Wytrzymalość prosta PrawoHooke'a, Prywatne, Wytrzymałość materiałow


2.3. Wytrzymałość prosta

2.3.1. Rozciąganie i ściskanie

2.3.1.1. Zachowanie się materiałów w zakresie odkształceń sprężystych

Zachowanie się sprężyste ciała stałego w całości jest sumarycznym skutkiem indywidualnych odkształceń jego wiązań, podczas gdy siła przyłożona w jednym punkcie ciała przenosi się wzdłuż sieci wiązań, biegnących przez materiał do drugiego punktu ciała, w którym jest przyłożona druga siła równoważąca pierwszą.

0x01 graphic

Rys. 2.8 Ilustracja do prawa Hooke'a

Gdy siły przyłożone są dostatecznie małe, przemieszczenie sprężyste jest zawsze proporcjonalne do siły:

0x01 graphic

(2.3)

Przyjmując wydłużenie względne:

0x01 graphic

(2.4)

oraz naprężenie rozciągające:

0x01 graphic

(2.5)

Prawo Hooke'a przy rozciąganiu (jak i ściskaniu), ma postać:

σ =  * E

(2.6)

Współczynnik proporcjonalności E nosi nazwę modułu sprężystości wzdłużnej (modułu Younga). Dla stali (w temp. + 20oC) moduł ten wynosi:

E = 2,1*105MPa  2,1*106kG/cm2

Wartości modułów Younga dla różnych materiałów podano w literaturze [1] [3] [4]
Proporcjonalność naprężenia do odkształcenia zachowana jest tylko przy niewielkich wydłużeniach względnych.

Jeśli materiał ciągliwy, będziemy rozciągać ponad określone naprężenie (np. granicę sprężystości czy też granicę plastyczności) to zacznie się on odkształcać plastycznie. Odkształcenia sprężyste są zwykle nieznaczne (i nadal podlegają prawu Hooke'a) zaś odkształcenia plastyczne znacznie je przewyższają.

0x01 graphic

Rys. 2.9 Krzywa rozciągania: a - odkształcenie trwałe, b - odkształcenie sprężyste

Jeżeli próbkę odciążymy, to odkształcenie sprężyste znika z takim samym współczynnikiem proporcjonalności E, zaś odkształcenie plastyczne pozostaje jako odkształcenie trwałe.

2.3.1.2. Naprężenia dopuszczalne. Zasada superpozycji.

Obciążenia mechaniczne, termiczne danego elementu maszynowego mogą doprowadzić do zmiany stanu naprężeń uniemożliwiającej dalsze jego eksploatowanie. Jak widać z rys. 2.9, naprężenia mogą osiągać wartość graniczną (Rm) i próbka ulegnie zerwaniu. Równie niekorzystnym może być powstanie odkształceń plastycznych (Re, R0,2) trwałych.
W celu zabezpieczenia się przed taką sytuacją należy określić graniczną wartość naprężenia nieprzekraczalną w danych warunkach pracy elementu. Tę wartość naprężenia nazywamy naprężeniem dopuszczalnym na rozciąganie (kr).
W obliczeniach wytrzymałościowych musi więc być spełniony warunek:

σ  kr gdzie:

0x01 graphic
; 0x01 graphic

(2.7)

Współczynniki (Xm, Xe) nazywamy współczynnikami bezpieczeństwa w odniesieniu do wytrzymałości na rozciąganie (Rm) oraz w odniesieniu do granicy plastyczności (Re, Ro,2).
Przy ustalaniu wartości współczynnika bezpieczeństwa należy uwzględnić warunki pracy, rodzaj materiału, ,rodzaj obciążeń, niedokładność obliczeń wytrzymałościowych, wielkość elementu.
W tabeli 2.1. przedstawiono przeciętne wartości współczynników bezpieczeństwa, którymi można, się posługiwać przy obliczeniach wytrzymałościowych.

Współczynniki
bezpieczeństwa

Współczynniki
bezpieczeństwa

Materiał

Xe

Xm

stale
staliwo
żeliwo ciągliwe

2 - 2,3

-

żeliwo szare

-

3,5

mosiądze

3

-

brązy

3,5

-

stopy aluminium

3,9

-

stopy magnezu

3,9

-


Tab. 2.1 Przeciętne wartości współczynników bezpieczeństwa wg [2]

W wielu dziedzinach budowy maszyn (zbiorniki ciśnieniowe, konstrukcje stalowe) obowiązują odrębne przepisy państwowe zobowiązujące do przestrzegania odpowiednich współczynników bezpieczeństwa.
Przy rozwiązywaniu zagadnień wytrzymałościowych często można skorzystać z zasady superpozycji, która pozwala znacznie uprościć obliczenia.
Załóżmy, że ciało sprężyste ulega wydłużeniu l1 pod działaniem siły P1 oraz wydłużenia l2 pod wpływem siły P2. Jeżeli wydłużenia l1 i l2 są małe (naprężenia nie przekraczają granicy proporcjonalności σprop ) oraz liniowe (podlegają prawu Hooke'a), to równoczesny wpływ P1 i P2 na ciało powoduje jego wydłużenie o l1+l2 . Zasady superpozycji nie wolno stosować w tych przypadkach, gdy działanie jednych sił zmienia charakter działania innych sił .

2.3.1.3. Układy statycznie wyznaczalne. Przykłady.

Przykład 2.7.

Obliczyć wydłużenie l pręta obciążonego siłami P1,P2,P3.

0x01 graphic

Rys. do przykł. 2.7

Posługując się metodą superpozycji wyznaczymy wydłużenie 0x01 graphic
l pręta obciążonego siłami P1,P2,P3.Stan wyjściowy będzie sumą trzech stanów prostych.
Gdyby pręt był obciążony tylko siłą P1:

0x01 graphic

Gdyby pręt był obciążony tylko siłą P2:

0x01 graphic

Gdyby pręt był obciążony tylko siłą P3:

0x01 graphic

Całkowite wydłużenie jest sumą wydłużeń obliczonych dla poszczególnych stanów prostych:

0x01 graphic

Przykład 2.8.

Sporządzić wykres sił i naprężeń normalnych dla pręta pokazanego na rysunku. Obliczyć całkowite wydłużenie pręta.

0x01 graphic

Rys. do przykładu 2.8.a

a) metoda przecięć:

Rozważmy przekrój I-I

N1-2P=0 N1=2P

0x01 graphic

0x01 graphic

Rozważmy przekrój II-II

N2-2P=0 ; N2=2P

0x01 graphic

0x01 graphic

Rozważmy przekrój III-III

N3-2P-P=0 N3=3P

0x08 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

Wydłużenie całkowite pręta:

0x01 graphic

b) metoda superpozycji:


0x01 graphic

Rys. do przykł. 2.8.b

Gdyby pręt był obciążony tylko siłą 2P:

0x01 graphic

Gdyby pręt był obciążony tylko siłą P:

0x01 graphic

Wydłużenie całkowite pręta:

0x01 graphic

Przykład 2.9.

Układ prętowy przedstawiony na rysunku obciążony jest siłą P = 400 N.
Długość pręta wynosi l = 800 mm a średnica d = 3 mm. Moduł Younga materiału pręta E = 100 kN/mm2 . Obliczyć naprężenia w prętach oraz przemieszczenie pionowe punktu C.

0x01 graphic

Rys. do przykł. 2.9.

Z warunku równowagi węzła C znajdujemy:

2S cos 30o - P = 0 ; S = 231 N

Naprężenia w prętach wynoszą:

0x01 graphic

Oba pręty wydłużą się o 0x01 graphic
l oraz obrócą wokół punktów zamocowania (A i B).
Dla niewielkich odkształceń łuk okręgu można zastąpić styczną.

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Przykład 2.10

Sporządzić wykres sił i naprężeń normalnych dla pręta pokazanego na rysunku. Obliczyć całkowite wydłużenie pręta.

0x01 graphic

0x01 graphic

Rys. do przykł. 2.10.

Odp.0x01 graphic

Przykład 2.11.

Obliczyć i wykonać wykres naprężeń normalnych we wszystkich częściach pręta stalowego, pokazanego na rysunku. Obliczyć całkowite wydłużenie pręta.

0x01 graphic

Rys. do przykł. 2.11.

Odp. 0x01 graphic

Przykład 2.12.

Na wysięgniku złożonym ze stalowej podpory AC i stalowego pręta BC powieszono ciężar Q=50 kN . Obliczyć średnicę podpory AC i pręta BC .

0x01 graphic

Rys. do przykł. 2.12

Odp. Średnica podpory AC wynosi 0x01 graphic
24 , a średnica pręta BC 0x01 graphic
20 .

2.3.1.4. Układy stycznie niewyznaczalne. Przykłady.

Układy takie są nierozwiązywalne na gruncie statyki ciał doskonale sztywnych (por. Rozdz. 2.2.). Rozwiązanie takich układów można uzyskać dopiero, gdy uwzględni się odkształcenia ciał wchodzących w skład danego układu.

Przykład 2.13.

Obliczyć reakcje utwierdzenia pręta między sztywnymi i nieprzesuwnymi ścianami.

0x01 graphic

Rys. do przykł. 2.13.

Oznaczamy reakcje utwierdzenia R1,R2 , z warunku równowagi mamy :

R2-P+R1=0

Brakujące równanie otrzymamy z porównania odkształceń: 0x01 graphic
l1-0x01 graphic
l2=0
Posługując się metodą superpozycji wyznaczymy wydłużenia 0x01 graphic
l1, 0x01 graphic
l2.

0x01 graphic
; 0x01 graphic

otrzymamy:

0x01 graphic
; 0x01 graphic

Istotne znaczenie w układach statycznie niewyznaczalnych mają naprężenia własne (wstępne) powstające w nie obciążonym jeszcze układzie.
Powstają one na skutek niewłaściwego wykonania i montażu niektórych elementów układu. Jeżeli układ obciążymy siłami zewnętrznymi, to naprężenia wywołane tymi siłami współdziałają z naprężeniami własnymi, powodując zmianę stanu naprężeń w tym układzie.

Przykład 2.14.

Nieodkształcalna belka ma być zawieszona na czterech jednakowych prętach o sztywności EF. W czasie montażu stwierdzono, że dwa pręty środkowe są krótsze od prętów skrajnych o wielkość e.
Jakie siły wystąpią we wszystkich prętach z chwilą likwidacji szczeliny e?

0x01 graphic

Rys. do przykł. 2.14.

Przy montażu pręty skrajne A i D uległy skróceniu o 0x01 graphic
l1, zaś pręty środkowe B i C wydłużeniu o 0x01 graphic
l2.

  1. Ze względu na symetrię układu:

SA = SD = S1
SB = SC = S2

  1. Z warunku równowagi układu:

-SA + SB + SC - SD = 0
Z (1) i (2) otrzymamy S1 = S2

  1. Z warunku odkształceń (przy założeniu, że e << l):

0x01 graphic

Z powyższych równań otrzymamy:

0x01 graphic

W układach statycznie niewyznaczalnych zmiany temperatury wywołują dodatkowe naprężenia zwane termicznymi (np. szyny tramwajowe) .

Przykład 2.15.

Obliczyć, jakie naprężenia powstaną w pręcie zamocowanym między dwiema sztywnymi nieprzesuwnymi ścianami po ogrzaniu go o 0x01 graphic
t.

0x01 graphic

Rys. do przykł. 2.15.

  1. Luz δ ≠ 0 zniknie przy wzroście temperatury o ∆t

0:

∆l0 = δ =  2l ∆t0

Dla ∆t>∆t0 w ścianach wystąpią reakcje R. Pręty wydłużyły się pod wpływem przyrostu ∆t temperatury o ∆lt oraz ulegnie skróceniu pod wpływem reakcji R o ∆lm.
Z warunku odkształceń przy założeniu δ << l otrzymamy:

∆lt = ∆lm + δ
∆lt =  2l ∆t

0x01 graphic

Po obliczeniach otrzymamy:

0x01 graphic

Naprężenia w części (2EF):

0x01 graphic

Naprężenia w części (EF):

0x01 graphic

 

  1. Gdy luz δ = 0

, z warunku odkształceń otrzymamy:

∆lt = ∆lm i 0x01 graphic

Największe naprężenia wystąpią w części (EF):

0x01 graphic

Przykład 2.16.

Wyznaczyć siły w prętach układu obciążonego siłą W przedstawionego na rysunku. Sztywność prętów wynosi EF.

0x01 graphic

Rys. do przykł. 2.16.

Odp.

0x01 graphic
, napięcie w skrajnych prętach

0x01 graphic
, napięcie w środkowym pręcie

Przykład 2.17.

Wyznaczyć siły w prętach, na których zawieszono sztywną belkę (ciężar jej pomijamy), przegubowo w punkcie A. Belkę obciążono siłą P.

0x01 graphic

Odp. 0x01 graphic
, 0x01 graphic

Przykład 2.18.

Obliczyć reakcje ścian (utwierdzenia) po podgrzaniu stalowego pręta o ∆t.

0x01 graphic

Odp. 0x01 graphic
, 0x01 graphic

 

2.3.1.5 Związki między naprężeniami a odkształceniami w stanie sprężystym

A. Naprężenia w jednokierunkowym stanie napięcia

Weźmy pod uwagę pręt o przekroju F = const. I zbadajmy stan napięcia w dowolnym punkcie A (rys 2.10).
Rozłóżmy naprężenie pna dwa wzajemnie prostopadłe kierunki (n , 0x01 graphic
).

0x01 graphic

otrzymamy:

0x01 graphic

(2.8)


Wytnijmy z rozpatrywanego pręta element prostopadłościenny zawierający punkt A. Wyznaczmy teraz naprężenia normalne σ i styczne  na kolejnych ściankach (90°+  , 180°+  , 270°+  ), a otrzymamy:

0x01 graphic
(2.9)

Z otrzymanych wzorów wynikają wnioski:

1. Naprężenia σ i  występujące na dwóch równoległych do siebie przekrojach są odpowiednio równe:

0x01 graphic

2. Na dwóch wzajemnie prostopadłych ścianach naprężenia  są równe co do bezwzględnej wartości:

0x01 graphic

B. Naprężenia w dwukierunkowym stanie napięcia:

Weźmy pod uwagę płaską blachę o przekroju F = const i zbadajmy stan napięcia w dowolnym punkcie A (rys. 2.11).

0x01 graphic

Podobnie jak w pkt. a otrzymamy:

0x01 graphic

(2.10)

Ze wzoru (2.10) widać, że istnieją przekroje ( = 0,  =  /2), w których naprężenia styczne wynoszą zero.
Takie przekroje, w których  = 0, a działają jedynie naprężenia normalne σ , nazywamy przekrojami głównymi, naprężenia normalne w tych przekrojach - naprężeniami głównymi, a kierunki działania tych naprężeń - kierunkami głównymi.
Wytnijmy z rozpatrywanej blachy element prostopadłościenny zawierający punkt A. Oznaczmy współrzędne x, y, otrzymamy podobne wzory i wnioski jak w pkt. a.

0x01 graphic
(2.11)

Aby określić naprężenia w płaskim stanie napięcia wystarczy znać wartości naprężeń normalnych występujących na dwóch wzajemnie prostopadłych przekrojach oraz naprężenie styczne w jednym z tych przekrojów.
Z kolei znając σ x, σ y oraz  możemy określić naprężenia główne ze wzorów:

0x01 graphic

(2.12)

oraz kierunek główny, jaki tworzy σ 1 z σ x:

0x01 graphic

(2.13)

Ze wzoru (2.10) wynika, że największe naprężenie (tnące)  max występuje w przekrojach tworzących kąty 45° z kierunkami głównymi.

C. Zmiana wymiarów poprzecznych rozciąganego pręta

Podczas próby rozciągnięcia pręt wydłuży się o  l zgodnie ze wzorem (2.3). Jednocześnie, w miarę jak pręt się wydłuża, jego wymiary poprzeczne zmniejszają się. Pod działaniem naprężeń rozciągających σ pręt wydłuży się o wartość  = σ /E wg wzoru (2.6). Jeżeli σ nie przekroczy σ prop, to wymiary poprzeczne pręta ulegną zmniejszeniu o wartość  *  . Występujący tutaj współczynnik proporcjonalności  nazywany jest liczbą Poissona. Można udowodnić, że współczynnik ten jest nie większy niż:   1/2. Wartość liczby Poissona  dla niektórych materiałów podano [3],[4].

D. Prawo Hooke'a w płaskim i przestrzennym stanie napięcia

Jeżeli elementarną kostkę sześcienną poddamy działaniu naprężeń σ1, σ2, σ3 i wyznaczymy odpowiadające im odkształcenia względne 1, 2, 3, to stosując zasadę superpozycji otrzymamy wzory na związki naprężeń z odkształceniami w przestrzennym stanie sprężystym:

0x01 graphic

(2.14)

Wzory na związki w płaskim stanie napięcia otrzymamy z wzorów (2.14) po opuszczeniu w każdym wierszu naprężenia σ 3. Wzory powyższe są słuszne, gdy żadne z naprężeń nie przekracza granicy proporcjonalności σ prop.



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Ścinanie, Prywatne, Wytrzymałość materiałow
Wyboczenie, Prywatne, Wytrzymałość materiałow
Dachówka karpiówka, Prywatne, Wytrzymałość materiałow
Wytrzymałość złożona, Prywatne, Wytrzymałość materiałow
Martyna - WYTRZYMAŁOŚĆ MAT. - SPRAWKOcw 2, Prywatne, Budownictwo, Materiały, IV semestr, od Beaty, S
śródka, wytrzymałość materiałów,Wytrzymałość prosta
Rownowaga cial sztywnych Teoria - przykłady obliczeń, Prywatne, Wytrzymałość materiałow
Płytki ceramiczne, Prywatne, Wytrzymałość materiałow
Skręcanie, Prywatne, Wytrzymałość materiałow
Podstawowe pojęcia z wytrzymałości materiałów, Prywatne, Wytrzymałość materiałow
wytrzymalosc laboratorium cw. 16, Prywatne, Budownictwo, Materiały, IV semestr, od Beaty, Semestr 4,
Zagadnienie wytrzymałości kontaktowej, Prywatne, Wytrzymałość materiałow
Zginanie belek teoria - przykłady obliczeń, Prywatne, Wytrzymałość materiałow
R C, Prywatne, Budownictwo, Materiały, III semestr, Wytrzymałość materiałów, Wytrzymalosc materialow
Problemy wytrzymałości zmęczeniowej, Prywatne, Wytrzymałość materiałow
Laborki 2, Studia, Wytrzymałość materiałów II, Test z laborek wydymalka, lab
Laboratorium wytrzymałości materiałów
Wytrzymałość materiałów1 2 not

więcej podobnych podstron