzucamy H0
Dla średniej					Dla wariancji
	n<30, X-N(m,σ)		n>30, X-dow			n<30, X-N(m,σ)		n>30, X-N(m,σ)
σ-znane					m-znane
σ-nieznane	dla n>=10 dla n<10				m-nieznane	dla n>=10 dla n<10		T-N(0,1)- roz norm Tn-1- stud o n-1 st swo χ^2- chi^2o k(n lub n-1) st swob

Lemat Neumanna-Pearsona:

Zbiór odrzucenia hipotezy H₀:

α= P(zbiór odrzucenia)(0,06)+pi*P(granica)

made by sheep®

TESTY ZGODNOŚCI:

Chi-kwadrat	rozk: χ^2 k=(r-s-1) st swob r- liczba przedziałów klasowych s- liczba wstępnie estymowanych parametrów chie>chiα- odrzucamy H0	szereg rozdzielczy X-N(m,σ) 0.5-Φ(- ti1) gdy ti1<0 F(ti1)= 0.5 gdy ti1=0 0.5+Φ( ti1) gdy ti1>0 p1=F(ti1) pi=F(ti1)-F(t(i-1)1) pr=1-F(t(r-1)1)
λ- Kołmo	rozk:λ-Koł	z tablic F(ti1) jak wyżej λe<λα- nie ma podstaw do odrzucenia
Kołmo-Smirn	rozk:λ-Kołmogorowa	z tablic λe<λα- nie ma podstaw do odrzucenia H0

ESTYMACJA PUNKTOWA:

-nierówność Rao- Cramera

-efektywność estymatora

-metoda największej wiarygodności

INNE:

-wniosek z tw.M-L gdy
,
,

to
, n>30

-CTG Z_n=X₁+...+X_n to

-wniosek z CTG jeśli

to
, n duże

Przybliżenia normalnym:

-suma o różnych rozkładach normalnych:

-różnica różnych

-różnica jednakowych

-średnia różnych

Rozkład różnicy średnich arytmetycznych z n-elementowych prób z populacji normalnych

-m₁,m₂ znane, σ₁,σ₂ znane

-m₁,m₂ znane, σ₁,σ₂ jednakowe, nieznane

,
,

---