WYMIANA CIEPŁA

Wymiana ciepła występuje wówczas, gdy występuje różnica temperatur w danym ciele lub układzie ciał wzajemnie na siebie oddziałujących

Wymianę ciepła dzielimy na 3 rodzaje:

1. przewodzenie ciepła;

2. konwekcję lub unoszenie;

3. promieniowanie ciepła;

Ad. 1. Przewodzenie ciepła

Przewodzenie ciepła jest to przekazywanie ciepła w danym ciele lub w układzie ciał wzajemnie na siebie oddziałujących drogą przekazywania energii kinetycznej mikroskopowego ruchu cząsteczek. Występuje przede wszystkim w ciałach stałych oraz w tych płynach, w których cząsteczki są bez ruchu.

Przewodzenie ciepła opisane jest różnymi równaniami różniczkowymi o określonych warunkach początkowych i brzegowych.

Ad. 2. Konwekcja lub unoszenie

Konwejcja jest to wymiana ciepła w poruszającym się płynie. Polega na tym, że cząsteczki płynu o różnych gęstościach w wyniku różnicy temperatury w tym płynie przemieszczają się wzajemnie względem siebie i mieszając się między sobą przekazują ciepło.

Jest to wymiana ciepła drogą wzajemnego mieszania się cząsteczek.

Niezbędnym warunkiem konwekcji jest ruch płynu na powierzchniach ciepła, może być wywołany w różny sposób:

• sposób naturalny przez różnicę gęstości płynu wywołane różnicą temperatury (ogrzany płyn na grzejniku c.o. unosi się ku górze i napotykając cząsteczki o niższej temperaturze wymienia z tymi cząsteczkami ciepło). Taką konwekcję nazywamy konwekcją swobodną lub konwekcją naturalną.

• Ruch płynu na powierzchni ciepła może być wywołany pracą maszyn przepływowych (pomp, wentylatorów, sprężarek itd.). Taką konwekcję nazywa się konwekcją wymuszoną.

Konwekcja opisana jest jest układem co najmniej 4 równań:

• Równanie ciągłości;

• Równanie wymiany ciepła;

• Równanie Stokesa - Navierra;

• Rownanie Newtona - Fouriera;

Ad. 3. Promieniowanie ciepła

Promieniowanie ciepła jest to przekazywanie ciepła za pośrednictwem fal elktromagnetycznych, promieniowania cieplnego (promieniowania podczerwonego). Są to fale elektromagnetyczne o określonej długości λ promieniowania cieplnego. Ciała o określonej temperaturze bezwzględnej
emitują i pochłaniają fale elektromagnetyczne. Jest to jedyny rodzaj wymiany ciepła, która zachodzi pomiędzy ciałami na odległość rozgraniczonymi ośrodkiem przepuszczalnym dla fal elektromagnetycznych.

Wymiana ciepła przez promieniowanie opisana jest prawami promieniowania. Dla ciał stałych jest tych praw 5 i należą do nich:

• Prawo Plancka;

• Prawo Wiena;

• Prawo Stephana - Boltzmanna;

• Prawo Kirchoffa;

• Prawo Lamberta;

W technice najczęściej wspólnie występują dwa albo trzy rodzaje wymiany ciepła (konwekcja i przewodzenie ciepła, albo konwekcja, przewodzenie i promieniowanie ciepła).

Jeżeli wspólnie występują 2 lub 3 rodzaje wymiany ciepła to nazywamy to złożoną wymianą ciepła. Należą do nich:

• Przejmowanie ciepła (wymiana pomiędzy powierzchnią ciała stałego, a omywającym go płynem poruszającym się ruchem naturalnym lub wymuszonym).

• Przenikanie ciepła (wymiana ciepła między dwoma płynami o różnych wartościach temperatury, rozdzielonymi ścianką ciała stałego).

USTALONA I NIEUSTALONA WYMIANA CIEPŁA

Ustalona wymiana ciepła: zachodzi wówczas, gdy pole temperatury w ciele lub w ciałach w których przekazywane jest ciepło nie ulega zmianie.

Dla nieustalonej wymiany ciepła pole temperatury zmienia się w czasie i ilość przekazywanego ciepła też zmienia się w czasie.

Przewodzenie ciepła

Strumień przewodzenia ciepła - stosunek elementarnej ilości przekazywanego ciepła do czasu trwania wymiany ciepła

Dla ustalonej wymiany ciepła ilość przekazywanego ciepła w czasie nie ulega zmianie:

Gęstość strumienia ciepła - jest to ilość ciepła przekazywanego w jednostce czasu przez 1 m² powierzchni wymiany ciepła.

Ilość przekazywanego ciepła drogą przewodzenia w danym ciele lub w kilku bezpośrednio ze sobą stykających się ciał jest znane wówczas, gdy znane jest pole temperatury w układzie ciał.

Pole temperatury - zbiór wszystkich wartości temperatury w danym ciele lub w kilku bezpośrednio ze sobą stykających się ciał w określonej chwili czasu w warunkach nieustalonej wymiany ciepła dla przestrzennego układu wymiany ciepła.

Pole temperatury opisane jest funkcją:

- ustalone pole temperatury

Jednowymiarowe pole temperatury zachodzi wówczas gdy:

Z polem temperatury ściśle związany jest gradient temperatury

Gradient temperatury - największa zmiana temperatury w polu temperatury - jest zawsze prostopadły do powierzchni izotermicznej.

Powierzchnie izotermiczne - są to płaszczyzny o stałej temperaturze.

Gradient temperatury opisuje się:

Gradient temperatury jest wektorem. W postaci wektorowej oznacza się go :

Z gradientem temperatury z kolei ściśle związana jest ilość ciepła przekazywanego drogą przewodzenia, mianowicie przewodzenie ciepła opisuje prawo Fouriera, które wyrażone jest następującą zależnością:

Strumień przewodzonego ciepła:

λ - współczynnik przewodności cieplnej materiału przewodzącego ciepło

- zawsze wyznacza się doświadczalnie, zgodnie z jego definicją

Od wartości λ zależy pole temperatury.

Dla materiałów izolacyjnych

Dla określenia pola temperatury w ciałach przewodzących ciepło wykorzystuj się równania różniczkowe. Podstawowym równaniem jest równanie Fouriera na nieustalone przewodzenie ciepła.

Do rozwiązania tego równania stosuje się najczęściej 4 warunki brzegowe:

1. Warunek Dirichleta (znany jest rozkład temperatury na powierzchniach zewnętrznych ciała przewodzącego ciepło w określonej chwili czasu)

2. Warunek Neumanna (znany jest rozkład gęstości strumienia ciepła dla ciała lub ciał przewodzących ciepło na powierzchniach zewnętrznych tego ciała lub ciał w określonej jednostce czasu).

Ustalone przewodzenie ciepła przez jednorodną warstwę płaską.

Założenia:

1. 
   ustalona wymiana ciepła
   

2. dane są temperatury na powierzchniach zewnętrznych
   i
   ;
   (znany warunek brzegowy I rodzaju)

3. znane wymiary geometryczne warstwy (grubość e i pozostałe wymiary, przy czym e>> od pozostałych wymiarów)

4. znana jest wartość
   i ciało jest izentropowe (
   we wszystkich kierunkach jest jednakowa)

stałe całkowania wyznaczamy z warunków brzegowwych.

- wzór na pole temperatury

Korzystając z prawa Fouriera:

- jednostkowy opór cieplny przewodzenia przez jednorodną warstwę płaską

F - pole powierzchni wymiany ciepła.

- całkowity opór przewodzenia (dla całej powierzchni wymiany ciepła) przez jednorodną warstwę płaską.

Ustalone przewodzenie ciepła przez płaską ścianę złożoną.

Założenia:

1. 
   Rozpatrywane jest ustalone przewodzenie ciepła
   

2. znane są wyłącznie wartości temperatury na powierzchniach zewnętrznych układu
   . Nie znane są wartości temperatury na granicach warstw.
   

3. znane są wszystkie wymiary geometryczne układu, w tym
   i pozostałe wymiary.

4. 
   od pozostałych wymiarów (wymiana ciepła zachodzi w jednym kierunku).

5. znane są wszystkie współczynniki przewodności cieplnej
   dla poszczególnych warstw.

6. wszystkie warstwy są izotropowe.

7. spełniony jest warunek
   

Obliczanie temperatury na granicy warstw lub w głębi dowolnej warstwy.

- suma wszystkich jednostkowych oporów przewodzenia cieplnego przez poszczególne warstwy płaskie na długości rozpatrywanych temperatur
(warstw izotermicznych)

Ustalone przewodzenie ciepła przez jednorodną powierzchnię walcową.

Założenia:

1. rozpatrujemy ustalone przewodzenie ciepła przez ściankę walca.

2. znana jest wartość
   , ścianka jest izotropowa.

3. znane są wszystkie wymiary geometryczne walca (promienie
   lub średnice
   oraz długość walca l).
   - przewodzenie ciepła przez ściankę zachodzi wzdłuż promienia r.

4. znane są wartości temperatur na powierzchniach zewnętrznych walca
   .
   (znany warunek brzegowy II rodzaju).

Z przedstawionych w modelu założeń wynika:

Przewodzenie w ściance jest ustalone i zachodzi wyłącznie wzdłuż promienia r walca.

Równanie różniczkowe na pole temperatury ma postać:

Warunki brzegowe:

Ponieważ pole wymiany ciepła na wewnętrznym promieniu jest mniejsze niż na promieniu zewnętrznym, dla ścian walcowych w obliczeniach strumienia ciepła przyjmuje się Q.

- strumień przewodzonego ciepła przez elementarny walec zaznaczony na modelu o grubości dr.

Ogólna charakterystyka przejmowania ciepła

Wymiana ciepła drogą przejmowania skłąda się z:

1. konwekcji (unoszenia);

2. przewodzenia;

3. promieniowania (występuje wówczas, gdy płynem omywającym powierzchnię jest gaz, w przypadku cieczy promieniowanie nie zachodzi);

Jeżeli wymiana ciepła pomiędzy powierzchnią ciała stałego i omywającym go płynem zachodzi wyłącznie na drodze konwekcji (unoszenia i przenoszenia), wówczas przejmowanie nosi nazwę przejmowania ciepła przy konwekcji.

Strumień wymienianego ciepła drogą przejmowania określa prawo Newtona:

- współczynnik przejmowania ciepła (charakteryzuje on intensywność wymiany ciepła pomiędzy powierzchnią ciała stałego i omywającym tę powierzchnię płynem).

W ogólnym przypadku

- współczynnik przejmowania ciepła przez konwekcję

- współczynnik przejmowania ciepła przez promieniowanie

- jest liczbowo róny strumieniowi ciepła wymienionego przez konwekcję dla 1 m² powierzchni ciała stałego z przyległym do tej powierzchni płynem przy różnicy temperatury tej powierzchni i przyległego do niej płynu wynoszącej 1K.

- jest liczbowo równy strumieniowi ciepła wymienionego przez promieniowanie pomiędzy 1 m² powierzchni ciałą stałego, a jej otoczeniem przy różnicy temperatury wynoszącej 1K pomiędzy tą powierzchnią i przyległym do niej płynem.

Otoczenie - wszystkie ciała znajdujące się w polu widzenia powierzcni wymieniającej ciepło. Będą to przede wszystkim ciała stałe, ciecze, i gazy jeżeli biorą udział w wymianie ciepła.

Wymiana ciepła drogą przejmowania zależy m. in. od rodzaju ruchu płynu na powierzchni wymiany ciepła. Ruch płynu na tych powierzchniach może być wywołany w sposób naturalny poprzez różnicę gęstości płynu, wówczas dla takiego ruchu płynu przejmowanie nosi nazwę przejmowania przy konwekcji swobodnej lub naturalnej.

Jeżeli ruch płynu na powierzchni wymiany ciepła wywołąny jest w sposób sztuczny (przez pracę maszyn przepływowych), wówczas konwekcja taka nosi nazwę konwekcji wymuszonej a przejmowanie ciepła jest przejmowaniem przy konwekcji wymuszonej.

Wyznaczanie α_k.

α_k jest uwikłaną funkcją wielu zmiennych i trudno jest go obliczyć drogą analityczną. Dlatego najczęściej α_k wyznacza się drogą doświadczalną.

Najczęsciej α_k wyznacza się stosując teorię podobieństwa cieplnego zjawisk. Teoria podobieństwa cieplnego polega z kolei oparta jest na analizie równań różniczkowych opisujących zjawiska przejmowania ciepła.

1. Równanie Naviera - Stockesa.
   
   

2. Równanie Kirchoffa - Fouriera.
   
   

3. 
   

Aby w sposób analityczny obliczyć α_k należy rozwiązać układ co najmniej tych trzech równań.

Teoria podobieństwa cieplnego polega na analizie równań opisujących wymianę ciepła.

Wyznacza się liczby charakteryzujące wymianę ciepła.

Z analizy równania 1, równania ruchu na powierzchni wymiany ciepła wyznacza się liczby podobieństwa mechanicznego w tym liczbę Reynoldsa
i liczbę Grashofa

Z analizy równań 2 i 3 wyznacza się liczby podobieństwa cieplnego w tym liczbę Nusselta
i Prandtla

- różnica temperatury pomiędzy powierzchnią ciała stałego a omywającym go płynem

- współczynnik przejmowania ciepła przez konwekcję.

- współczynnik przewodności cieplnej płynu omywającego powierzchnię wymiany ciepła.

Liczba Reynoldsa charakteryzuje ruch płynu przy konwekcji wymuszonej (w zależności od wartości Re występuje ruch laminarny, przejściowy lub burzliwy).

Liczba Grashofa lub iloczyn
charakteryzuje ruch płynu przy konwekcji swobodnej (w zależności od wartości
lub
będzie to ruch laminarny, przejściowy lub burzliwy).

Wyznaczanie współczynnika przejmowania ciepła przez konwekcję α_k.

Przejmowanie ciepła przy konwekcji swobodnej w przestrzeni nieograniczonej. Pod tym pojęciem należy rozumieć powierzchnię wymiany ciepła zanurzoną w dużej objętości płynu omywającego tę powierzchnię wymiany ciepła. Są to następujące przypadki:

• ogrzewanie powietrza za pomocą grzejników C.O.

• ogrzewanie powietrza za pomocą pieców kaflowych.

Przy konwekcji swobodnej wartość współczynnika przejmowania ciepła zależy od rodzaju ruchu płynu na powierzchni wymiany ciepła, a więc od tego czy jest to ruch laminarny, przejściowy, czy burzliwy. Najmniejsze wartości α_k przyjmuje przy ruchu laminarnym, ponieważ płyn jest uwarstwiony i między warstwami płynu zachodzi także przewodzenie ciepła. Wartości α_k rosną dla ruchu przejściowego, a najwyższe wartości α_k występują dla ruchu burzliwego.

Dla konwekcji swobodnej w przestrzeni nieogrniczonej rodzaj ruchu zależy od
.

- ruch laminarny

- ruch przejściowy

- ruch burzliwy.

Wymianę ciepła przez przejmowanie przy konwekcji swobodnej w przestrzeni nieograniczonej określają równania tryterialne wyznaczone drogą doświadczalną na podstawie podobieństwa cieplnego. Równania te w ogólnej funkcyjnej postaci

1. Ruch laminarny płynu
   

• 
  Przejmowanie od rur i płyt poziomych
  
  
  
  

• Przejmowanie od rur i płyt pionowych
  
  
  

Ruch przejściowy i burzliwy

PRAWO FOURIERA

Gęstość strumienia przewodzonego ciepła jest wprost proporcjonalna do gradientu temperatury

Definicja λ

λ jest to ilość przewodzonego ciepła (w danym materiale) w jednostce czasu dla 1 m² powierzchni wymiany ciepła przy spadku temperatury o 1 K (1°C) na długości 1 m.

e

q

t

x

t₁

t₂

t₃

t_i

t_n

t_n+1

t

x

q

t₁

t₂

Przejmowanie ciepła

Jest to wymiana ciepła pomiędzy powierzchnią ciała stałego, a omywającym tą powierzchnię płynem.

---