Wartość ćwiartkowa 1 - wartość jednostki, która dzieli szereg w ten sposób, że ¼ jednostek ma od niej wartość nie większą, a ¾ - wartość nie mniejszą

Wartość ćwiartkowa 3 - wartość jednostki, która dzieli szereg w ten sposób, że ¾ jednostek ma od niej wartość nie większą, a ¼ - wartość nie mniejszą

gdzie: x_d - dolna granica przedziału, w którym znajduje się kwartyl

N/4, 3N/4 - pozycje kwartyli

cum n_-1 - skumulowana liczebność przedziałów poprzedzających przedział kwartyla

C₀ - rozpiętość przedziału kwartyla

n₀ - liczebność przedziału kwartyla

MIARY DYSPERSJI (ZMIENNOŚCI, ROZPROSZENIA)

• zadaniem miar dyspersji jest wskazanie w jakim stopniu poszczególne wartości jednostek zbiorowości statystycznej koncentrują się wokół wartości centralnej

• miary zmienności należą do charakterystyk opisujących rozkład cechy

• pozwalają mierzyć zróżnicowanie wartości zmiennej w ramach danej zbiorowości, a więc informują jak duże są różnice między poszczególnymi wartościami jednostek zbiorowości a przeciętną

• im mniejszy stopień zmienności, tym większe jest znaczenie danej średniej

Miary zmienności klasyczne

• Odchylenie przeciętne

• jest średnia arytmetyczna bezwzględnych wartości odchyleń poszczególnych wartości zbiorowości statystycznej od średniej arytmetycznej

w szeregu prostym: w szeregu rozdzielczym:

• Wariancja

• jest średnią arytmetyczną kwadratów odchyleń poszczególnych wartości jednostek zbiorowości od ich średniej arytmetycznej (przyjmuje tylko wartości dodatnie)

w szeregu prostym: w szeregu rozdzielczym:

• Odchylenie standardowe

• pierwiastek kwadratowy ze średniej arytmetycznej kwadratów odchyleń poszczególnych wartości jednostek zbiorowości od ich średniej arytmetycznej (czyli pierwiastek kwadratowy z wariancji)

w szeregu prostym:

w szeregu rozdzielczym:

Własności odchylenia standardowego:

• oblicza się je na podstawie wszystkich wartości szeregu

• można je obliczyć, gdy liczebności szeregu są podane w liczbach względnych

• dodanie lub odjęcie od wszystkich wartości zmiennej w szeregu jakiejkolwiek (tej samej) liczby nie zmienia wartości odchylenia standardowego

• jeżeli wszystkie wartości szeregu pomnożymy lub podzielimy przez jakąkolwiek tę samą liczbę, odchylenie standardowe będzie również tylokrotnie mniejsze lub większe

• odchylenie standardowe ma sens statystyczny dopiero wówczas, gdy znamy wartość średniej arytmetycznej, od której było obliczone

Reguła trzech sigm:

W przypadku rozkładu normalnego lub zbliżonego do normalnego blisko 1/3 wszystkich obserwowanych wartości zmiennej różni się od średniej arytmetycznej o więcej niż o
, w przybliżeniu 1 na 20 obserwacji przekracza tę średnią o wielkość równą
, a tylko 1 na 370 obserwacji przekracza tę średnią o
.

σ - odchylenie standardowe populacji generalnej

• Typowy obszar zmienności

• w obszarze tym mieści się około 2/3 wszystkich jednostek zbiorowości

• konstruuje się go na podstawie średniej arytmetycznej i odchylenia standardowego:

• Współczynnik zmienności (względna miara dyspersji)

• wartość niemianowana

• jest to stosunek odchylenia standardowego do średniej arytmetycznej:

V_x ≤ 35% - dyspersja mała - średnia arytmetyczna dobrze charakteryzuje średni poziom badanego zjawiska; można uznać, że badana zbiorowość jest jednorodna

35% < V_x ≤ 60% - dyspersja umiarkowana - średnia arytmetyczna dość dobrze charakteryzuje średni poziom badanego zjawiska

60% < V_x ≤ 75% - dyspersja duża - średnia arytmetyczna ma małą wartość poznawczą

75% < V_x ≤ 100% - dyspersja bardzo duża - średnia arytmetyczna nie jest miarą dobrze charakteryzującą tendencję centralną; zbiorowość jest niejednorodna

Miary zmienności pozycyjne

• Obszar zmienności

• jest to różnica między wartością największą i najmniejszą w badanej zbiorowości:

• stosujemy w statystykach płac, cen, w kontroli jakości

• opiera się na dwóch skrajnych wartościach - jest miarą niedoskonałą

• Odchylenie ćwiartkowe

• jest to połowa różnicy między kwartylem III a I:

• stosujemy w szeregach z przedziałami otwartymi

• Pozycyjny współczynnik zmienności

• wartość niemianowana

• jest względną miarą dyspersji

• jest to stosunek odchylenia ćwiartkowego do mediany:

12-03-2001

Typy rozkładów empirycznych

Rozkład empiryczny zmiennej - to przyporządkowanie kolejnym wartościom zmiennej odpowiadających im liczebności;

• rozkład odzwierciedla strukturę badanej zbiorowości z punktu widzenia badanej cechy;

• jest ustalany na podstawie konkretnych obserwacji.

• Rozkład, którego krzywa liczebności ma tylko jedno maksimum to rozkład jednomodalny.

Wśród rozkładów jednomodalnych wyróżniamy:

• rozkłady symetryczne - liczebności rozkładają się proporcjonalnie po obu stronach liczebności największej,

• rozkłady umiarkowanie asymetryczne,

• rozkłady skrajnie asymetryczne.

Rozkład symetryczny o 1 maksimum jest rozkładem normalnym.

Uwaga: Każdy rozkład normalny jest rozkładem symetrycznym, ale nie każdy rozkład symetryczny jest rozkładem normalnym.

np. rozkład spłaszczony - r. symetryczny, ale nie normalny

rozkład wysmukły - r. symetryczny, ale nie normalny

n_i

r. leptokurtyczny (wysmukły)

r. normalny

r. platokurtyczny (spłaszczony)

x_i

• Rozkład bimodalny - to rozkład posiadający dwa maksima.

• Rozkład wielomodalny - rozkład posiadający wiele maksimów.

• Przykłady rozkładów dla cechy ciągłej

n_i r. bimodalny n_i r. wielomodalny

x_i x_i

rozkłady umiarkowanie asymetryczne

n_i lewostronnie n_i prawostronnie n_i siodłowy

x_i x_i x_i

rozkłady skrajnie asymetryczne

n_i lewostronnie n_i prawostronnie

x_i x_i

• Przykłady rozkładów dla cechy skokowej

n_i r. jednomodalny n_i r. bimodalny n_i r. wielomodalny

x_i x_i x_i

rozkłady umiarkowanie asymetryczne

n_i


n_i n_i

lewostronnie prawostronnie siodłowy

x_i x_i x_i

rozkłady skrajnie asymetryczne rozkład symetryczny

n_i


n_i n_i

lewostronnie prawostronnie

x_i x_i x_i

MIARY ASYMETRII

• pozwalają nam zbadać jak układają się w szeregu wartości zmiennej wokół średniej arytmetycznej

• szereg nazywamy symetrycznym - gdy liczebności rozkładają się proporcjonalnie po obu stronach średniej arytmetycznej

• szereg nazywamy asymetrycznym - gdy liczebności nie rozkładają się proporcjonalnie po obu stronach średniej arytmetycznej; szereg może być asymetryczny prawostronnie lub lewostronne

• miary asymetrii dzielimy na miary absolutne i miary względne:

• miary absolutne - pozwalają określić kierunek asymetrii:

- szereg symetryczny

- szereg asymetryczny lewostronnie

- szereg asymetryczny prawostronnie

• miary względne:

(stosujemy dla szeregów otwartych lub o nierównych przedziałach klasowych)

gdy As = 0 - szereg symetryczny

gdy As > 0 - szereg asymetryczny prawostronnie

gdy As < 0 - szereg asymetryczny lewostronnie

MIARY KONCENTRACJI

• Współczynnik koncentracji

(wzór stosujemy dla szeregów rozdzielczych wielostopniowych)

gdy K = 3 - szereg normalny

gdy K > 3 - szereg wysmukły

gdy K < 3 - szereg spłaszczony

Rachunek momentów

• tylko dla szeregów rozdzielczych zamkniętych o równych przedziałach klasowych

• Moment dowolnego stopnia - średnia arytmetyczna z odchyleń wartości zmiennej od dowolnej liczby podniesionej do dowolnej potęgi

gdzie: x_i - wartości zmiennej

x₀ - dowolna liczba

r - dowolna potęga

n_i - liczebności cząstkowe

N - liczebność ogólna

• momenty dzielimy na zwykłe i centralne

• Momenty zwykłe - momentem zwykłym nazywamy sumę odchyleń od dowolnej liczby podniesioną do dowolnej potęgi

• jeśli za dowolną liczbę przyjmiemy 0, to moment zwykły:

• cztery momenty zwykłe:

• Momenty centralne - momentem centralnym nazywamy średnią arytmetyczną z odchyleń wartości zmiennej od ich średniej arytmetycznej podniesionych do dowolnej potęgi

• ogólna postać:

• cztery momenty centralne:

μ₁ = 0 jest miarą dyspersji stanowi podstawę stanowi podstawę

- jest to wariancja konstrukcji klasycz. konstrukcji wsp.

wsp. asymetrii koncentracji

• Związki między momentami zwykłymi a centralnymi:

współczynnik asymetrii współczynnik koncentracji

ANALIZA STRUKTURY obejmuje wyznaczenie parametrów statystycznych:

• gdy szereg jest zamknięty i ma równe przedziały klasowe:

, S_(x) , x_typ , V_(x) , As , D

(można zastosować rachunek momentów)

• gdy szereg jest otwarty lub ma nierówne przedziały klasowe:

Me , Q₁ , Q₂ , R , Q , V_Me , As

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

Statystykę dzielimy na: opisową i matematyczną.

Statystyka opisowa:

1. analiza struktury,

2. analiza współzależności,

3. analiza dynamiki.

Statystyka matematyczna:

1. estymacja,

2. testy.

a. ESTYMACJA (SZACOWANIE)

• polega na tym, że na podstawie niekompletnych danych ze zbioru pochodzących z próby wnioskuje się o wartościach liczbowych zbioru, a otrzymane w ten sposób wnioski służą za podstawę podejmowania decyzji

• rozróżniamy dwie metody estymacji:

• punktową - stosując metodę estymacji punktowej obliczamy pojedynczą liczbę dla każdego nieznanego parametru zbioru

np. estymatorem średniej arytmetycznej populacji generalnej jest średnia arytmetyczna próby; estymatorem wariancji populacji generalnej jest wariancja z próby

• przedziałową - polega na dokonaniu szacunku parametru w postaci takiego przedziału, zwanego przedziałem ufności, który z dużym prawdopodobieństwem obejmuje prawdziwą wartość parametru

• dobry estymator powinien być:

• nieobciążony (tzn. wartość oczekiwana estymatora powinna być równa parametrowi z próby)

• zgodny z Prawem Wielkich Liczb (prawdopodobieństwo, że estymator jest zgodny z Prawem Wielkich Liczb rośnie wraz ze wzrostem ilości prób)

• efektywny (czyli posiadać możliwie małą wariancję)

• każdy estymator jest zmienną losową posiadającą określony rozkład prawdopodobieństwa

Estymacja przedziałowa

Przyjmujemy oznaczenia:

- średnia arytmetyczna obliczona na podstawie próby

m - średnia arytmetyczna populacji generalnej

S_(x) - odchylenie standardowe obliczone na podstawie próby

σ - odchylenie standardowe populacji generalnej

n - liczebność próby

• Przedział ufności dla średniej arytmetycznej

Model 1

Założenia:

• populacja generalna ma rozkład normalny o średniej m i odchyleniu standardowym σ (tzn. N(m, σ)), przy czym średnia populacji m nie jest znana

• znane jest odchylenie standardowe populacji σ

• z populacji tej pobieramy próbę o liczebności n elementów wylosowanych niezależnie

gdzie: u_α - wartość zmiennej losowej standaryzowanej u odczytana z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego (dla danego współczynnika α)

1-α - współczynnik ufności (prawdopodobieństwo przyjęte z góry subiektywnie jako dowolnie duże - jest miarą zaufania do przeprowadzonego szacunku)

• w praktyce przyjmuje się najczęściej: 1-α = 0,95 , 1-α = 0,90 lub 1-α = 0,99

(współczynnik ufności 0,95 oznacza, że w 95 przypadkach na 100 szacowany parametr mieści się w oszacowanym przez nas przedziale)

• niektóre ważniejsze wartości u_α :

Wartość współczynnika 1-α	Wartość bezwzględna zmiennej standaryzowanej uα
0,99 0,95 0,90	2,58 1,96 1,64

1-α = 0,95 im większy będzie przedział ufności, tym większą mamy pewność, że parametr mieści się w oszacowanych granicach, a to z kolei oznacza, że przeprowadzony szacunek jest mniej dokładny

- ∞ - u_α u_α ∞

pozostała część to margines błędny, który jest rozłożony po obu stronach równomiernie (po 2,5%)

Model 2

Założenia:

• populacja generalna ma rozkład normalny o średniej m i odchyleniu standardowym σ

• (tzn. N(m, σ)), przy czym średnia populacji m nie jest znana

• nie znane jest również odchylenie standardowe populacji σ

• z populacji tej pobieramy małą próbę o liczebności n (n≤30) elementów wylosowanych niezależnie

gdzie: t_α - statystyka t-studenta odczytana z tablic przy α-poziomie istotności i n-1 stopniach swobody

n-1 - liczba stopni swobody - liczba niezależnych obserwacji niezbędnych do oszacowania nieznanego parametru populacji generalnej

Model 3

Założenia:

• populacja generalna ma rozkład normalny lub do niego zbliżony, o średniej m i odchyleniu standardowym σ (tzn. N(m, σ)), przy czym średnia populacji m nie jest znana

• nie znane jest również odchylenie standardowe populacji σ

• z populacji tej pobieramy dużą próbę o liczebności n (n>30) elementów wylosowanych niezależnie

(oznaczenia: jak wyżej)

• Przedział ufności dla wskaźnika struktury (frakcji)

• nie zawsze badanie statystyczne prowadzone jest ze względu na cechę mierzalną, czasem badana cecha ma charakter niemierzalny (jakościowy) - wówczas z badania próbnego uzyskujemy jedynie informację o tym, czy dany element populacji generalnej posiada badaną cechę, czy też jej nie posiada

• elementy populacji generalnej w przypadku analizy ze względu na cechę niemierzalną możemy podzielić na dwie klasy: elementy wyróżnione w populacji i elementy nie wyróżnione w populacji

• podstawowym parametrem szacowanym w przypadku badań ze względu na cechę niemierzalną jest frakcja (lub po pomnożeniu przez 100 - procent elementów wyróżnionych w populacji) - wskaźnik struktury populacji, którego wartość jest ułamkiem właściwym, oznaczany symbolem p

• najlepszym estymatorem parametru p jest wskaźnik struktury z próby, który wyrażamy przez:

gdzie: m - liczba elementów wyróżnionych znalezionych w losowej próbie o liczebności n

• przedział ufności dla frakcji otrzymuje się z odpowiedniego rozkładu estymatora parametru

Założenia:

• populacja generalna ma rozkład dwupunktowy z parametrem p, tzn. elementy populacji podzielone są na dwie klasy (wyróżnione, nie wyróżnione)

• z populacji tej wylosowano niezależnie n (n>100) elementową próbę

gdzie: u_α - wartość zmiennej losowej standaryzowanej u odczytana z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego (dla danego współczynnika α)

• Wyznaczanie niezbędnej liczebności próby

Model 1

Założenia:

• populacja generalna ma rozkład normalny lub do niego zbliżony

• znana jest wariancja populacji generalnej σ² (odchylenie standardowe populacji do kwadratu)

• chcemy oszacować średnią wartość populacji generalnej na podstawie próby złożonej z n elementów

• jeśli żądamy, by przy ustalonym współczynniku ufności 1-α maksymalny błąd nie przekraczał z góry danej wartości d, to niezbędną liczebność próby wyznaczamy wg wzoru:

gdzie: σ² - wariancja populacji

u_α - wartość zmiennej losowej standaryzowanej u odczytana z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego (dla danego współczynnika α)

d - dopuszczalny, z góry przyjęty maksymalny błąd szacunku

Model 2

Założenia:

• populacja generalna ma rozkład normalny

• nieznana jest wariancja populacji generalnej σ²

• z populacji pobieramy wstępną próbę o liczebności n₀ elementów i na podstawie tej wstępnej próby wyznaczamy wariancję S_x² wg wzoru:

• jeśli żądamy, by przy ustalonym współczynniku ufności 1-α maksymalny błąd nie przekraczał z góry danej wartości d, to niezbędną liczebność próby wyznaczamy wg wzoru:

gdzie: S_x² - wariancja próby wstępnej

t_α - wartość krytyczna odczytana z tablicy rozkładu t-studenta dla danego współczynnika ufności 1-α i n₀-1 stopni swobody

d - dopuszczalny, z góry przyjęty maksymalny błąd szacunku

Jeżeli liczebność właściwej próby n spełnia nierówność: n < n_o , to liczebność próby wstępnej n₀ jest wystarczająca. Jeżeli natomiast n > n_o to należy dolosować do właściwej próby jeszcze n - n_o elementów.

Model 3 - dla cech niemierzalnych

Założenia:

• populacja generalna ma rozkład dwupunktowy z parametrem p

• należy oszacować metodą przedziałową parametr p tak, by przy współczynniku ufności 1-α maksymalny błąd szacunku wskaźnika struktury p nie przekraczał z góry przyjętej wartości d

• wyróżniamy tu dwa przypadki:

• jeśli znamy spodziewany rząd wielkości szacowanej frakcji, to niezbędną liczebność próby wyznaczamy wg wzoru:

gdzie: p - spodziewany rząd wielkości szacowanego wskaźnika struktury

q = 1 - p

d - maksymalny dopuszczalny błąd szacunku

• jeśli nie znamy rzędu wielkości szacowanego wskaźnika struktury p, to niezbędną liczebność próby wyznaczamy wg wzoru:

19-03-2001

b. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH

Drugi dział statystyki matematycznej to testy statystyczne, czyli weryfikacja hipotez statystycznych.

• Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu zmiennej losowej. Dzielimy je na:

• parametryczne - dotyczą określonych parametrów populacji generalnej,

• nieparametryczne - dotyczą właściwości rozkładu populacji generalnej wg badanej cechy lub cech.

• Zarówno w przypadku hipotez parametrycznych, jak i nieparametrycznych wyróżniamy:

• hipotezę zerową H₀ - ma miejsce wówczas, gdy zakładamy, że pomiędzy estymatorem i parametrem lub rozkładem empirycznym i teoretycznym nie ma różnic (H₀ zawiera zawsze znak równości), np. H₀: m = m₀ (m₀ - wartość hipotetyczna średniej populacji generalnej)

• hipotezę alternatywną H₁ - dopuszcza istnienie różnic pomiędzy estymatorem a parametrem; możemy ją zapisać w trojaki sposób:

H₁: m ≠ m₀ (dwustronny obszar krytyczny)

H₁: m > m₀ (prawostronny obszar krytyczny)

H₁: m < m₀ (lewostronny obszar krytyczny)

• Weryfikacja hipotez statystycznych polega na zastosowaniu określonego testu statystycznego.

• Test statystyczny - to pewna reguła postępowania, która na podstawie wyników próby może doprowadzić do podjęcia decyzji przyjęcia lub odrzucenia postawionej hipotezy zerowej.

• Przy weryfikacji hipotez statystycznych zakładamy pewien poziom istotności - jest to prawdopodobieństwo popełnienia błędu I-go rodzaju:

• błąd I-go rodzaju - to błąd w postępowaniu testującym hipotezę polegający na odrzuceniu hipotezy mimo że była ona w rzeczywistości prawdziwa

• błąd II-go rodzaju - polega na przyjęciu hipotezy fałszywej.

• Poziom istotności oznacza się zwykle symbolem α i obiera się go z góry jako małe prawdopodobieństwo - najczęściej stosowany poziom istotności to: α = 0,1 , α = 0,05 , α = 0,01:

• przyjęcie poziomu istotności α = 0,05 oznacza, że ryzyko popełnienia błędu I-go rodzaju wynosi tylko 5%, a więc inaczej mówiąc w co najwyżej 5 przypadkach na 100 popełniamy błąd i-go rodzaju.

• W zależności od postaci postawionej hipotezy zerowej (tzn. hipotezy bezpośrednio sprawdzanej) oraz od postaci hipotezy alternatywnej (tzn. hipotezy konkurencyjnej w stosunku do hipotezy zerowej) sposób budowy testu jest różny. Istota rzeczy przy budowie każdego testu polega na tym, aby uchronić się przed popełnieniem błędów I-go i II-go rodzaju.

• Test istotności - to taki test, w którym na podstawie wyników próby losowej podejmuje się decyzje odrzucenia hipotezy zerowej lub stwierdza się, że nie ma podstaw do jej odrzucenia.

Wyróżniamy dwa rodzaje testów istotności:

• test istotności parametryczny - to taki test, który weryfikuje H₀ precyzującą wartość parametru, w ustalonym typie rozkładu populacji generalnej,

• test istotności nieparametryczny - to taki test, który weryfikuje H₀ precyzującą ustalony typ lub postać rozkładu populacji generalnej.

• Do najczęściej stosowanych testów istotności parametrycznych należą:

• test dla wartości średniej populacji generalnej,

• test dla dwóch średnich,

• test dla frakcji,

• test dla dwóch frakcji,

• test dla wariancji,

• test dla dwóch wariancji.

• Do najczęściej stosowanych testów istotności nieparametrycznych należą:

• test zgodności σ²,

• test niezależności σ²,

• testy serii.

• Formułowanie i weryfikacja hipotez statystycznych obejmuje kilka etapów:

• zapisanie hipotezy zerowej,

• sformułowanie hipotezy alternatywnej,

• wybranie testu statystycznego, który pozwoli na weryfikację hipotezy,

• wylosowanie próby,

• wykonanie obliczeń wynikających z testu,

• założenie poziomu istotności - a tym samym wyznaczenie obszaru krytycznego testu,

• wyliczenie wartości statystyki na podstawie próby,

• odczytanie z tablic wartości krytycznej danej statystyki dla założonego poziomu istotności,

• porównanie dwóch wartości (wyliczonej i odczytanej z tablic)

• sformułowanie wniosku końcowego.

• Obszar krytyczny hipotezy zerowej - to tzw. obszar odrzuceń hipotezy zerowej:

• jeśli wartość statystyki z próby znajdzie się w tym obszarze, to hipotezę zerową odrzucamy na korzyść hipotezy alternatywnej,

• gdy otrzymamy z próby wartość statystyki nie należącą do obszaru krytycznego, to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.

W zależności od przyjętej hipotezy mamy różne obszary odrzuceń, np.

H₁: m ≠ m₀ → dwustronny obszar krytyczny

½α = 0,025 ½α = 0,025

α = 0,05

Pole powierzchni pod krzywą normalną wynosi 1,0 ,

czyli: 1,00 - 0,025 = 0,975

stąd: u_0,05 = 1,96 - ∞ - u_α u_α ∞

α = 0,10 ½α = 0,05 1,00 - 0,05 = 0,95 u_0,10 = 1,64

α = 0,01 ½α = 0,005 1,00 - 0,005 = 0,995 u_0,01 = 2,58

H₁: m > m₀ → prawostronny obszar krytyczny

α = 0,05

α = 0,05
1,00 - 0,05 = 0,95 u_0,05 = 1,64

- ∞ u_α ∞

α = 0,10 1,00 - 0,10 = 0,90 u_0,10 = 1,28

α = 0,01 1,00 - 0,01 = 0,99 u_0,01 = 2,33

H₁: m < m₀ → lewostronny obszar krytyczny

α = 0,05

α = 0,05 1,00 - 0,05 = 0,95 u_0,05 = 1,64

- ∞ - u_α ∞

α = 0,10 1,00 - 0,10 = 0,90 u_0,10 = 1,28

α = 0,01 1,00 - 0,01 = 0,99 u_0,01 = 2,33

• Test dla wartości średniej populacji generalnej - test parametryczny

Należy na podstawie wyników próby losowej o liczebności n elementów sprawdzić hipotezę zerową, że średnia populacji generalnej m jest równa wartości hipotetycznej m₀ , wobec hipotezy alternatywnej, że średnia populacji generalnej nie jest równa wartości hipotetycznej średniej:

H₀: m = m₀ H₁: m ≠ m₀

m - średnia populacji generalnej mamy więc dwustronny obszar krytyczny

m₀ - hipotetyczna wartość średniej

Model 1

Założenia:

• populacja generalna ma rozkład normalny, przy czym odchylenie standardowe populacji (σ) jest znane; średnia populacji (m) nie jest znane

• wybieramy n elementową próbę i w oparciu o jej wyniki weryfikujemy H₀

Obliczamy statystykę u:

gdzie:
- średnia arytmetyczna obliczona na podstawie próby

σ - odchylenie standardowe populacji generalnej

n - liczebność próby

Wartość statystyki u porównujemy z wartością u_α odczytaną z tablic:

• jeżeli |u| ≥ u_α (dwustronny obszar krytyczny) - hipotezę zerową odrzucamy,

• jeżeli |u| < u_α (jest poza dwustronnym obszarem krytycznym) - nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.

|u| ≥ u_α |u| ≥ u_α u ≥ u_α u ≥ u_α

|u| < u_α u < u_α u > u_α

- ∞ - u_α u_α ∞ - ∞ u_α ∞ - ∞ - u_α ∞

H₁: m ≠ m₀ H₁: m > m₀ H₁: m < m₀

Model 2

Założenia:

• populacja generalna ma rozkład normalny, przy czym odchylenie standardowe populacji (σ) i średnia populacji (m) nie są znane

• z populacji tej pobieramy małą n elementową próbę (n≤30) i w oparciu o jej wyniki weryfikujemy H₀

Obliczamy statystykę t:

gdzie:
- średnia arytmetyczna obliczona na podstawie próby

S_x - odchylenie standardowe obliczone na podstawie próby

n - liczebność próby

Wartość statystyki t porównujemy z wartością t_α (odczytaną z tablic rozkładu t-studenta przy poziomie istotności α i n-1 stopniach swobody):

• jeżeli wartość statystyki t znajduje się w obszarze krytycznym - hipotezę zerową odrzucamy,

• jeżeli wartość statystyki t znajduje się poza obszarem krytycznym - nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.

Model 3

Założenia:

• populacja generalna ma rozkład normalny lub dowolnie inny, przy czym odchylenie standardowe populacji (σ) i średnia populacji (m) nie są znane

• z populacji tej pobieramy dużą n elementową próbę (n>30) i w oparciu o jej wyniki weryfikujemy H₀

Obliczamy statystykę u:

gdzie:
- średnia arytmetyczna obliczona na podstawie próby

S_x - odchylenie standardowe obliczone na podstawie próby

n - liczebność próby

Wartość statystyki u porównujemy z wartością krytyczną u_α :

• jeżeli wartość statystyki u znajduje się w obszarze krytycznym - hipotezę zerową odrzucamy,

• jeżeli wartość statystyki u znajduje się poza obszarem krytycznym - nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.

• Test dla dwóch średnich - test parametryczny

Należy na podstawie wyników dwóch niezależnych prób losowych o liczebnościach n₁ i n₂ elementów sprawdzić hipotezę zerową, że średnie w dwóch populacjach generalnych m₁ i m₂ są sobie równe, wobec hipotezy alternatywnej, że średnie te są różne:

H₀: m₁ = m₂ H₁: m₁ ≠ m₂

m₁ , m₂ - (nieznane) średnie w dwóch populacjach generalnych

Model 1

Założenia:

• badamy dwie populacje generalne mające rozkłady normalne, przy czym odchylenia standardowe tych populacji (σ₁, σ₂) są znane

• z populacji tych pobieramy dwie niezależne próby o liczebnościach n₁ i n₂ elementów i w oparciu o ich wyniki weryfikujemy H₀

Obliczamy statystykę u:

gdzie:
- średnie arytmetyczne obliczone na podstawie prób

σ₁, σ₂ - odchylenia standardowe populacji generalnych

n₁, n₂ - liczebności prób

Wartość statystyki u porównujemy z wartością krytyczną u_α odczytaną dla danego poziomu istotności:

• jeżeli wartość statystyki u znajduje się w obszarze krytycznym - hipotezę zerową odrzucamy,

• jeżeli wartość statystyki u znajduje się poza obszarem krytycznym - nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.

Model 2

Założenia:

• badamy dwie populacje generalne mające rozkłady normalne, przy czym odchylenia standardowe tych populacji (σ₁, σ₂) nie są znane

• z populacji tych pobieramy dwie niezależne małe próby o liczebnościach n₁ i n₂ elementów i w oparciu o ich wyniki weryfikujemy H₀

Obliczamy statystykę t:

gdzie:
- średnie arytmetyczne obliczone na podstawie prób

S₁, S₂ - odchylenia standardowe obliczone na podstawie prób

n₁, n₂ - liczebności prób

Wartość statystyki t porównujemy z wartością krytyczną t_α (odczytaną z tablicy rozkładu t-studenta dla danego poziomu istotności i n₁+ n₂-2 stopniach swobody:

• jeżeli wartość statystyki t znajduje się w obszarze krytycznym - hipotezę zerową odrzucamy,

• jeżeli wartość statystyki t znajduje się poza obszarem krytycznym - nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.

Mamy tu szczególny przypadek:

Czasem w praktyce zdarza się, że wyniki obu prób możemy traktować jako wyniki pomiarów na tym samym elemencie populacji (wyniki stanowią przyporządkowane sobie pary liczb). Typowym przypadkiem jest tu wynik X przed jakąś sytuacją oraz wynik Y po niej.

Możemy wówczas analizować wyniki obu prób jako wyniki jednej próby biorąc pod uwagę różnicę:

i wówczas zamiast testu z modelu 2 używa się testu dla średniej różnicy.

Stawiamy hipotezy:

H₀:
= 0 (średnia przed i po jakiejś sytuacji H₁:
≠ 0

nie uległa zmianie)

przy czym:

Wówczas statystyka t ma postać:

Model 3

Założenia:

• badamy dwie populacje generalne mające rozkłady normalne lub dowolnie inne, przy czym odchylenia standardowe tych populacji (σ₁, σ₂) nie są znane

• z populacji tych pobieramy dwie niezależne duże próby o liczebnościach n₁ i n₂ elementów i w oparciu o ich wyniki weryfikujemy H₀

Obliczamy statystykę u:

gdzie:
- średnie arytmetyczne obliczone na podstawie prób

S₁, S₂ - odchylenia standardowe obliczone na podstawie prób

n₁, n₂ - liczebności prób

Wartość statystyki u porównujemy z wartością krytyczną u_α (odczytaną z tablicy rozkładu normalnego dla danego poziomu istotności):

• jeżeli wartość statystyki u znajduje się w obszarze krytycznym - hipotezę zerową odrzucamy,

• jeżeli wartość statystyki u znajduje się poza obszarem krytycznym - nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.

45

---