Zadania do tematu: Opis układu metodą zmiennych stanu

Zadanie 1. Rozważyć układ pokazany na rys.1.

a) napisać równania stanu i równania wyjścia dla obwodu. Sygnałem wejściowym u(t) jest prąd źródła, sygnałem wyjściowym y napięcie na oporniku. Zmienne stanu x1=iL, x2=vC .

b) Czy dla R2=L/C można

- osiągnąć dowolny stan układu sterując prądem źródła?

- określić stan układu mierząc jedynie y?

c) Wyznaczyć transmitancję G(s) przejścia od u do y.

Rys.1.

Odp.: c)

Zadanie 2. Rozważyć układ pokazany na rys.2.

a) napisać równania stanu i równania wyjścia dla obwodu. Sygnałem wejściowym u(t) jest napięcie źródła, sygnałem wyjściowym y prąd wydawany przez źródło. Zmienne stanu x1=vC , x2=iL.

b) Wyznaczyć warunki wiążące R1,R2,C,L, przy których

- zmiany stanu układu na płaszczyźnie fazowej odbywają się tylko po prostych (zależących od warunków początkowych i sterowania u),

- nie moźna wyznaczyć rozkładu na prądy gałęziowe mierząc jedynie prąd główny i.

Zinterpretować te warunki fizycznie wiążąc je ze stałymi czasowymi układu.

c) Wyznaczyć transmitancję G(s) przejścia od u do y.

Rys.2.

Odp.: b)
, c)

Zadanie 3. Wyznaczyć transmitancję od u do y dla układu z rys.3. Napisać równania stanu i wyjścia dla zmiennych stanu zaznaczonych na rysunku.

Rys.3.

Zadanie 4. Napisać równania stanu dla układu dwóch sprzężonych wózków z rys.4. z położeniami d1, d2 oraz prędkościami jako zmiennymi stanu. Sygnałem mierzonym (wyjściem y) jest d2,, siła w jest zakłóceniem. Wyznaczyć transmitancję od u do y.

Rys.4.

Odp.Transmitancja
;

macierz stanu
; macierz sterowań

macierz wyjść
, macierz zakłóceń
.

Zadanie 5. Napisać równania stanu układu pozycjonowania wału silnika obcowzbudnego sterowanego napięciem wzbudzenia u(t) pokazanego na rys.5 dla dwóch przypadków:

a) układu otwartego bez sprzężeń zwrotnych (K1=K2=K3=0),

b) układu zamkniętego ze sprzężeniem stanu jak na rysunku.

W obu przypadkach wyznaczyć też transmitancję od u do .

Zmiennymi stanu są prąd wzbudzenia, kąt położenia i prędkość kątowa wału. Przyjąć, że strumień  zależy liniowo od prądu wzbudzenia iw, a wtedy moment napędowy Mn=cMItiw=CMiw (prąd twornika It=const). Pominąć opór bocznika R. Moment obciążenia Mz=0, hamujący moment tarcia Mf=fd/dt (f - współczynnik tarcia). Przyjąć wartości liczbowe: f/J=1, Rw/Lw=5.

Rys.5

Odp.: a) macierz stanu
, sterowania
,

gdzie
.

b) macierz stanu
, macierz sterowania bez zmiany,

transmitancja
, gdzie
.

Zadanie 6. Układ o transmitancji

opisać równaniami stanu i równaniami wyjścia. Narysowaś schemat blokowy (analogiczny do rys.3) wynikający z przyjętych zmiennych stanu.

Odp. Rozwiązanie uzyskane tzw. metodą bezpośrednią (różne wybory zmiennych stanu dają różne wyniki):

UWAGA: W podanych przykładach przyjęto następującą formę równań stanu:

gdzie z oznacza zakłócenie.

---