Data : 18 marca 2011r

Temat: Wyznaczanie ładunku kondensatora z krzywej rozładowania.

Grupa II. Sekcja 2

1. Cześć teoretyczna.

1. Opis badanego zjawiska fizycznego.

Pojemnością C nazywamy stosunek ładunku Q zgromadzonego na okładkach do napięcia U panującego na zaciskach:

                        
     (1)

                    

Wprowadzając dodatkowy ładunek dQ spowodujemy wzrost napięcia o dU i równanie (1) przyjmie postać

 

                         Q+dQ=C(U+dU)     (2)

Odejmujemy stronami równanie (1) od (2) i mamy

 

          (3)

Załóżmy, że kondensator, na którego okładkach panuje napięcie U₀, rozładowujemy

przez opór R. Wtedy ubytek ładunku, zgodnie z wzorem definicyjnym (dQ = Idt),

wynosi

-dQ=Idt                    (4)

 

Z prawa Ohma U = RI mamy

 

dU=RdI                    (5)

 

Podstawiając (4) i (5) do równania (3), otrzymujemy związek

 

                        
             (6)

który całkujemy w granicach od I₀ do I oraz od 0 do t, otrzymując

 

                        
            lub       
      (7)

W przypadku ładowania kondensatora wzór (7) przyjmuje postać

          (8)

Podstawiając I= U/R oraz I₀ = U₀/R do równania (7) lub (8), otrzymujemy wzory, którymi wyraża się spadek napięcia przy rozładowaniu

 

   (9)

lub przy ładowaniu

 

                        
       (10)

Z równania (7) możemy obliczyć również całkowity ładunek, jaki był zgromadzony

na okładkach kondensatora w chwili t= 0. Zgodnie z definicją ładunku (Q = It) mamy

 

                        
  (11)

Całkujemy powyższe wyrażenie w granicach od t = O do t =∞, otrzymując całkowity

ubytek ładunku:

 

       (12)

skąd

 

                        Q=RCI₀                      (13)

 

Zatem ładunek Q jest proporcjonalny do prądu rozładowania I₀ płynącego w chwili t=0.

2. Opis metody pomiaru

Łączymy układ według schematu. Na opornicy dekadowej ustawiamy taka wartość rezystancji R aby nie przekroczyć maksymalnego zakresu amperomierza (300 A) przy napięciu zasilania 2,5 V. Następnie zamknąć włącznik K i dopasować rezystancje aby na amperomierzu uzyskać wychylenie 300 A. Naładować kondensator C a później poprzez rozwarcie włącznika K mierzyć czas rozładowania kondensatora w rożnych przedziałach rozładowania. Pomiar należy wykonać 3 krotnie.

3. Podstawowe wzory

U - Napięcie

I₀ - Maksymalny prąd

R_z - Rezystancja

2. Schemat układu pomiarowego.

V - woltomierz

A - mikroamperomierz

C - Kondensator

R - Opornica dekadowa

K - Włącznik

3. Wykaz przyrządów pomiarowych.

• Mikroamperomierz

• Woltomierz

• Opornica dekadowa

• Prostownik

• Zasilacz

• Stoper

4. Opis przebiegu ćwiczenia.

Przed przystąpieniem do ćwiczenia należy obliczyć R_z i wartość ta należy ustawić na opornicy dekadowej (R) aby nie został przekroczony maksymalny zakres mikroamperomierza który wynosi 300 µA. Po włączeniu należało zmienić obliczona wartość rezystancji ponieważ przy obliczeniach został pominięty opór wewnętrzny przyrządów aby na mikroamperomierzy było 300 µA. Później należało poprzez zwarcie włącznika k naładować kondensator i po jego puszczeniu (w chwili jego rozładowywania) należało mierzyć czas po zmniejszeniu się na nim prądu o 20 µA. Pomiar ten należało powtórzyć jeszcze dwu-krotnie a wyniki wpisać do tabeli oraz obliczyć czasy średnie. Później należało naszkicować wykres prądu rozładowania I(t) i wyznaczyć stałą wykresy α i obliczyć pojemność i ładunek badanego kondensatora. Dodatkowo należało skorzystać ze metody Gaussa, obliczając na komputerze wykładnik a i podstawiając do wzoru obliczyć pojemność kondensatora. Na koniec należało sporządzić wnioski.

5. Dane przyrządów pomiarowych.

Parametr	Amperomierz	Woltomierz
Klasa dokładności	0,5	0,5
Liczba działek	75	60
Zakres	300 µA	3 V

* oba mierniki o ustroju magnetoelektrycznym

6. Obliczenia.

1. Wartość oporu dekadowego nie przekraczający zakres mikroamperomierza (300 µA)

=

Z uwzględnieniem oporu wewnętrznego przyrządów

R_Ust=8,183 kΩ

2. Pomiary

Lp.	Ik [µA]	T1 [s]	T2 [s]	T3 [s]
0	300	0,00	0,00	0,00
1	280	1,00	0,89	1,17
2	260	1,81	1,92	2,20
3	240	2,51	2,79	3,22
4	220	3,90	4,12	4,28
5	200	5,15	5,30	5,42
6	180	6,58	6,69	7,01
7	160	8,04	8,48	8,67
8	140	10,10	10,01	10,50
9	120	12,01	12,00	12,37
10	100	14,75	14,65	15,09
11	80	17,84	17,93	18,04
12	60	21,85	21,76	22,16
13	40	27,37	26,90	26,98
14	20	36,31	35,44	36,39
15	0	78,84	79,51	81,41

Lp.	Ik [µA]	Tk sr [s]
0	300	0,00
1	280	1,02
2	260	1,98
3	240	2,84
4	220	4,10
5	200	5,29
6	180	6,76
7	160	8,40
8	140	10,20
9	120	12,13
10	100	14,83
11	80	17,94
12	60	21,92
13	40	27,08
14	20	36,05
15	0	79,92

3. Obliczanie średniego czasu t_{k sr} dla I_k=280 µA

t_{k sr}=
=


4. Wykres

5. Pole powierzchni pod wykresem S [mm²]

Pole pod wykresem jest równe S:




6. Wyznaczanie stałej wykresu
   [C/mm²]
   

7. Ładunek kondensatora q=α·S [C]
   

8. Pojemność kondensatora C=q/U [µF]
   

9. Błąd obliczony metoda różniczkowania logarytmu naturalnego :




gdzie:
;
;
;




















Metoda wyrównawcza Gaussa:

Wyznaczyliśmy wykładnik `a' na komputerze, wybierając funkcję y=b exp(ax).

Lp.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
X	1,02	1,98	2,84	4,10	5,29	6,76	8,40	10,20	12,13	14,83	17,94	21,92	27,08	36,05
Y	280	260	240	220	200	180	160	140	120	100	80	60	40	20

Wykładnik a = (-74,51 ± 0,34) *10^-3

b= (29,96 ± 0,11)*10^-3

Współczynnik korekcji r=-0,53598

Pojemność kondensatora








Uzyskane wyniki:

Metoda całkowania graficznego: C= (1620 ± 32,4)


Metoda wyrównawcza Gaussa: C= (1640 ± 8,2)


7. Wnioski

Uzyskane przez nas wyniki pomiarów oraz wykonane obliczenia pozwoliły nam wyznaczyć pojemność badanego kondensatora. Jak widzimy pojemność kondensatora obliczona metodą Gaussa jest bardzo zbliżona do wyników uzyskanych metodą całkowania graficznego. Świadczy to o tym, iż uzyskany przez nas wynik jest bardzo dokładny. Mniejszy błąd ma metoda Gaussa ponieważ po wprowadzeniu danych do komputera, został wyznaczony wykładnik a, którego podstawiliśmy do wzoru i obliczyliśmy pojemność. Do sprawozdania dołączamy dodatkowo wykres krzywej rozładowania zrobiony na komputerze.

---