2.5. Problemy wytrzymałości zmęczeniowej

2.5.1. Podstawowe pojęcia wytrzymałości zmęczeniowej

Rozpatrywane dotychczas problemy wytrzymałości nie uwzględniały zmienności sił w czasie. Na ogół obciążenia elementów konstrukcyjnych zmieniają (np. okresowo) swoją wartość w czasie. Są to obciążenia zmienne, a naprężenia przez nie wywoływane nazywamy naprężeniami zmiennymi.
W miarę rozwoju metod doświadczalnych wytrzymałości materiałów zauważono, że elementy maszyn często ulegają zniszczeniu przy naprężeniach znacznie niższych od wytrzymałości doraźnej (Rm) danego materiału określonej z prób statycznych. Zniszczenia takie (np. pęknięcia) zachodzą bez żadnych dostrzegalnych odkształceń plastycznych, zaś przyczyną uszkodzeń jest między innymi niedoskonała sprężystość materiału.
Obniżanie się wytrzymałości przy naprężeniach zmiennych nosi nazwę zmęczenia materiałów.
W większości przypadków (rys. 2.27) zmiany naprężeń w elementach maszynowych mają przebieg sinusoidalny:
σ = σ_m + σ_asint




c)



2.5.2. Wytrzymałość zmęczeniowa przy cyklach symetrycznych i niesymetrycznych

Podobnie jaki i przy obciążeniach statycznych (granica Re lub Rm) do obliczeń uwzględniających zmęczenia materiału potrzebna jest pewna własność zwana wytrzymałością zmęczeniową Z.
Wytrzymałością zmęczeniową Z (lub granicą zmęczenia) nazywamy takie maksymalne naprężenie σ_max dla danego cyklu naprężeń, przy którym element nie dozna zniszczenia po osiągnięciu umownej granicznej liczby cykli naprężeń (dla stali N = 10*10⁶)
Przeprowadzając badania dla próbek stalowych (St3) poddanych zginaniu obrotowemu, jak w cyklu obustronnym-symetrycznym (por. rys. 2.27c), otrzymamy wykres Wöhlera (rys. 2.28).
Z wykresu tego można odczytać wartość wytrzymałości zmęczeniowej Z_go dla cyklu symetrycznego.





W podobny sposób można otrzymać krzywą Wöhlera dla innych cykli symetrycznych: rozciągania - ściskania (Zro lub Zrc), skręcania (Zso). Przy cyklach niesymetrycznych, zmieniając na przykład amplitudę σ_a przy stałej wartości naprężeń średnich σ_m, można otrzymać krzywą Wöhlera (Z= σ_max = σ_m + σ_a) odpowiadającą danej wartości σ_m. Dla cykli jednostronnych otrzymamy: rozciąganie (Z_rj), zginanie (Z_gj), skręcanie (Z_sj).
Przy obliczeniach zmęczeniowych elementów maszyn należy znać wytrzymałość zmęczeniową Z dla różnorodnych cykli. W tym celu sporządza się dla danego materiału i dla danego rodzaju obciążeń wykresy zmęczeniowe np. Smitha, Haigha [5], [6].

Zapoznanie się z budową uproszczonego wykresu Smitha np. dla zginania .

Otrzymany wykres wystarcza w zupełności do przeprowadzenia obliczeń dla materiałów plastycznych (stal, stopy metali nieżelaznych).


2.5.3. Czynniki wpływające na zmianę wytrzymałości zmęczeniowej

Wytrzymałość zmęczeniowa (wykresy zmęczeniowe) jest ustalana doświadczalnie dla znormalizowanych próbek wytrzymałościowych. Rzeczywisty element może mieć inne właściwości i wytrzymałość zmęczeniowa części maszyny może być inna niż wytrzymałość próbki z tego samego materiału. Wytrzymałość zmęczeniowa danego elementu będzie zależała od jej wielkości, kształtu i stanu powierzchni.

a. wpływ kształtu przedmiotu na wytrzymałość zmęczeniową
Współczynnik kształtu
definiujemy jako stosunek teoretycznego naprężenia
(nie uwzględnia on wpływu materiału) do naprężenia nominalnego
(rys.2.30) obliczonego dla najbardziej osłabionego przekroju bez uwzględnienia spiętrzenia naprężenia.

_K = σ_max/σ_n
σ_n = P/F_K

Rys.2.30. Rozkład naprężeń w pręcie płaskim z karbem (pręt rozciągany, materiał doskonale sprężysty)


Rozkład naprężeń w obszarze karbu zależy od geometrii karbu związanej z wymiarami elementu. Wartość współczynnika _k=f(ρ/r, R/r) zależy od stosunku promienia krzywizny dna ρ karbu do promienia lub połowy szerokości przekroju r w elementach płaskich w płaszczyźnie karbu oraz od stosunku promienia (połowy szerokości) elementu R w miejscu nie osłabionym karbem do promienia r. Wartość współczynnika kształtu _k dla najczęściej spotykanych w praktyce karbów konstrukcyjnych można odczytać z wykresów [5], [6], [7]. Promień dna karbu ρ w przypadku ostrych podcięć oblicza się ze wzoru ρ = ρ_k + ρ_m, w którym ρ_k jest promieniem rzeczywistym (konstrukcyjnym) dna karbu, zaś ρ_m jest promieniem minimalnym dna karbu, odczytanym z wykresu [7]. Jeśli ρ_k > 5mm, można przyjąć ρ = ρ_k.

b. wpływ działania karbu

Współczynnik
obowiązuje dla ciała doskonale sprężystego (liniowego), od którego oczywiście odbiega materiał rzeczywisty. Dlatego działanie karbu jest inne w przedmiocie rzeczywistym aniżeli w przyjęty modelu i jest wyrażone przez współczynnik działania karbu
. Współczynnik
określa wielkość obniżenia wytrzymałości zmęczeniowej na skutek działania karbu i jest ustalony ze stosunku wytrzymałości zmęczeniowej próbki gładkiej Zgł do wytrzymałości zmęczeniowej próbki z karbem Zk , czyli
= Zgł / Zk.


c. wpływ wrażliwości materiału na działanie karbu

Okazało się , że współczynnik karbu
zależy od właściwości materiału i dlatego wprowadzono współczynnik wrażliwości materiału na działanie karbu
. Szkło jest bardzo wrażliwe na działanie karbu (
=1), zaś materiałem niewrażliwym na działanie karbu jest żeliwo szare (
=0) . Wartość współczynnika
= f(Rm, ρ) można odczytać z wykresów [5], [6], [7]. W rezultacie współczynnik działa karbu
można wyznaczyć ze wzoru:

(2.40)

d. wpływ stanu powierzchni

Dotychczasowe rozważania dotyczyły próbek idealnie gładkich (polerowanych), aby uwzględnić wpływ stanu powierzchni (chropowatość, rodzaj obróbki), wprowadzono współczynnik stanu powierzchni _p. Współczynnik ten wyrażony jest stosunkiem wytrzymałości zmęczeniowej próbki gładkiej Zgł do wytrzymałości zmęczeniowej próbki o danym stanie powierzchni _k = Zgł / Zp. Wartość współczynnika
= f(Rm, Ra) można odczytać z wykresów [5], [6], [7].


e. wpływ spiętrzenia naprężenia

Łączny wpływ działania karbu i stanu powierzchni danego elementu uwzględnia się przez obliczenie zmęczeniowego współczynnika spiętrzenia naprężeń  wyrażonego wzorem:

(2.41)

f. wpływ wielkości przedmiotu

Wpływ wymiarów elementu na wartość wytrzymałości zmęczeniowej wyznacza się przy pomocy współczynnika wielkości przedmiotu
= Zd/ZD
1, gdzie Zd jest wytrzymałością zmęczeniową próbki o średnicy od 7 do 10mm, zaś Z_D wytrzymałością zmęczeniową próbki o większych wymiarach poprzecznych. Wartość współczynnika
= f(D) można odczytać z wykresów [5], [6], [7].


2.5.4. Wyznaczanie rzeczywistego współczynnika bezpieczeństwa przy obciążeniach zmiennych.

Obliczenia przy obciążeniach zmiennych (zmęczeniowe) są w zasadzie obliczeniami sprawdzającymi. Wcześniej przeprowadzamy obliczenia wstępne, w których określamy podstawowe wymiary elementu. Wstępną ocenę wytrzymałości elementów w najbardziej niebezpiecznych przekrojach przeprowadzamy sprawdzając warunek (podobnie jak 2.7 lub2.35) wytrzymałościowy


Najczęściej przyjmowane wartości współczynnika bezpieczeństwa x_z wynoszą 2.5 - 4.0.
Sprawdzające obliczenia elementu o znanych parametrach konstrukcyjnych polegają na wyznaczeniu rzeczywistego współczynnika bezpieczeństwa δ i porównaniu go z wymaganym zmęczeniowym współczynnikiem bezpieczeństwa δ_w. Podczas wykonywania tych obliczeń często zachodzi potrzeba zmiany cech geometrycznych elementu i ponownego obliczenia wytrzymałości, ponieważ wartość współczynnika δ nie odpowiada wymaganym wartościom.
Przeciętne wartości rzeczywistego współczynnika
w zależności od stopnia dokładności obliczeń, znajomości danych doświadczalnych charakteryzujących obciążenie, umieszczono w tab. 2.4.

Lp.	δw	Zastowowanie
1.	1,3 - 1,5	przy bardzo dokładnych obliczeniach, jednorodnym materiale, dokładnym wykonaniu
2.	1,5 - 1,8	dla przeciętnych warunków pracy
3.	1,8 - 2,5	dla niezbyt dokładnych obliczeń, dla przypadków statycznie niewyznaczalnych, dla niekorzystnych warunków pracy, odpowiedzialnych konstrukcji

Tab.2.4 rzeczywisty współczynnik bezpieczeństwa δ_w

 

a. dla cyklu symetrycznego


W przypadku obustronnych (symetrycznych) cykli (
) naprężeń sprawdzamy warunek:

(2.42)

gdzie
jako amplituda naprężeń jest wyznaczona dla najbardziej osłabionego przekroju elementu (w przekroju dna karbu) bez uwzględnienia spiętrzenia naprężeń (rys.2.31)






b. dla cyklu niesymetrycznego


W przypadku niesymetrycznych cykli naprężeń
sprawdzamy warunek:

(2.43)

Aby wyznaczyć występującą we wzorze (2.43) wytrzymałość zmęczeniową Z odpowiadającą danemu cyklowi wzrostu naprężeń zastosujemy metodę analityczno - wykreślną w oparciu o uproszczony wykres Smitha (rys.2.32).


1. prosta EG, dla σ_m=const
2. prosta OH, dla σ_a/σ_m=const


Rys.2.32 Wyznaczanie współczynnika bezpieczeństwa dla cyklu niesymetrycznego przy pomocy uproszczonego wykresu Smitha.

Punkt F pracy elementu scharakteryzowany jest przez naprężenie :

Wyznaczenie wytrzymałości zmęczeniowej (Z₁ lub Z₂) odpowiadającej danemu cyklowi zmian naprężeń zależy od tego, jak zmieniać się będzie naprężenie średnie
i amplituda naprężenia
w miarę wzrostu obciążeń działających na obliczany element. Jeżeli weźmiemy pod uwagę typ zmian obciążeń o stałym naprężeniu średnim
= const (gdy amplituda
zmian naprężeń pochodzi od drgań układu), to wytrzymałość zmęczeniowa Z₁ odpowiadająca punktowi F określona jest punktem G, zaś współczynnik
= EG/EF. Inny typ zmian obciążeń scharakteryzowany przez
/
= const, to wytrzymałość zmęczeniowa Z₂ odpowiadająca punktowi H i współczynnikowi
= OH/OF.
W przypadku, gdy punkt F znajdzie się w obszarze trójkąta CDI, to niezależnie od typu zmian obciążeń, wytrzymałość zmęczeniowa jest jednakowa i równa granicy plastyczności, czyli w obu powyższych przypadkach musi być spełniony warunek:

(2.44)

We wszystkich przypadkach, gdy brak jest bliższych danych dotyczących typu zmian obciążeń, należy korzystać ze wzoru (2.43) przypadek
= const (większe wymagania) , sprawdzając warunek określony wzorem (2.44).

Przykład 2.42

Wałek o wymiarach podanych na szkicu przenosi moment zginając Mg = 400Nm (wahadłowy) i jednocześnie moment skręcający Ms = 300 Nm (od zerowo tętniący). Obliczyć rzeczywisty współczynnik bezpieczeństwa dla wałka (35) stalowego (powierzchnia szlifowa). Dane materiałowe: Re_g = 450MPa, R_m = 800MPa, Zg_o = 350MPa, Zs_o = 175 MPa, Zg_j = 600MPa, Zs_j = 350MPa, Re_s = 225MPa



Wyznaczamy naprężenia:

Wyznaczamy rzeczywisty współczynnik bezpieczeństwa dla zginania (dla cyklu symetrycznego) wg wzoru (2.42):

Wyznaczamy współczynniki:


(z wykresu dla
i
)

(z wykresu dla Re/Rm=0,56 i
)

(ze wzoru 2.40)

(z wykresu dla R_m=800 MPa, powierzchnia szlifowana )

(ze wzoru 2.41)

(z wykresu dla
,
,Zg_o=350 MPa)

Wyznaczamy rzeczywisty współczynnik bezpieczeństwa dla skręcania
(dla cyklu niesymetrycznego) wg wzoru 2.43:

Wyznaczamy współczynniki:

(z wykresu)

(z wykresu)

(ze wzoru 2.40)

(z wykresu)

(ze wzoru 2.41)

(z wykresu)

Wytrzymałość zmęczeniową (Z =185 MPa) przy skręcaniu odczytujemy z uproszczonego wykresu Smitha (
,
).
Rzeczywisty współczynnik bezpieczeństwa dla naprężeń złożonych (całkowity):

---