Rozkład dwumianowy - Bernoulliego

Rozkład dwumianowy polega na przeprowadzeniu n jednakowych, niezależnych doświadczeń, z których każde może zakończyć się „sukcesem” z prawdopodobieństwem p lub „porażką” z prawdopodobieństwem q=1-p. Prawdopodobieństwo pojawienia się sukcesu jest jednakowe w każdym z kolejnych doświadczeń. Zmienną losową w tym eksperymencie jest zdarzenie polegające na pojawieniu się k liczby sukcesów w próbach, przy czym
k჎<0, n>.

gdzie:

k = 1, 2, 3, ..., n - liczba wystąpienia „sukcesów”

n - liczba doświadczeń

p - prawdopodobieństwo wystąpienia sukcesów

Dystrybuanta zmiennej losowej o rozkładzie dwumianowym ma postać:

Wartość oczekiwana w rozkładzie dwumianowym:

Wariancja w rozkładzie dwumianowym:

Rozkład jednostajny

Rozkład jednostajny (zwany też jednorodnym, równomiernym, prostokątnym albo płaskim) to ciągły rozkład prawdopodobieństwa, dla którego gęstość prawdopodobieństwa w przedziale od a do b jest stała i różna od zera, a poza nim równa zeru.

Ponieważ rozkład jest ciągły, nie ma większego znaczenia czy punkty a i b włączy się do przedziału czy nie. Rozkład jest określony parą parametrów a i b, takich że b>a.

Podstawiając a i b wyrażone jako funkcje wartości oczekiwanej i wariancji do wzoru na gęstość prawdopodobieństwa rozkładu jednostajnego powyżej, można ją też zapisać jako:

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa Dystrybuanta

Mediana

Mediana (zwana też wartością środkową lub drugim kwartylem) to w statystyce wartość cechy w szeregu uporządkowanym, powyżej i poniżej której znajduje się jednakowa liczba obserwacji. Mediana jest kwantylem rzędu 1/2, czyli drugim kwartylem.

Aby obliczyć medianę ze zbioru n obserwacji, sortujemy je w kolejności od najmniejszej do największej i numerujemy od 1 do n. Następnie,

• jeśli n jest nieparzyste, medianą jest wartość obserwacji w środku (czyli obserwacji numer
  ).

• Jeśli natomiast n jest parzyste, wynikiem jest średnia arytmetyczna między dwiema środkowymi obserwacjami, czyli obserwacją numer
  i obserwacją numer
  .

Dominanta

Dominanta (wartość modalna, moda, wartość najczęstsza) to jedna z miar tendencji centralnej, statystyka dla zmiennych o rozkładzie dyskretnym, wskazująca na wartość o największym prawdopodobieństwie wystąpienia, lub wartość najczęściej występująca w próbie. Dla zmiennej losowej o rozkładzie ciągłym jest to wartość, dla której funkcja gęstości prawdopodobieństwa ma wartość największą.

Miary rozproszenia.

Miary rozproszenia (jak rozproszyły się na osi nasze wartości zmiennej) to rozstęp, wariancja i odchylenia standardowe. Te charakterystyki mówią nam czy próbka rozłożyła się na całej skali, czy też dostaliśmy mało wartości ze skali, ale jest dużo frekwencji.

• Rozstęp - estymator tego parametru mówi na ilu jednostkach skali rozrzuciły się wartości zmiennej.

• Wariancja - to przeciętna kwadratowa odległość wszystkich pomiarów od średniej arytmetycznej.

• Odchylenia standardowe - przeciętna odległość pomiarów od średniej arytmetycznej.

Statystyki kształtu rozkładu

• Momentem zwykłym m_l rzędu l próbki x₁, x₂, x₃,...x_n nazywamy średnią arytmetyczną l-tych potęg wartości x_i

Zauważmy, że m₁=

• Momentem centralnym M_l rzędu l próbki x₁, x₂, x₃,...x_n nazywamy średnią arytmetyczną l-tych potęg odchyleń wartości x_i od średniej arytmetycznej
  próbki

Zauważmy, że M₁=0, M₂=s².

• Współczynnik asymetrii (skośności)

• Xśr=Me=Mo - rozkład symetryczny

• Xśr >Me>Mo - rozkład o asymetrii prawostronnej

• Xśr <Me<Mo - rozkład o asymetrii lewostronnej

• Współczynnik asymetrii (skośności) As

• Interpretacja wspołczynnika asymetrii:

• As = 0 rozkład symetryczny

• As =>0 asymetria prawostronna

• As =<0 asymetria lewostronna

Rozkład symetryczny

Po tyle samo jednostek ma wartości większe i mniejsze od poziomu średniego

Rozkład o asymetrii prawostronnej

Większość jednostek ma wartości mniejsze od poziomu średniego

Rozkład o asymetrii lewostronnej

Większość jednostek ma wartości większe od poziomu średniego.

• Współczynnik koncentracji (skupienia), kurtoza K

• Interpretacja współczynnika skupienia:

• k <3 rozkład spłaszczony

• k =3 rozkład normalny

• k >3 rozkład wysmukły
  

4

---