Indukcja elektromagnetyczna; indukcyjność

1. Zjawisko indukcji elektromagnetycznej

2. Strumień magnetyczny

3. Indukcyjne prawo Faradaya

4. Reguła Lenza

5. SEM i indukcyjne pole elektryczne

6. Cewki indukcyjne & indukcyjność

7. Samoindukcja

****************************************************************************

1. Zjawisko indukcji elektromagnetycznej

Rozważyliśmy moment obrotowy działający na ramkę z prądem umieszczoną w polu B:

⇒ Siła magnetyczna pochodząca od pola B działająca na ramkę przewodzącą prąd (I) wytwarza moment obrotowy (T) obracający ramkę: {(B + I) wytwarza T} = proces (1).

P: Czy odwrotny proces jest możliwy ?

O: TAK - prąd (I) może zostać wygenerowany przez działanie (B & T)!

⇒ Obracamy przewodzącą ramkę bez prądu w polu B ręcznie (= wytwarzamy moment

obrotowy) → prąd pojawia się w ramce: {(B + T) wytwarza I} = proces (2).

U1: Proces (1) jest podstawą działania silnika elektrycznego.

U2: Proces (2) jest podstawą działania generatora elektrycznego.

Nowe zjawisko obserwowane w procesie (2) nazywane jest “indukcją”:

• Prąd wytworzony w ramce nazywany jest prądem indukcyjnym.

• Praca wykonana na jednostkę ładunku aby wytworzyć ten prąd (tzn. przesunąć elektrony przewodnictwa, które stanowią prąd) jest nazywana indukcyjną SEM.

• Proces wytworzenia prądu i SEM nazywana jest indukcją.

• Proces (2) opisywany jest przez indukcyjne prawo Faradaya.

Pozwólmy sobie przetestować dwa proste doświadczenia (zob Rys. poniżej):

Obserwacje doświadczalne:

1. Prąd pojawia się tylko w przypadku gdy występuje wzajemny ruch magnesu i pętli (jeden musi się poruszać w stosunku do drugiego); prąd zanika, gdy wzajemny ruch zostanie wstrzymany.

2. Szybszy ruch powoduje większy prąd.

3. Jeśli biegun północny wsuniętego do pętli magnesu powoduje, powiedzmy, prąd płynący zgodnie z ruchem wskazówek zegara, wtedy odwrotny ruch bieguna północnego powoduje przepływ prądu w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu wskazówek zegara. Poruszając biegun północny w kierunku do pętli także wytwarzamy prąd, lecz w dokładnie przeciwnych kierunkach.

⇒ Prąd indukcyjny (a także indukcyjna SEM) powstaje tylko gdy prąd w prawej pętli się zmienia (tj w chwili włączania oraz wyłączania) a nie wtedy gdy prąd jest stały (nawet gdy jego natężenie jest bardzo duże).

2. Strumień magnetyczny

Indukcyjna SEM i prąd indukcyjny w obydwu eksperymentach [Proces (3) & (4) ] wyraźnie wywoływane są gdy coś się zmienia.

*** To “coś” to strumień magnetyczny Φ_B odkryty przez Faradaya. ***

Strumień magnetyczny Φ_B przechodzący przez powierzchnię A w polu magnetycznym B definiuje się jako:

(1)

gdzie całkowanie wykonuje się po powierzchni dA,
jest wektorem o wielkości dA, który jest prostopadły do różniczkowej powierzchni dA.

Jednostką SI strumienia magnetycznego jest weber, gdzie 1 Wb = 1 T·m².

Specjalny przypadek: pętla o powierzchni A na płaszczyźnie i jednorodne pole B ⊥ do tej płaszczyzny

• Iloczyn skalarny w Rów. 1 wynosi: B dA cos 0° = B dA.

• Gdy pole B jest jednorodne, B może zostać przeniesione przed znak całki i całkowanie po dA daje wprost pole A powierzchni.

• Rów. 1 redukuje się do:
  (2)

3. Indukcyjne prawo Faradaya

W obydwu doświadczeniach: SEM i prąd mogą zostać zaindukowane w pętli przez zmianę ilości pola magnetycznego przechodzącego przez pętlę.

Faraday jako pierwszy zdał sobie sprawę, że fakt ten i “ilość pola magnetycznego” mogą zostać zobrazowane w postaci linii pola magnetycznego przechodzących przez pętlę.

Indukcyjne prawo Faradaya (przedstawione poprzez obydwa doświadczenia):

SEM jest indukowana w pętli [zob Rysunki] gdy liczba linii sił pola magnetycznego przechodzących przez pętlę się zmienia.

Prawo Faradaya (przedstawione poprzez strumień magnetyczny) brzmi:

Jeśli strumień magnetyczny Φ_B przechodzący przez obszar ograniczony przewodzącą pętlą zmienia się w czasie, prąd i SEM są wytworzone w pętli; proces ten nazywany jest indukcją.

Ogólna postać prawa: Indukcyjna SEM w przewodzącej pętli jest proporcjonalna do tempa zmian w czasie strumienia magnetycznego Φ_B przechodzącego przez tą pętlę:

(prawo Faradaya) (3)

Dla ściśle upakowanej cewki o N zwojach, indukcyjna SEM:
(4)

4. Reguła Lenza

Kierunek prądu indukcyjnego płynącego w pętli określa reguła Lenza:

Prąd indukcyjny ma kierunek taki, że pole magnetyczne wytworzone przez prąd elektryczny, sprzeciwia się zmianie strumienia magnetycznego wytwarzającego ten prąd.

Indukcyjna SEM ma identyczny kierunek jak prąd indukcyjny.

U1: Dwa pola: (1) pole magnetyczne pochodzące od prądu B_i (indukowane!)

(2) zewnętrzne pole magnetyczne B które wytwarza prąd.

Indukcja i transfer energii:

Stosując regułę Lenza, poruszając magnesem tam i z powrotem, zbliżając i oddalając go od pętli, Rys. 31-1, siła magnetyczna sprzeciwia się temu ruchowi, potrzebując zastosowania siły, aby wykonać dodatnią pracę. Stąd, energia termiczna jest wytwarzana przez materiał pętli, ponieważ rezystancja elektryczna materiału sprzeciwia się prądowi indukowanemu przez ruch magnesu. Energia, którą my transferujemy do układu [= zamknięta pętla + magnes] poprzez zastosowaną siłę ostatecznie przechodzi w energię termiczną.

Czym szybciej poruszamy magnesem, tym gwałtowniej zastosowana siła działa i większa jest szybkość z którą nasza energia jest zamieniana na energię termiczną w pętli; tj, moc przemiany jest większa.

Przykładowy problem:

DANE: Wielkość pola: B = 4t²x² ( w teslach T), t w sekundach, i x w metrach; szerokość W = 3.0 m, wysokość H = 2.0 m. Pytanie:

Jaka jest wielkość i kierunek indukcyjnej SEM ε dookoła ramki w chwili t=0.10s?

Strumień pola B przechodzący przez pętlę (ramkę):

=

Traktując t jako stałą dla tego całkowania oraz wstawiając granice całkowania

x = 0 i x = 3.0 m, otrzymujemy

(strumień w weberach)

Używając prawa Faradaya:
(ε w woltach)

Odp.: ε = (144V/s)(0.10 s) ≈ 14 V.

U1: Strumień B przechodzący przez ramkę jest skierowany w stronę kartki i zwiększa wartość, ponieważ B zwiększa wartość z czasem.

U2: Nawiązując do reguły Lenza, pole B_i od prądu indukcyjnego musi być przeciwne temu wzrostowi i skierowane od strony kartki (wychodzi z kartki).

U3: Wtedy, reguła prawej dłoni (Rys.) mówi nam, że prąd indukcyjny płynie w pętli w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, a zatem indukcyjna SEM ε też jest skierowana w tym kierunku.

5. SEM i indukcyjne pola elektryczne

We wszystkich doświadczeniach dotyczących indukcji:

⇒ zmieniając strumień magnetyczny wytwarza się prąd (i), np. w miedzianym pierścieniu ⇒ pole elektryczne (E) musi występować wzdłuż pierścienia.

U1: Pole E jest potrzebne aby wykonać pracę na elektronach przewodnictwa.

P: Czy to indukcyjne pole elektryczne istnieje bez miedzianego pierścienia, tak jak pole elektryczne wytwarzane przez ładunki statyczne?

O: TAK, ponieważ obydwa pola działają siłą q₀E na ładunek punktowy q₀.

Stąd, indukcyjne prawo Faradaya może być także sformułowane w postaci:

Zmienne pole magnetyczne wytwarza pole elektryczne.

Aby sprawdzić to twierdzenie:

Umieszczamy miedziany pierścień o promieniu r w jednorodnym zewnętrznym polu B, wypełniającym cylindryczną objętość o promieniu R [Rys. poniżej]

⇒ zwiększamy wielkość pola B w ustalonym tempie (np. poprzez zwiększenie natężenia prądu w uzwojeniu elektromagnesu, który jest źródłem pola);

⇒ strumień magnetyczny przechodzący przez pierścień zmienia się w stałym tempie;

⇒ z prawa Faradaya wynika, że w pierścieniu pojawi się indukcyjna SEM, a także prąd indukcyjny (w tym przypadku płynący przeciwnie do ruchu wskazówek zegara).

Przeformułowanie prawa Faradaya:

Rozważmy pracę W wykonaną przez indukowane pole elektryczne (tzn. indukowaną SEM ε) działające na ładunek punktowy q₀ poruszający się po kolistej drodze przedstawionej na Rys. (b) powyżej:

W (w czasie jednego obrotu po kole) = εq₀ (5)

U1: W = praca na jednostkę ładunku wykonana podczas przesuwania ładunku testowego po drodze kołowej.

Z mechaniki wiemy, że praca ta może zostać obliczona jako:

W =
(6)

q₀E = wielkość siły działającej na ładunek testowy,

2πr = odległość na jakiej działa ta siła (= obwód koła).

Z Rów. 5 i 6 wyznaczamy indukcyjną SEM: ε = 2πrE (7)

W ogólności: praca wykonana na ładunku q₀ poruszającym się po dowolnej zamkniętej drodze:

(8)

Z Rów. 5 i 8 (dzieląc przez q₀), mamy ogólną zależność:
(9)

U2: Rów. 9 redukuje się do Rów. 7 dla szczególnego przypadku Rys. (b) powyżej.

Rów. 9 nadaje nowe znaczenie indukcyjnej SEM:

Poprzednio: indukcyjna SEM =

(a) praca na jednostkę ładunku wykonana aby utrzymać prąd wytworzony przez zmienny strumień magnetyczny, lub

(b) praca na jednostkę ładunku wykonana na naładowanej cząstce, która porusza się po okrężnej zamkniętej drodze w zmiennym strumieniu magnetycznym.

Obecnie: indukcyjna SEM może istnieć bez potrzeby przepływu prądu lub istnienia naładowanej cząstki ⇒

(c) indukcyjna SEM jest sumą, poprzez całkowanie
po drodze okrężnej, gdzie
jest polem elektrycznym indukowanym przez zmienny strumień magnetyczny; ds różniczkowym wektorem długości po zamkniętej drodze.

Łącząc Rów. 9 z prawem Faradaya w Rów. 3 (ε = -dΦ_B/dt):

LSR:
: PSR (Przeformułowane prawo Faradaya) (10)

Znaczenie Rów. 10:

Zmienne pole magnetyczne (PSR) indukuje pole elektryczne (LSR).

Nowe spojrzenie na potencjał elektryczny:

Pole elektryczne (E) może zostać wytworzone zarówno:

(1) przez zmianę pola B lub (2) przez statyczne ładunki elektryczne.

Każde pole E (1 & 2) działa pewną siłą na naładowane cząstki, lecz istnieją poważne różnice pomiędzy nimi:

(1) Wszystkie linie pola E indukowanego przez zmienne pole B są koncentryczne (Rys. (a- d) powyżej),

INACZEJ jest w przypadku linii pola E wytworzonego przez statyczne ładunki elektryczne, które nigdy nie są koncentryczne, ale zawsze muszą zaczynać się na ładunku dodatnim a kończyć na ładunku ujemnym.

(2) Potencjał elektryczny V ma sens jedynie w przypadku pola wytworzonego przez statyczne ładunki elektryczne; natomiast nie ma żadnego sensu dla pola elektrycznego wytworzonego przez indukcję w zmiennym polu B.

Powód: Naładowana cząstka poruszająca się po drodze okrężnej Rys. 31-13b startuje z pewnego punktu i powraca w to samo miejsce, które zatem nie może mieć dwóch różnych wartości potencjału.

Z Elektryczności: różnica potencjałów pomiędzy dwoma punktami i & f w polu elektrycznym pochodzącym od ładunków statycznych:

(11)

Jeśli punkty i & f w Rów. 11 są tym samym punktem, droga łącząca je jest pętlą zamkniętą, V_i & V_f są identyczne a Rów. 11 redukuje się do:

(12)

U1: Gdy występuje zmiana strumienia magnetycznego, całka w Rów. 12 nie jest zerem, ponieważ wynosi [ -dΦ_B/dt] tak jak w Rów. 10.

Wniosek: przypisanie potencjału elektrycznego do indukowanego pola E daje sprzeczność; V nie ma żadnego sensu dla pól E powiązanych z indukcja.

6. Cewki i indukcyjność

Z Elektryczności: Kondensator (np. płaski - oznaczany symbolem C) może być użyty do wytworzenia pożądanego pola elektrycznego.

Podobnie, przewodnik (np. długi solenoid - symbol L) może zostać użyty do wytworzenia pożądanego pola magnetycznego.

Indukcyjność L cewki jest zdefiniowana przy pomocy natężenia prądu i w uzwojeniach (o N zwojach) cewki (solenoidu), oraz strumienia magnetycznego Φ_B , wytworzonego przez ten prąd, przechodzącego przez centralny obszar cewki:

(definicja indukcyjności) (13)

Jednostką SI indukcyjności jest henr (H): 1 henr = 1 H =1 T⋅m²/A

U1: Uzwojenia cewki są połączone współdzielonym strumieniem.

U2: Iloczyn NΦ_B jest nazywany sprzężeniem strumieni magnetycznych.

U3: Indukcyjność L jest miarą sprzężenia strumieni wytworzonego przez cewkę na jednostkę natężenia prądu.

Indukcyjność solenoidu:

P: Jaka jest indukcyjność na jednostkę długości ( l ) w pobliżu środka długiego solenoidu ?

(1) Obliczamy sprzężenie strumieni ustalone przez prąd (i) płynący w uzwojeniach solenoidu, dla jednej z jego sekcji: NΦ_B = (nl)(BA)

n = liczba zwojów na jednostkę długości solenoidu;

B = wielkość pola magnetycznego wewnątrz solenoidu;

A = pole przekroju poprzecznego solenoidu.

(2) Używając równania dla solenoidu obliczamy B: B = μ_oin.

(3) Używając Rów. 13:

⇒ Indukcyjność na jednostkę długości dla długiego solenoidu w pobliżu jego centrum:
(dla solenoidu) (14)

U1: Indukcyjność (tak jak pojemność) zależy wyłącznie od geometrii urządzenia.

U2: Z Rów. 14 stała przenikalności μ₀ może zostać wyrażona w jednostkach:

henr na metr: μ₀ = 4π x 10^-7 T . m/A = 4π x 10^-7 H/m.

7. Samoindukcja

Rozważamy dwie cewki znajdujące się blisko siebie:

⇒ Prąd i w jednej z cewek wytwarza strumień magnetyczny Φ_B w drugiej cewce.

⇒ Jeśli zmienimy ten strumień poprzez zmianę prądu, zgodnie z prawem Faradaya, indukowana SEM pojawia się w drugiej cewce.

⇒ Indukowana SEM także pojawia się w pierwszej cewce.

Zjawisko to (zob. Rys.) nazywane jest samoindukcją, a pojawiająca się SEM nazywana jest SEM samoindukcyjną.

Jeśli prąd i w cewce zmienia się w czasie,

samoindukcyjna SEM ε_L pojawia się w cewce:
(15)

Wyprowadzenie Rów. 15:

(a) Z Rów. 13, dla każdej cewki o N zwojach: NΦ_B = Li

(b) Z przeformułowanego prawa Faradaya, Rów. 10:

ε_L =

dla N zwojów w cewce:

⇒ Porównując (a) i (b) otrzymujemy Rów. 15.

U1: W każdej cewce (cewka indukcyjna, solenoid, toroid) samoindukcyjna SEM pojawia się zawsze gdy prąd zmienia się w czasie.

U2: Wielkość (natężenie) prądu nie ma wpływu na wielkość indukowanej SEM; liczy się tylko tempo zmian prądu.

U3: Kierunek ε_L można wyznaczyć przy pomocy reguły Lenza:

Samoindukcyjna SEM sprzeciwia się zmianom,

które ją wytwarzają (reguła `przekory').

Ćwiczenia 9

1. Na czym polega zjawisko indukcji elektromagnetycznej?

2. W jakich doświadczeniach można zaobserwować zjawisko indukcji elektromagnetycznej?

3. Podaj dwa sformułowania indukcyjnego prawa Faradaya.

4. O czym mówi reguła Lenza?

5. Niewielka pętla o polu A znajduje się wewnątrz długiego solenoidu o n zwojach na jednostkę długości, umieszczona w ten sposób, że osie solenoidu i pętli są w tym samym kierunku. Przez solenoid płynie prąd o natężeniu i. Jeśli i = i_osinωt, wyznacz SEM indukowaną w pętli.

6. Okrągła cewka o promieniu 10.0 cm i 30.0 ciasno nawiniętych zwojach drutu. Zewnętrzne pole magnetyczne o B=2.60 mT jest skierowane prostopadle do cewki. (a) Jeśli przez cewkę nie płynie prąd, jaki strumień magnetyczny wiąże zwoje? (b) Jeśli natężenie prądu płynącego przez cewkę w pewnym kierunku wynosi 3.80 A, wypadkowy strumień przechodzący przez cewkę zanika. Jaka jest indukcyjność cewki?

Wstęp do fizyki: Wykład + ćwiczenia 13 Prof. C. Rudowicz 2012/13

11

U4: Potencjał elektryczny V nie może zostać zdefiniowany dla pola E i SEM która została zaindukowana przez zmienny strumień magnetyczny, tj. gdy samoindukcyjna SEM jest wytworzona w cewce, nie możemy zdefiniować V wewnątrz samej cewki (induktora), gdzie strumień się zmienia.

U5: Potencjały nadal mogą zostać określone w punktach obwodu nie znajdujących się wewnątrz induktora, tj. w miejscach gdzie pola E pochodzą od rozkładu ładunków oraz związanych z nimi potencjałów elektrycznych.

U6: Możemy określić samoindukcyjną różnicę potencjałów V_L w poprzek cewki. Jeśli cewka jest idealna (rezystancja drutu ≈ 0), wartość V_L jest równa wartości samoindukcyjnej SEM ε_L.

Proces (4): Zmieniając I₁ w przewodzącej pętli (bez T) indukuje się (tj. generuje) prąd elektryczny o natężeniu I₂ w drugiej przewodzącej pętli umieszczonej obok.

Galwanometr (lub amperomierz) rejestruje prąd w pętli po lewej w momencie gdy przełącznik S jest zamykany (aby włączyć prąd w pętli po prawej stronie) lub otwierany (aby wyłączyć prąd w pętli po prawej). Nie występuje ruch cewek.

Proces (3): Zmieniając B (bez T) generuje się I

Galwanometr rejestruje natężenie prądu występujące w pętli gdy magnes porusza się w stosunku do pętli (ramki).

• brak baterii lub innego źródła SEM;

• brak prądu w pętli;

• poruszając magnes sztabkowy w stronę pętli → w pętli pojawia się momentalnie prąd elektryczny;

• gdy magnes się zatrzymuje, prąd zanika;

• wysuwając magnes z pętli → gwałtownie pojawia się prąd płynący w przeciwnym kierunku.

Zamknięta ramka (pętla) z prądem, o szerokości W i wysokości H, znajduje się w niejednorodnym, zmieniającym się polu magnetycznym, które jest skierowane wprost w kierunku kartki (do kartki).

Aby zastosować prawo Faradaya, używamy pionowej taśmy o długości H, szerokości dx, i polu dA.

Ilustracja samoindukcyjnej SEM:

(a) Prąd i rośnie ⇒ ε_L pojawia się w długiej cewce w takim kierunku, aby sprzeciwiać się temu wzrostowi. Strzałka wzdłuż zwoju cewki lub wzdłuż cewki reprezentuje ε_L.

(b) Prąd i maleje ⇒ ε_L pojawia się w takim kierunku, aby sprzeciwiać się temu spadkowi.

Jeśli prąd w cewce zostanie zmieniony przez zmianę położenia miejsca styku na rezystorze nastawnym (potencjometrze), samoindukcyjna SEM ε_L pojawi się w cewce podczas zmiany prądu.

(d) Cztery podobne zamknięte drogi obejmujące identyczne powierzchnie. Równe SEM są zaindukowane wokół kolistych dróg 1 i 2, które leżą całkowicie w obszarze zmiennego pola magnetycznego. Mniejsza SEM jest indukowana wokół drogi 3, która jedynie częściowo leży w tym obszarze. Nie ma żadnej SEM zaindukowanej wokół drogi 4, która leży całkowicie na zewnątrz pola B.

(2) Opozycja do zmian strumienia:

Prąd i indukowany w pętli ma kierunek taki że pole magnetyczne B_i pochodzące od prądu i przeciwstawia się zmianom pola magnetycznego B indukującego i.

• Pole B_i jest zawsze skierowane przeciwnie do rosnącego pola B (a, c) a zgodnie z słabnącym polem B (b, d).

• Reguła prawej dłoni wskazuje kierunek prądu indukcyjnego bazując na kierunku pola indukcyjnego.

(1) Opozycja do ruchu bieguna:

Magnes porusza się w kierunku pętli:

⇒ prąd jest indukowany w pętli;

⇒ prąd wytwarza swoje własne pole B, z magnetycznym momentem dipolowym zorientowanym przeciwnie do kierunku ruchu magnesu.

⇒ prąd indukcyjny musi płynąć w kierunku ruch wskazówek zegara, tak jak pokazano na rys.

(a) Jeśli pole magnetyczne zwiększa się w ustalonym tempie, stały prąd indukcyjny pojawia się w miedzianym pierścieniu o promieniu r.

(b) Indukowane pole elektryczne istnieje nawet gdy usuniemy pierścień; pole E jest pokazane w czterech punktach.

(c) Kompletny obraz indukowanego pola elektrycznego, został przedstawiony w postaci linii pola E (koła).

---