Warszawa, 19.11.2009

Politechnika Warszawska

Wydział SiMR

Praca Domowa

Podstawy eksploatacji i niezawodności

Wykonał:

Paweł Jamiołkowski

Gr. 4.5

Dane dla zbioru o numerze 201 :

Nr przedziału	Granice przedziału		Środek przedziału	Liczba obserwacji
L	XLj	XPj	Xj	nj	Xj*nj	((Xj)^2)*nj	Е(nj)	N- Е(nj)
1	0	250	125	1	125	15625	1	595
2	250	500	375	2	750	281250	3	593
3	500	750	625	13	8125	5078125	16	580
4	750	1000	875	44	38500	33687500	60	536
5	1000	1250	1125	96	108000	121500000	156	440
6	1250	1500	1375	142	195250	268468750	298	298
7	1500	1750	1625	142	230750	374968750	440	156
8	1750	2000	1875	97	181875	341015625	537	59
9	2000	2250	2125	44	93500	198687500	581	15
10	2250	2500	2375	13	30875	73328125	594	2
11	2500	2750	2625	2	5250	13781250	596	0
			Suma	596	893000	1430812500

Z danych wejściowych obliczyliśmy następujące wartości:

Wariancja:

s² = 155722,9

Wartość średnia:

= 1498,3

Odchylenie standardowe:

s = 394,6

Liczność próbki:

N = 596

W tabeli poniżej zamieszczam podstawowe miary niezawodności:

- środek przedziału

- liczba obserwacji

- funkcja gęstości

- funkcja zawodności (dystrybuanta)

- funkcja niezawodności

- funkcja ryzyka

Nr Przedziału	Środek przedziału	Liczba obserwacji	Funkcja gęstości	Funkcja zawodności (dystrybuanta)	Funkcja niezawodności	Funkcja ryzyka
j	Xj	nj	f(x)=nj/(N*Dx) *10^-3	F(x)=Snj/N *10^-2	R(x)=(N-Snj)/N *10^-2	l(x)=nj/Dx(N-Snj)*10^-3
1	125	1	0,007	0,2	99,8	0,007
2	375	2	0,013	0,5	99,5	0,013
3	625	13	0,087	2,7	97,3	0,090
4	875	44	0,295	10,1	89,9	0,328
5	1125	96	0,644	26,2	73,8	0,873
6	1375	142	0,953	50,0	50,0	1,906
7	1625	142	0,953	73,8	26,2	3,641
8	1875	97	0,651	90,1	9,9	6,576
9	2125	44	0,295	97,5	2,5	11,733
10	2375	13	0,087	99,7	0,3	26
11	2625	2	0,013	100	0	-

Poniżej zamieszczam wartości uzyskane z przeprowadzonego rozkładu normalnego:

Wartości do rozkładu normalnego:

- wartość średnia:

= 1498,3

- wariancja:

s² = 155722,9

- odchylenie standardowe:

s = 394,6

- liczność próbki:

N = 596

Przeprowadzono test zgodności χ ² :

- Liczba stopni swobody

r = 8

- Poziom istotności

α = 0,05

Otrzymane wyniki:

- wartość krytyczna rozkładu

χ² = 15,507

- wartość dla zadanego rozkładu

χ² = 1,480

Hipoteza może zostać przyjęta ponieważ wartość dla rozkładu jest mniejsza od wartości krytycznej.

Rozkład normalny:

Nr przedziału	Granice przedziału			Środek przedziału	Liczba obserwacji	Standaryzacja	Funkcja gęstości	Dystrybuanta	Funkcja niezawodności	Funkcja ryzyka	Standaryzacja na końcach przedziału			Dystrybuanta na końcach przedziałów			Prawdop. Zmn. Losowej w przedziale	Statystyka hi^2 Pearsona
	XLj		XPj	Xj	nj	uj=(xj-xsr)/s	f(xj) *10^-3	F(xj)=F(uj)	R(xj)=1-F(xj)	l(xj) *10^3	uLj		upj	F(xLj)		F(xPj)	pj=F(xPj)-F(xLj)
1	0		250	125	1	-3,480	0,0024	0,0003	0,9997	0,002	-3,80		-3,16	0,000		0,001	0,0007	0,796
2	250		500	375	2	-2,847	0,0176	0,0022	0,9978	0,018	-3,16		-2,53	0,001		0,006	0,0049	0,298
3	500		750	625	13	-2,213	0,0873	0,0134	0,9866	0,089	-2,53		-1,90	0,006		0,029	0,0233	0,053
4	750		1000	875	44	-1,580	0,2904	0,0571	0,9429	0,308	-1,90		-1,26	0,029		0,103	0,0744	0,002
5	1000		1250	1125	96	-0,946	0,6462	0,1721	0,8279	0,781	-1,26		-0,63	0,103		0,265	0,1613	0,000
6	1250		1500	1375	142	-0,313	0,9628	0,3773	0,6227	1,546	-0,63		0,00	0,265		0,502	0,2371	0,003
7	1500		1750	1625	142	0,321	0,9602	0,6259	0,3741	2,567	0,00		0,64	0,502		0,738	0,2365	0,008
8	1750		2000	1875	97	0,955	0,6410	0,8301	0,1699	3,773	0,64		1,27	0,738		0,898	0,1600	0,028
9	2000		2250	2125	44	1,588	0,2865	0,9439	0,0561	5,101	1,27		1,90	0,898		0,972	0,0734	0,001
10	2250		2500	2375	13	2,222	0,0857	0,9868	0,0132	6,515	1,90		2,54	0,972		0,994	0,0228	0,027
11	2500		2750	2625	2	2,855	0,0172	0,9978	0,0022	7,979	2,54		3,17	0,994		0,999	0,0048	0,263
				Suma	596												0,9992	1,480

Rozkład Weibulla dla Xo= -140,2

Nr przedziału	Granice przedziału			Środek przedziału	Liczba obserwacji	Korekcja	Funkcja gęstości	Dystrybuanta	Funkcja niezawodności	Funkcja ryzyka	Dystrybuanta na końcach przedziałów			Prawdop. Zmn. Losowej w przedziale	Statystyka hi^2 Pearsona
	XLj		XPj	Xj	nj	(Xj-Xo)	f(xj) *10^-3	F(xj)=F(uj)	R(xj)=1-F(xj)	l(xj) *10^3	F(xLj)		F(xPj)	pj=F(xPj)-F(xLj)
1	0		250	125	1	265,2	0,0012	0,00004	1,000	0,00	0,00		0,00	0,0006	1,2
2	250		500	375	2	515,2	0,0296	0,0029	0,997	0,03	0,00		0,01	0,0081	1,7
3	500		750	625	13	765,2	0,1272	0,0207	0,979	0,13	0,01		0,04	0,0328	2,2
4	750		1000	875	44	1015,2	0,3178	0,0743	0,926	0,34	0,04		0,12	0,0802	0,3
5	1000		1250	1125	96	1265,2	0,5780	0,1856	0,814	0,71	0,12		0,27	0,1442	1,2
6	1250		1500	1375	142	1515,2	0,8097	0,3611	0,639	1,27	0,27		0,47	0,2006	4,2
7	1500		1750	1625	142	1765,2	0,8707	0,5760	0,424	2,05	0,47		0,68	0,2151	1,5
8	1750		2000	1875	97	2015,2	0,6949	0,7762	0,224	3,11	0,68		0,85	0,1723	0,3
9	2000		2250	2125	44	2265,2	0,3902	0,9125	0,088	4,46	0,85		0,95	0,0983	3,6
10	2250		2500	2375	13	2515,2	0,1440	0,9766	0,023	6,15	0,95		0,99	0,0375	3,9
11	2500		2750	2625	2	2765,2	0,0322	0,9961	0,004	8,21	0,99		1,00	0,0089	2,1
				Suma	596									0,9987	22,17

Rozkład Weibulla dla Xo=0

Nr przedziału	Granice przedziału			Środek przedziału	Liczba obserwacji	Funkcja gęstości	Dystrybuanta	Funkcja niezawodności	Funkcja ryzyka	Dystrybuanta na końcach przedziałów			Prawdop. Zmn. Losowej w przedziale	Statystyka hi^2 Pearsona
L	XLj		XPj	Xj	nj	f(xj) *10^-3	F(xj)=F(uj)	R(xj)=1-F(xj)	l(xj) *10^3	F(xLj)		F(xPj)	pj=F(xPj)-F(xLj)
1	0		250	125	1	0,0124	0,00052	0,999	0,01	0,000		0,000	0,0041	0,86
2	250		500	375	2	0,1092	0,01378	0,986	0,11	0,004		0,032	0,0282	13,03
3	500		750	625	13	0,2874	0,06199	0,938	0,31	0,032		0,105	0,0723	20,99
4	750		1000	875	44	0,5027	0,16066	0,839	0,60	0,105		0,230	0,1253	12,60
5	1000		1250	1125	96	0,6815	0,31031	0,690	0,99	0,230		0,399	0,1692	0,23
6	1250		1500	1375	142	0,7487	0,49198	0,508	1,47	0,399		0,585	0,1856	8,89
7	1500		1750	1625	142	0,6731	0,67255	0,327	2,06	0,585		0,752	0,1672	18,02
8	1750		2000	1875	97	0,4929	0,81970	0,180	2,73	0,752		0,875	0,1230	7,65
9	2000		2250	2125	44	0,2905	0,91720	0,083	3,51	0,875		0,948	0,0732	0,00
10	2250		2500	2375	13	0,1355	0,96904	0,031	4,38	0,948		0,983	0,0346	2,83
11	2500		2750	2625	2	0,0492	0,99080	0,009	5,34	0,983		0,995	0,0128	4,17
				Suma	596								0,9954	89,28

Na podstawie rozkładu Weibulla dla x₀ = 0 określiłem wartości parametrów x₁, x₂, x₃ dzięki którym wyznaczyłem wartość parametru progowego x₀

x₁ = 540

x₂ = 875

x₃ = 1375

Następnie z wykresu wyznaczyłem parametr kształtu i skali:

Nr Przedziału	Środek przedziału		Funkcja zawodności (dystrybuanta)	LN(Xj-Xo)	LN(LN(1/(1-F(Xj))))
j	Xj	Xj-Xo	F(Xj)
1	125	265,2	0,002	5,580	-6,389
2	375	515,2	0,005	6,240	-5,289
3	625	765,2	0,027	6,640	-3,604
4	875	1015,2	0,101	6,923	-2,243
5	1125	1265,2	0,262	7,143	-1,192
6	1375	1515,2	0,500	7,323	-0,367
7	1625	1765,2	0,738	7,476	0,293
8	1875	2015,2	0,901	7,608	0,838
9	2125	2265,2	0,975	7,725	1,304
10	2375	2515,2	0,997	7,830	1,740
11	2625	2765,2	1,000	7,925

A = 3,8892 B = -28,907

Parametr skali: a = 1690,3

Parametr kształtu: b = 3,89

Dla rozkładów Weibulla wartości krytyczne dla tych rozkładów są mniejsze od wartości otrzymanych w wyniku badania. Wynika z tego że rozkłady te nie mogą zostać przyjęte.

Dla rozkładu Weibulla dla Xo= -140,2 wartość krytyczna rozkładu χ² = 14,067

a wartość dla rozkładu wynosi χ² = 22,169

Dla rozkładu Weibulla dla Xo= 0 wartość krytyczna wynosi: χ² = 15,507 a wartość dla rozkładu wynosi χ² = 89,277.

W obydwu przypadkach wartości dla zadanych rozkładów przekraczają wartości graniczne, co powoduje, że hipotezy nie są prawdziwe.

Dany rozkład daje się opisać tylko za pomocą rozkładu normalnego ponieważ test zgodności χ² (chi-kwadrat) dla rozkładu Weibulla nie zakończył się powodzeniem, χ² otrzymaliśmy większe od wartości krytycznej.

Poniższe wykresy przedstawiają graficzny opis podstawowych miar niezawodności:

Określenie zasobów 90% i 50%

- dla rozkładu normalnego

γ_90% = kwantyl rzędu (1- γ /100) = x_0,1

u_0,1 = (x_0,1 - μ)/s

x_0,1 = μ+ s u_0,1

dla γ_90% : u_0,1 = -1,28 x_0,1 = 993,2

dla γ_50% : u_0,5 = 0 x_0,5 = 1498,3

- dla rozkładu Weibulla Xo=-140,2

γ_90% = kwantyl rzędu (1- γ /100) = x_0,1

x_γ =

a = 1690,3

b = 3,89

x₀ = -140,2

dla γ_90% : x_0,1 = 807,5

dla γ_50% : x_0,5 = 1954,4

Określenie przedziału ufności dla odchylenia standardowego przy zadanym poziomie istotności α = 0,05

α/2 = 0,025

1 - α/2 = 0,975

N = 596

χ²(α/2 ; N-1) = 664,5

χ²(1 - α/2 ; N-1) = 529,3

- dla rozkładu normalnego

373,42 < s < 418,39

s = 394,6

- dla rozkładu Weibulla Xo=-140,2

416,51 < s < 466,68

s = 440,2

Określenie przedziału ufności dla wartości średniej przy zadanym poziomie istotności α = 0,05

α = 0,05

r = 595

t(α,r)=1,964

- dla rozkładu normalnego

1466,55 < s < 1530,09

s = 394,6
=1498,3

- dla rozkładu Weibulla Xo=-140,2

1354,03 < s < 1424,90

s = 440,2
=1389,5

---