ZAGADNIENIA TEORETYCZNE NA EGZAMIN Z MECHANIKI BUDOWLI

Belka prosta - najprostszy układ prętowy jednotarczowy. Belką prostą nazywamy belkę swobodnie podpartą na dwóch podporach przegubowych, z których jedna jest nieprzesuwna, druga zaś przesuwna. Rozróżniamy belkę prostą swobodnie podpartą na końcach, gdy podpory są umieszczone na końcach belki, oraz belkę prostą wspornikową, gdy jedna lub obie podpory znajdują się w pewnej odległości od końców belki, przy czym część belki wystająca poza podporę nazywa się wspornikiem.

Rama - układ prętowy złożony z wielu elementów gdy we wszystkich lub w niektórych tylko węzłach połączenia są sztywne.

Układ geometrycznie zmienny - jest to taki układ, którego punkty mogą doznawać przemieszczeń bez odkształcania się jego elementów składowych.

Układ geometrycznie niezmienny - jest to taki układ, w którym odkształcają się elementy składowe pod wpływem siły.

Linia wpływu jest wykresem zależności funkcyjnej między daną wielkością statyczną bądź kinematyczną a odciętą punktu przyłożenia siły jednostkowej. Linia wpływu jest krzywą łamaną, gdy układ jest statycznie wyznaczalny oraz jest funkcją wyższego stopnia, gdy jest to układ statycznie niewyznaczalny.

Tok postępowania przy budowie linii wpływu metodą kinematyczną:

1. Odrzucamy myślowo więz warunkujący występowanie tej wielkości statycznej, której linię wpływu budujemy;

2. Wymuszamy przemieszczenie jednostkowe odrzuconego więzu;

3. Wykres przemieszczeń traktujemy jako poszukiwaną linię wpływu a rzędne przemieszczeń odpowiadają rzędnym linii wpływu.

Kryterium Winklera mówi o tym, że ekstremum jest wtedy gdy spełniony jest następujący warunek:

Kratownica to układ pryzmatycznych (prostoliniowych o stałym przekroju, brak tarcia i momentów) prętów połączonych ze sobą idealnymi przegubami.

Dźwigary to połączone ze sobą układy w postaci belek, ram itd.

Dźwigary prętowe są to pręty połączone ze sobą w sposób sztywny lub przegubowy, oraz z podłożem.

Stopień statycznej niewyznaczalności w kratownicy określa wzór:

Gdzie:
p - liczba prętów
r - liczba reakcji
w - liczba węzłów

Obwiednie:

Dla rodziny krzywych (lub rodziny powierzchni) jest to krzywa (powierzchnia) styczna w każdym swoim punkcie do co najmniej jednej krzywej (powierzchni) z tej rodziny.

Obwiednia obciążeń jest wykresem współczynnika obciążeń dopuszczalnych.

Obwiednia momentów jest wykresem współczynnika momentów dopuszczalnych.

Przegub plastyczny:

Pełne uplastycznienie przekroju poprzecznego (zginanego) pręta; różni się tym od zwykłego przegubu, że przenosi moment równy nośności plastycznej przekroju; na schemacie może być zastąpiony przegubem i dwoma momentami skupionymi, wzajemnie równoważącymi się i o zwrotach odpowiadających deformacji skrajnych włókien (rozciąganie/ściskanie).

Zasadę prac wirtualnych formułujemy dla:

1. Ciała doskonale sztywnego (odległość pomiędzy poszczególnymi punktami materialnymi nie mogą ulec zmianie, przemieszczenie wirtualne musi być nieskończenie małe)

2. Odkształcenia w dwóch przypadkach

1. Wirtualnym stanie naprężenia

2. Wirtualnym stanie odkształcenia

Pełne równanie pracy wirtualnej:

Układy statycznie niewyznaczalne są układami przesztywnionymi. Stopień przesztywnienia zależy od stopnia statycznej niewyznaczalności. Określamy ją wzorem:

Gdzie:
r - liczba reakcji podporowych
z - liczba pól zamkniętych
p - liczba przegubów pojedynczych

Zalety układów statycznie niewyznaczalnych:

• Przesztywnienie układu wpływa na obniżenie sił wewnętrznych w układzie (od obciążenia zewnętrznego);

• Przesztywnienie ma wpływ na zmniejszenie się ugięć i kątów obrotu.

Wady układów statycznie niewyznaczalnych:

• Zmiany temperatury w takich układach powodują powstanie dodatkowych sił wewnętrznych, czego nie obserwuje się w układach statycznie wyznaczalnych;

• W układach przesztywnionych przemieszczenie podpory spowoduje pojawienie się dodatkowych sił, czego nie obserwuje się w układach statycznie wyznaczalnych;

• W układach statycznie niewyznaczalnych zniszczenie jednej z części wyłącza z pracy konstrukcje (zniszczenie przęsła powoduje przesunięcie całego układu).

Układy statycznie niewyznaczalne rozwiązujemy za pomocą metody sił lub metody przemieszczeń.

W metodzie sił przy rozwiązywaniu układu statycznie niewyznaczalnego niewiadomą jest siła. W metodzie tej wykorzystuje się warunki zgodności uogólnionych przemieszczeń schematu podstawowego i rzeczywistego.

W metodzie przemieszczeń układy statycznie niewyznaczalne rozwiązywane są w ten sposób, że niewiadome jest przemieszczenie (przęsłów, kąta obrotu). Równania kanoniczne wykorzystują warunki równowagi w więzach nałożonych na układ przekształcających układ geometrycznie niewyznaczalny w układ geometrycznie wyznaczalny.

Tok postępowania w metodzie sił:

1. Określenie stopnia statycznej niewyznaczalności;

2. Przyjęcie schematu podstawowego statycznie wyznaczalnego i geometrycznie niezmiennego (schemat ten otrzymujemy poprzez myślowe oswobodzenie więzów układu statycznie niewyznaczalnego w ilości takiej, jaki jest stopień statycznej niewyznaczalności). Na kierunkach tych wielkości wstawiamy wielkości hiperstatyczne (nadliczbowe);

3. Sporządzenie wykresów sił wewnętrznych w schemacie podstawowym, schematach nadliczbowych oraz od obciążenia zewnętrznego;

4. Wyliczenie elementów macierzy podatności oraz elementów wektorów obciążających układ (od stanu P i temperatury);

5. Rozwiązanie układu równań;

6. Wyznaczenie końcowych wartości sił w podporach np. wykorzystując superpozycję poszczególnych stanów;

7. Sprawdzenie poprawności (sprawdzenie kinematyczne).

Co oznaczają δ₁₃ oraz δ₂₂ oraz podać ich sens fizyczny.

P₁ δ₁ - efekt działania jednoczesnego

δ_ij- jest to przemieszczenie węzła i-tego w miejscu przyłożenia na kierunku P_i (i-tej siły) od przyczyn P_j.
i- określa gdzie jest siła przyłożona, j- określa przyczynę.
δ_{ip -} przemieszcznie w miejscu i na kierunku i-tej nadliczbowej od stanu P.

δ₁₃ - jest to przemieszczenie w miejscu przyłożenia siły pierwszej nadliczbowej oraz na kierunku tej siły od stanu x₃=1.

δ ₂₂ - jest to przemieszczenie w miejscu przyłożenia x₂=1 oraz na kierunku tej siły od stanu x₂=1.

δ_i = P_j δ_{ij ,}
δ_{i -} przemieszczenie spowodowane działaniem siły w k'tym pkt.
P_j - i to wartość siły
δ_ij - przemieszczenie δ_i od jednostkowej siły

Równanie metody sił dla wpływu temperatury:

Równanie metody sił dla wpływu osiadania:

Gdzie:
R_ij- reakcja w j-tym węźle od x_i=1
Δ_j- przemieszczenie na kierunku j-tego węzła.

Równanie trzech momentów:

Równanie trzech momentów ze względu na wpływ temperatury:

Równanie trzech momentów ze względu na wpływ osiadania:

Metody energetyczne:

Twierdzenie Clapeyrona:

Rozpatrujemy układ prętowy obciążony siłami zewn., który jest w równowadze, czyli:

1. Materiał prętów jest liniowo sprężysty;

2. Punkty podparcia są stałe (nie ma osiadania);

3. Temperatura jest stała;

4. Spełnione są wszystkie założenia mech budowli.

DODATKOWO - Praca odkształcenia:

Przy obciążeniu statycznym tj. wzrastającym bardzo wolno od zera, część energii o jaką zmniejsza się energia potencjalna obciążenia zmienia się na energię potencjalną odkształcenia(energię sprężystą).

tutaj wzór na U z całkami.

Właściwe twierdzenie:

W układach Clapeyrona praca rzeczywista sił zewnętrznych jest równa energii sprężystej układu.
L= U
W układach rzeczywistych na ogół L>U (U- energia nagromadzona)
L= U + ΔU_d (ΔU_d- ilość energii dysponowanej z układu, ginie na skutek tarć, promieniowania.)

W założonych układach prętowych energię sprężystą można sumować. Jeżeli układ składa się z wielu prętów, to całkowitą energią jest suma energii nagromadzonych we wszystkich prętach.

Twierdzenie Bettiego:

Układ prętowy jest poddany działaniu sił skupionych, niezależnych od siebie.

Twierdzenie o wzajemności pracy:

Praca wykonana przez siły grupy 1-wszej na przemieszczeniach spowodowanych przez grupę 2-gą równa jest pracy sił grupy 2-giej na przemieszczeniach spowodowanych siłami grupy 1-wszej.

Twierdzenie Maxwella:

Ogranicza się do jednej siły z grupy 1-wszej (sił skupionych) i jednej siły z grupy 2-giej(sił skupionych).

Przemieszczenie uogólnione δ_ik odpowiadające i-tej sile uogólnionej (po kierunku tej siły) i wywołane

działaniem uogólnionej siły P_k=1, równe jest przemieszczeniu uogólnionemu δ_ki , odpowiadającemu k-tej sile uogólnionej i wywołanemu przez działanie jednostkowej siły uogólnionej P_i=1.
Dla sił P_i i P_k jednostkowych:
δ_ik = δ_ki , gdzie i - miejsce przyłożenia siły (gdzie), k-przyczyna
δ_i - przemieszczenie spowodowane działaniem siły w punkcie k.

Twierdzenie Castigliano:

Układ spełnia warunki Clapeyrona: jest w równowadze.
Na układ działa ciąg sił P_i gdzie i=1,2…m
Rzut przemieszczenia punktu zaczepienia siły P_i na kierunek jej działania jest równy pochodnej cząstkowej z energii sprężystej tej siły.

6

---