PORÓWNANIE KRYTERIÓW STABILNOŚCI

Omówiono trzy najczęściej stosowane kryteria stabilności. Kryteria Hurwitza i Michajłowa można stosować tylko wtedy, kiedy znamy opis matematyczny układu, natomiast kryterium Nyquista również w tych przypadkach, kiedy dysponujemy doświadczalnie wyznaczonymi charakterystykami częstotliwościowymi układu otwartego (opis matematyczny poszczególnych elementów może nie być znany).

Kryterium Hurwitza jest bardzo proste i wygodne w zastosowaniu do układów opisywanych równaniami niższych stopni. Za pomocą tego kryterium można sprawdzić stabilność układu o wszystkich współczynnikach danych, jak i wyznaczyć zakresy (obszary) zmienności niektórych współczynników zapewniające stabilność. Wadą kryterium jest brak możliwości wyznaczenia zapasu stabilności oraz utrudniona jest ocena wpływu poszczególnych parametrów układu na stabilność.

Kryterium Michajłowa umożliwia już przybliżoną ocenę zapasu stabilności (ale nie ujętą ilościowo; o zapasie stabilności może świadczyć najmniejsza odległość krzywej charakterystycznej od początku układu współrzędnych). Łatwiejsze jest również określenie wpływu poszczególnych parametrów układu na stabilność. Natomiast nie można analizować wpływu dodania elementów korekcyjnych do układu.

Największe znaczenie ma kryterium Nyquista, które umożliwia nie tylko łatwe sprawdzenie stabilności oraz wyznaczenie zapasów modułu i fazy, lecz pozwala również projektantowi na dokładną, ocenę wpływu poszczególnych parametrów układu na stabilność oraz na kształtowanie własności układu przez dobór określonych wartości tych parametrów lub przez dodanie elementów korekcyjnych.

DOKŁADNOŚĆ STATYCZNA

Wymagania dotyczące dokładności statycznej układów formułowane są zwykle w postaci podania dopuszczalnych wartości odchylenia regulacji (sterowania) w stanie ustalonym,
. Odchylenie
nazywa się często krócej odchyleniem statycznym, błędem statycznym lub uchybem statycznym.

Schemat blokowy układu zamkniętego

Rozpatrzymy układ automatyki złożony z obiektu o transmitancji operatorowej
i regulatora o transmitancji G_r(s) (rys.). Jeżeli wpływ zakłóceń z i wartości zadanej w można rozpatrywać oddzielnie, co zwykle ma miejsce, to odchylenie statyczne jest sumą dwóch składowych:

gdzie:

- odchylenie wywołane zakłóceniami,

- odchylenie wywołane zmianą wartości zadanej.

Wartości dopuszczalne
i
określa się oddzielnie, w jednostkach wielkości wyjściowej y albo w procentach od wartości y_mas lub w_max:,

,

Liczby
i
są procentowo wyrażonymi warunkami na dokładność statyczną układu. Jeżeli np. w układzie regulacji temperatury maksymalna wartość wielkości regulowanej
i żądany
, to dopuszczalna wartość odchylenia statycznego wywołanego zakłóceniami będzie:

Często odchylenie
jest równe jednej ze składowych, np. we wszystkich układach regulacji stałowartościowej
i
, mamy więc

Jeżeli opis matematyczny układu podany jest w formie operatorowej, to wartości
i
oblicza się na podstawie twierdzenia o wartości końcowej. Dla układu o postaci przedstawionej na rysunku otrzymamy:

Jeżeli zakłócenia z wchodzą w innym miejscu do układu, niż to pokazano na . 7.20, to zmienia się transmitancja występująca w liczniku wzoru (7.40). Zależności (7.40) i (7.41) pozwalają ocenić wpływ typu i nastaw regulatora dokładność statyczną układu. Bardzo interesujące jest zwłaszcza porówna-

odchyleń statycznych, które wystąpią w układzie podprowadzeniu skoko-

o zakłócenia, w następujących przypadkach: a) bez regulatora, jb) z regulatorem P,

f

V \ Schematy, blokowe układu odpowiadające tym przypadkom przedstawiono

—* owiednio na rys. 7.21 a-f-c. Przyjęto, że obiekt jest elementem inercyjnym

^z regulatorem PI.

ransmitancji (?₀b(s) = ^/(^s+l). Na rysunku pominięto węzeł sumacyjny y— w (rys. 7.20), ponieważ wartość zadana jest stała (w₀ = const) i jej hyłM są równe zeru:

w= O . zatem

'^A l

. ' est = e_zst = 3/st •

Ukłądiając, że we. wszystkich przypadkach wprowadzono zakłócenie sko-o wartości z_flt, a więc

na podstawie zależności (7.40) obliczamy:

a) e_zst =- y_flt = lim sy(s) = lim s •••• - z(s), .-»o «-h> -i s-f-J.

2/St = fc«

(7.42)

o)

b)

c)

>\ »	*	J	/
r	Tś+1
	t fl4- ' ^	^
	W^+ TiS)

Kya. 7.21. Schematy tłokowe układu: a) bez regulatora, b) z regulatorem P, o) z regulatorem PI

fc

b) e_Zflt = ł/et •= lim sy(s) = lim s-

»-H) «-»0

Ts+l

"*

*(«) >

2/Bt =

•Ąit,

p

fc

(7.43)

c)

lims;i/(s) = lims-------—

»->0 »-*« t . »

^3/81

3/at = O .

w

180 7. Wymagania stawiane układom automatyki .•''•:••

Otrzymane wyniki pozwalają na sformułowanie następujących wniosków:

1. Zwiększenie wzmocnienia, proporcjonalnego Tc_P regulatora P zmniejsza od­chylenie statyczne.

2. Działanie całkujące regulatora usuwa zupełnie odchylenie statyczne (e₈t= O w przypadku zastosowania regulatora I, PI lub PID).

Wniosek 2 nie jest w rzeczywistości ścisły, ponieważ istniejące zawsze stref nieczułości przetwornika pomiarowego i bloku porównującego regulatora ora^ niedokładność przetwornika pomiarowego powodują pozostanie pewnego od chylenia statycznego, mimo obecności działania całkującego w regulator? •. (regulator nie może usunąć tego odchylenia, gdyż o nim „nie wie") Aby to odchylenie było jak najmniejsze, wymaga się często od przetworników pomia­rowych i bloku porównującego klasy, niedokładności 0,5, a nawet 0,2.

Należy zwrócić uwagę, że zmniejszenie odchylenia statycznego do żądanej i \. wartości przez zwiększenia ~k_v (wzór 7.43) zwykle nie jest możliwe ze względu \na warunki stabilności układu (por. wnioski punktu 7.1.4). W układach z regu-• Kktorem P dobór wzmocnienia k_p, który w zadowalający sposób rozwiąże dy­lemat dokładność-stabilność, jest podstawowym zadaniem projektanta. Naj­częściej jednak jednoczesne spełnienie wymagań dotyczących dokładności sta­tycznej i stabilności jest możliwe dopiero przez zastosowanie regulatorów ; , z działaniem I oraz D, a w trudniejszych przypadkach —• przez włączenie do­datkowych elementów korekcyjnych do układu.

Przeprowadzona analiza odchyleń statycznych występujących w układzie po wprowadzeniu zakłócenia skokowego (lub innego zakłócenia osiągającego określoną, stałą wartość) jest wystarczająca dla układów regulacji, których zadaniem jest utrzymywanie wielkości regulowanej na wybranym poziomie, stałym lub zmieniającym się powolnie według ustalonego programu. JSTatomiast szerszego omówienia wymaga zagadnienie dokładności statycznej serwomecha­nizmów, których zadaniem jest takie sterowanie wielkością wyjściową y, aby nadążała ona za zmieniającym się szybko, często w sposób nieokreślony, sygna-; łem w(t). Typowe są wówczas wymuszenia liniowo lub potęgowo narastające, tzn. o stałej prędkości, przyspieszeniu itd.

Dla uogólnienia rozważań podzielimy układy regulacji (sterowania) podobnie jak obiekty, na statyczne i astatyczne. W układach statycznych nie ma żad­nych elementów całkujących, natomiast w układach astatycznych występuje zawsze jeden taki element lub większa ich liczba. Układ zamknięty jest nazy­wany układem z astatyzmem Z-tego rzędu, Jeżeli układ otwarty zawiera l szere­gowo połączonych elementów całkujących, tzn. jeżeli jego transmitancję można przedstawić w postaci

M(s) ____

_W = _?

przy czym lim M (s) = ]imN(s).

s-*0 *-»o

•j', Do określenia wartości odchyleń (uchybów) statycznych dogodnie jest _s skorzystać z rozwinięcia przebiegu e (t) w szereg według pochodnych wyma-«/ szenia w (t)

v1

(7.46)

gdzie stałe 0₀, C_t...., d,... nazywane są współczynnikami uchybu i mogą \ być wyznaczone jako pochodne transmitancji uchybowej <?(s) = «(s)/w{s):

(7.47)

w	t y w' wit) /~~\ "y	" ' 1 w(t) /*~\ *'
		/ v^- ---- — Mti -S > *	L ^ '

Rys. 7.22. Odpowiedzi na wymuszenie skokowe i liniowo narastające układów: a) statycznych

b) astatycznych pierwszego rzędu

W układach z astatyzmem l -tego rzędu współczynniki C„ O_it ..., C,__t równe zeru, a dopiero współczynnik C_t ma wartość różną od zera;

Można więc powiedzieć, że układ z astatyzmem l -tego rzędu odtwarza bez odcl nią (uchybu) statycznego tylko te, wymuszenia, których pochodne począwsz l -tej są dla, dostatecznie dużych czasów równe zeru. 3$a> przykład, w przyp wymuszenia liniowo narastającego w (t) = at dla uzyskania e_st = O koni

jest astatyzm drugiego rzędu, w przypadku wymuszenia parabolicznego w (t) — •, == at² — astatyzm trzeciego rzędu itd. Łatwo zauważyć, że wymagania te są niemożliwe do spełnienia bez wprowadzenia specjalnych członów korekcyjnych przyspieszających fazę, gdyż już dwa człony całkujące połączone szeregowo wprowadzają przesuniecie fazowe —180° i układ staje się strukturalnie nie­stabilny.

Na rysunku 7.22 przedstawiono przykładowe wykresy odpowiedzi układów statycznych i astatycznych pierwszego rzędu na wymuszenia skokowe i liniowo narastające. '

i Należy zaznaczyć, że w przypadku wymuszeń wprowadzanych na wejście '• obiektu, tzn. z(t) według rys. 7.1, do spełnienia podanych wyżej warunków koniecznych dla uzyskania e_st= O działanie całkujące musi być zlokalizowane w regulatorze, a nie w obiekcie.

7.3. Jakość dynamiczna

Dla zapewnienia określonych własności dynamicznych układu nie wystarcza •wymaganie stabilności. Jeżeli układ jest stabilny, to wiemy jedynie, że prze­biegi przejściowe w tym układzie zanikpją, nie znamy jednak tak istotnych dla zastosowań praktycznych własności, jak rodzaj przebiegów, wartości od-chyleń maksymalnych, czas zanikania przebiegów przejściowych czy pasmo . częstotliwości, w którym zachodzi odtwarzanie sygnałów wymuszających z za­daną dokładnością. Wszystkie te własności składają się łącznie na pojęcie ja­kości dynamicznej.

Jakość dynamiczną określa się za pomocą szeregu wskaźników, odnoszą­cych się do poszczególnych cech przebiegu przejściowego lub charakterystyk częstotliwościowych, bądź", za pomocą wskaźników całkowych umożliwiających przybliżoną ocenę całego przebiegu przejściowego, a nie jednej z jego odręb-nych cech.

•

7.3.1. Wskaźniki dotyczące cech odpowiedzi skokowej

Oznaczenia potrzebne do zdefiniowania tych wskaźników podano w tabl. 7.2, i wyróżniając dwa przypadki (porównaj rys. 7.20):j

1) wymuszenie skokowe na wejściu obiektu

z(t) = z_ati(t),

2) wymuszenie skokowe na wejściu regulatora (najczęściej zmiana war­tości zadanej)

w(t)

Uwzględniono również typ regulatora; w układach z regulatorami asta-tycznymi (tzn. zawierającymi działanie całkujące) odchylenie statyczne e_Bt = O, natomiast w układach z regulatorami statycznymi (bez działania całkującego) e_si ¥= 0.

a. Czas regulacji. Podczas przebiegu przejściowego, następującego po-zakłóceniu, odchylenie regulacji e zmienia się według jednej z krzywych po­danych w tabl. 7.2. Czasem regulacji t_r nazywamy czas liczony od chwili przy­łożenia wymuszenia do chwili, po której odchylenie regulacji jest stale mniejsze od dopuszczalnych granic ±Ae. Zwykle przyjmuje się Ae = Q,05e_m, gdzie e_m jest odchyleniem maksymalnym, lub Ae=0,05e_ust, gdzie e_ust jest wartością odchylenia regulacji, jaka ustaliłaby się w układzie bez regulatora.

Przy doświadczalnym wyznaczaniu t_r trzeba często inaczej określać Ae, • gdyż we wszystkich przypadkach, kiedy e_m lub e_uat jest mniejsze od 10-f-20% zakresu pomiarowego rejestratora, wartość 0,05e_m jest mniejsza od błędu reje­stratora klasy 0,5-f-1, co nie pozwala wyznaczyć właściwie czasu t_r. Wówczas przyjmuje się Ae = 0,5% lub 1% (rzadziej 2%) zakresu zmian wielkości re­gulowanej, zależnie od wymagań technologicznych i klasy niedokładności re- • jestratora.

łfiekiedy interpretuje się czas regulacji t_r jako czas trwania przebiegu przejściowego, tzn. przyjmuje się, że układ wytracony z równowagi przez za­kłócenie zewnętrzne'osiągnie ponownie stan ustalony po czasie t_r. Interpretacja ta znajduje potwierdzenie doświadczanie, ponieważ stwierdzono, że rzeczy-. wisty czas trwania przebiegu przejściowego jest bliski wartości t_r obliczonej przy założeniu Ae=0,05e_m. Teoretycznie, przy założeniach upraszczających obowiązujących dla układów liniowych, przebieg przejściowy zanika dopiero dla t—>oo, jednak w rzeczywistości — wskutek występowania tarcia, luzów i innych zjawisk nieliniowych — przebieg ten zanika w przybliżeniu po czasie t_r.

b. Odchylenie maksymalne. Odchylenie maksymalne regulacji (dyna-, miczne) e_m określone zostało w tabl. 7.2.

c. Przeregulowanie. Przeregulowanie y, definiuje się

(7-43)

Im silniej tłumione są przebiegi oscylacyjne, tym mniejsza jest wartość «. Przeregulowanie rośnie w miarę zbliżania się do granicy stabilności, aby osią­gnąć 100% (oscylacje niegasnące) na tej granicy. Zapasy modułu i fazy mają ,m. in. na celu zabezpieczenie układu przed zbyt dużymi przeregulowaniami. ~82> przykład przy zapasie modułu 6 dB należy się spodziewać k x 20%.

d. Aperiodyczność. Przebiegi przejściowe aperiodyczne charakteryzują się brakiem oscylacji (tabl. 7.2). Można traktować je jako przypadek szcze­gólny, gdy «= 0%.

7.3.2. Wskaźniki dotyczące przebiegu charakterystyk częstotliwościowych

1. Pasmo przenoszenia. Jest to zakres częstotliwości, w którym wartości sto­sunku amplitud wyjścia do wejścia (modułu) oraz przesunięcia fazowego między wyjściem a wejściem (argumentu) utrzymane są w żądanych granicach.

Pasmo przenoszenia można wyznaczyć dysponując charakterystyką często­tliwościową danego elementu lub układu (zamkniętego). Na rysunku 7.23 po­kazano to dla dwóch postaci charakterystyki częstotliwościowej: charaktery­styki amplitudowo-fazowej oraz logarytmicznych charakterystyk amplitudo­wej i fazowej. ^k

Rys. 7.23. Wyznaczanie pasma przenoszonego O < oj < ai_a, w którym, spełnione są jednocześnie warunki — y, < <p(io) < <p_Ł oraz M, < 31 (co) < 1^ (lub X₂ < L (co) < JDJ

W warunkach technicznych dla niektórych elementów lub układów (zwłaszcza serwomechanizmów) pasmo przenoszenia jest narzucone. Warunki te mogą być sformułowane np. w następujący sposób:

Zaprojektować układ (element), który w zakresie częstotliwości do 20 Hz spełniać będzie warunki:

a) Jf (co) = (0,7—1,4) 3I_st lub, co jest równoważne,

£(w) = ist±3dB;

b) |<p(w)| < 45°, gdzie JJf_Bt — statyczny stosunek amplitud wyjścia do wejścia, L_ai = 201og J}f_st.

Zadanie projektanta będzie w tym przypadku polegać na takim doborze struktury i parametrów układu, aby charakterystyki częstotliwościowe układu spełniały wymienione warunki.

____„, ujjaauom automatyki

Maksymalna wartość modułu M_r charakterystyki częstotliwościowej układu zamkniętego, odpowiadająca częstotliwości rezonansowej w_r, stanowi pewną miarę zapasu stabilności układu. Zwykle wymaga się, aby

lub ^{>st < Mr}

przy czym L_r = 20 log M_r.

Znajomość charakterystyki częstotliwościowej (minimalno-fazowej) pozwala również wyznaczyć przebieg odpowiedzi y (t) na wymuszenie skokowe. Opiera­jąc się na, odwrotnym przekształceniu Fouriera otrzymamy zależność anali­tyczną w postaci

\ 2 "r P (to) .

y(t) = -\ -------smcatAa,, (7.49)

•k J a> o

gdzie P(a>) jest składową rzeczywistą charakterystyki częstotliwościowej. Praktyczne obliczanie tej całki polega na aproksymowaniu funkcji P(a>) od­cinkami prostymi i wykorzystaniu tablic całek sinusowych. Szczegółowe za­sady postępowania znaleźć można w książce [17], natomiast ogólne wnioski o związkach charakterystyki częstotliwościowej z odpowiedzią skokową wyni­kające ze wzoru (7.49) można ująć w dwóch punktach:

a) fc-krotne zwiększenie skali rzędnych P(w} powoduje takie samo zwięk­szenie skali rzędnych y (t),

b) &-krotne zwiększenie skali odciętych ca powoduje £- krotne zmniejsze­nie skali odciętych t; znaczy to, że odpowiedzi układu są tym szybsze, im szersze jest pasmo częstotliwości przenoszonych przez układ.

Wnioski te zostały zilustrowane przykładami na rys. 7.24. 2. Wskaźnik regulacji.

e(jo>) (z regulatorem)

^?(JCU)=V(J_W) (bez regulatora)' ⁽⁷'⁵⁰⁾

gdzie e jest odchyleniem regulacji.

'Wskaźnik ten dobrze charakteryzuje osiąganą w układzie, dzięki zastoso­waniu regulatora, kompensację zakłóceń działających na obiekt regulacji oraz własności nadążne układu. Jeżeli wartości \g_(](o}\ dla kilku częstotliwości są narzucone, można określić obszar, w którym musi leżeć charakterystyka ampli­tudowa układu otwartego, aby projektowany układ spełniał te wymagania. Bliższe omówienie sposobu posługiwania się wskaźnikiem regulacji przy projektowaniu podano w rozdz. 8.

ll

Eys. 7.24. Związki pomiędzy składową rzeczywista P (co) charakterystyki częstotliwościowej

i odpowiedzią skokową y (t)

7.3.3. Całkowe wskaźniki jakości

Jakość dynamiczną układu regulacji oceniać można na podstawie wielkości pola regulacji, tzn. pola zawartego pomiędzy krzywą odchylenia regulacji i asymptotą, do której dąży ta krzywa (rys. 7.25). Im mniejsze jest to pole, tym lepsza jest jakość dynamiczna układu (lepsza w sensie ogólnym, gdyż nie wszystkie wskaźniki jakości omówione w punktach 7.3.1 ł 7.3.2 muszą być lepsze). Podejście takie ma również interpretację ekonomiczną, gdyż często straty są prostą funkcją wielkości i czasu trwania odchylenia regulacji, a celem sterowania jest minimalizacja tych strat.

Zależnie od rodzaju układu i spodziewanego charakteru'przebiegów przej­ściowych, oblicza się jeden z następujących wskaźników:

a) dla przebiegów aperiodycznych, w których lim e (t) = O,

(7.51)

b) dla przebiegów aperiodycznych, w których lim e (t) = e_st,

<-«0

oo

Ab = P» = / [«.t- e(t)]dt , o

c) dla przebiegów oscylacyjnych, w których lime(i) = O,

l-UX> 00 OO

I«„_a = J e²(«)d« = - J e²(jo>)da> , o "o

d) dla przebiegów oscylacyjnych, w których lime(«) = e_st,

13

(7.52)

(7.53)

(7.54)

Rys. 7.25. Pole regulacji przy różnych rodzajach przebiegów przejściowych

Wskaźniki I₁₀ i I_lb reprezentują odpowiednie pola zakreskowane na rys. 7.25, natomiast 7_2a i J^, kwadrat rzędnych tego pola (liczenie pola prowadziłoby do błędnych wyników, ze względu na odejmowanie się pól położonych nad i pod asymptotą).

Jeżeli transformata odchylenia regulacji ma postać

(7.55)

to wartości wskaźników I_2a określone są za pomocą wyrażeń: dla n = l

I₂₀=-^-, (7.56)

dla n = 2

dla n = 3

*_2e₀c₂) + —e* |

^- . (7.5l)

203(0! a„—00*3) Stosowane są również wskaźniki całkowe, zdefiniowane wzorami:

(7.59) (7.60)

W ostatnich dwóch przypadkach brak jest prostych związków wskaźników jakości z transformatami odchylenia regulacji.

TV przypadku typowych układów regulacji istnieje przybliżona odpowied-niość pomiędzy wskaźnikami dotyczącymi cech odpowiedzi skokowej a całko­wymi •wskaźnikami jakości. !N"a przykład, minimum J_t jest równoważne z naj­krócej trwającym przebiegiem aperiodycznym, minimum J_1Jm odpowiada k ^20%, <_rmin, natomiast minimum /„"odpowiada przypadkowi x w 45%,

	8
		Wykład Podstawy Automatyki dr inż. Krzysztof Przystupa

---