PORÓWNANIE KRYTERIÓW STABILNOŚCI
Omówiono trzy najczęściej stosowane kryteria stabilności. Kryteria Hurwitza i Michajłowa można stosować tylko wtedy, kiedy znamy opis matematyczny układu, natomiast kryterium Nyquista również w tych przypadkach, kiedy dysponujemy doświadczalnie wyznaczonymi charakterystykami częstotliwościowymi układu otwartego (opis matematyczny poszczególnych elementów może nie być znany).
Kryterium Hurwitza jest bardzo proste i wygodne w zastosowaniu do układów opisywanych równaniami niższych stopni. Za pomocą tego kryterium można sprawdzić stabilność układu o wszystkich współczynnikach danych, jak i wyznaczyć zakresy (obszary) zmienności niektórych współczynników zapewniające stabilność. Wadą kryterium jest brak możliwości wyznaczenia zapasu stabilności oraz utrudniona jest ocena wpływu poszczególnych parametrów układu na stabilność.
Kryterium Michajłowa umożliwia już przybliżoną ocenę zapasu stabilności (ale nie ujętą ilościowo; o zapasie stabilności może świadczyć najmniejsza odległość krzywej charakterystycznej od początku układu współrzędnych). Łatwiejsze jest również określenie wpływu poszczególnych parametrów układu na stabilność. Natomiast nie można analizować wpływu dodania elementów korekcyjnych do układu.
Największe znaczenie ma kryterium Nyquista, które umożliwia nie tylko łatwe sprawdzenie stabilności oraz wyznaczenie zapasów modułu i fazy, lecz pozwala również projektantowi na dokładną, ocenę wpływu poszczególnych parametrów układu na stabilność oraz na kształtowanie własności układu przez dobór określonych wartości tych parametrów lub przez dodanie elementów korekcyjnych.
DOKŁADNOŚĆ STATYCZNA
Wymagania dotyczące dokładności statycznej układów formułowane są zwykle w postaci podania dopuszczalnych wartości odchylenia regulacji (sterowania) w stanie ustalonym,
. Odchylenie
nazywa się często krócej odchyleniem statycznym, błędem statycznym lub uchybem statycznym.
Schemat blokowy układu zamkniętego
Rozpatrzymy układ automatyki złożony z obiektu o transmitancji operatorowej
i regulatora o transmitancji Gr(s) (rys.). Jeżeli wpływ zakłóceń z i wartości zadanej w można rozpatrywać oddzielnie, co zwykle ma miejsce, to odchylenie statyczne jest sumą dwóch składowych:
gdzie:
- odchylenie wywołane zakłóceniami,
- odchylenie wywołane zmianą wartości zadanej.
Wartości dopuszczalne
i
określa się oddzielnie, w jednostkach wielkości wyjściowej y albo w procentach od wartości ymas lub wmax:,
,
Liczby
i
są procentowo wyrażonymi warunkami na dokładność statyczną układu. Jeżeli np. w układzie regulacji temperatury maksymalna wartość wielkości regulowanej
i żądany
, to dopuszczalna wartość odchylenia statycznego wywołanego zakłóceniami będzie:
Często odchylenie
jest równe jednej ze składowych, np. we wszystkich układach regulacji stałowartościowej
i
, mamy więc
Jeżeli opis matematyczny układu podany jest w formie operatorowej, to wartości
i
oblicza się na podstawie twierdzenia o wartości końcowej. Dla układu o postaci przedstawionej na rysunku otrzymamy:
Jeżeli zakłócenia z wchodzą w innym miejscu do układu, niż to pokazano na . 7.20, to zmienia się transmitancja występująca w liczniku wzoru (7.40). Zależności (7.40) i (7.41) pozwalają ocenić wpływ typu i nastaw regulatora dokładność statyczną układu. Bardzo interesujące jest zwłaszcza porówna-
odchyleń statycznych, które wystąpią w układzie podprowadzeniu skoko-
o zakłócenia, w następujących przypadkach: a) bez regulatora, jb) z regulatorem P,
f
V \ Schematy, blokowe układu odpowiadające tym przypadkom przedstawiono
—* owiednio na rys. 7.21 a-f-c. Przyjęto, że obiekt jest elementem inercyjnym
z regulatorem PI.
ransmitancji (?0b(s) = ^/(^s+l). Na rysunku pominięto węzeł sumacyjny y— w (rys. 7.20), ponieważ wartość zadana jest stała (w0 = const) i jej hyłM są równe zeru:
w= O . zatem
'A l
. ' est = ezst = 3/st •
Ukłądiając, że we. wszystkich przypadkach wprowadzono zakłócenie sko-o wartości zflt, a więc
na podstawie zależności (7.40) obliczamy:
a) ezst =- yflt = lim sy(s) = lim s •••• - z(s), .-»o «-h> -i s-f-J.
2/St = fc«
(7.42)
o)
b)
c)
>\ » |
* |
J |
/ |
r |
Tś+1 |
|
|
|
|
|
|
|
t fl4- ' ^ |
^ |
|
|
W+ TiS) |
|
|
Kya. 7.21. Schematy tłokowe układu: a) bez regulatora, b) z regulatorem P, o) z regulatorem PI
fc
b) eZflt = ł/et •= lim sy(s) = lim s-
»-H) «-»0
Ts+l
"*
*(«) >
2/Bt =
•Ąit,
p
fc
(7.43)
c)
lims;i/(s) = lims-------—
»->0 »-*« t . »
3/81
3/at = O .
w
180 7. Wymagania stawiane układom automatyki .•''•:••
Otrzymane wyniki pozwalają na sformułowanie następujących wniosków:
1. Zwiększenie wzmocnienia, proporcjonalnego TcP regulatora P zmniejsza odchylenie statyczne.
2. Działanie całkujące regulatora usuwa zupełnie odchylenie statyczne (e8t= O w przypadku zastosowania regulatora I, PI lub PID).
Wniosek 2 nie jest w rzeczywistości ścisły, ponieważ istniejące zawsze stref nieczułości przetwornika pomiarowego i bloku porównującego regulatora ora^ niedokładność przetwornika pomiarowego powodują pozostanie pewnego od chylenia statycznego, mimo obecności działania całkującego w regulator? •. (regulator nie może usunąć tego odchylenia, gdyż o nim „nie wie") Aby to odchylenie było jak najmniejsze, wymaga się często od przetworników pomiarowych i bloku porównującego klasy, niedokładności 0,5, a nawet 0,2.
Należy zwrócić uwagę, że zmniejszenie odchylenia statycznego do żądanej i \. wartości przez zwiększenia ~kv (wzór 7.43) zwykle nie jest możliwe ze względu \na warunki stabilności układu (por. wnioski punktu 7.1.4). W układach z regu-• Kktorem P dobór wzmocnienia kp, który w zadowalający sposób rozwiąże dylemat dokładność-stabilność, jest podstawowym zadaniem projektanta. Najczęściej jednak jednoczesne spełnienie wymagań dotyczących dokładności statycznej i stabilności jest możliwe dopiero przez zastosowanie regulatorów ; , z działaniem I oraz D, a w trudniejszych przypadkach —• przez włączenie dodatkowych elementów korekcyjnych do układu.
Przeprowadzona analiza odchyleń statycznych występujących w układzie po wprowadzeniu zakłócenia skokowego (lub innego zakłócenia osiągającego określoną, stałą wartość) jest wystarczająca dla układów regulacji, których zadaniem jest utrzymywanie wielkości regulowanej na wybranym poziomie, stałym lub zmieniającym się powolnie według ustalonego programu. JSTatomiast szerszego omówienia wymaga zagadnienie dokładności statycznej serwomechanizmów, których zadaniem jest takie sterowanie wielkością wyjściową y, aby nadążała ona za zmieniającym się szybko, często w sposób nieokreślony, sygna-; łem w(t). Typowe są wówczas wymuszenia liniowo lub potęgowo narastające, tzn. o stałej prędkości, przyspieszeniu itd.
Dla uogólnienia rozważań podzielimy układy regulacji (sterowania) podobnie jak obiekty, na statyczne i astatyczne. W układach statycznych nie ma żadnych elementów całkujących, natomiast w układach astatycznych występuje zawsze jeden taki element lub większa ich liczba. Układ zamknięty jest nazywany układem z astatyzmem Z-tego rzędu, Jeżeli układ otwarty zawiera l szeregowo połączonych elementów całkujących, tzn. jeżeli jego transmitancję można przedstawić w postaci
M(s) ____
W = ?
przy czym lim M (s) = ]imN(s).
s-*0 *-»o
•j', Do określenia wartości odchyleń (uchybów) statycznych dogodnie jest s skorzystać z rozwinięcia przebiegu e (t) w szereg według pochodnych wyma-«/ szenia w (t)
v1
(7.46)
gdzie stałe 00, Ct...., d,... nazywane są współczynnikami uchybu i mogą \ być wyznaczone jako pochodne transmitancji uchybowej <?(s) = «(s)/w{s):
(7.47)
w |
t y w' wit) /~~\ "y |
" ' 1 w(t) /*~\ *' |
|
|
/ v^- ---- — Mti -S > * |
L ^ ' |
|
Rys. 7.22. Odpowiedzi na wymuszenie skokowe i liniowo narastające układów: a) statycznych
b) astatycznych pierwszego rzędu
W układach z astatyzmem l -tego rzędu współczynniki C„ Oit ..., C,_t równe zeru, a dopiero współczynnik Ct ma wartość różną od zera;
Można więc powiedzieć, że układ z astatyzmem l -tego rzędu odtwarza bez odcl nią (uchybu) statycznego tylko te, wymuszenia, których pochodne począwsz l -tej są dla, dostatecznie dużych czasów równe zeru. 3$a> przykład, w przyp wymuszenia liniowo narastającego w (t) = at dla uzyskania est = O koni
jest astatyzm drugiego rzędu, w przypadku wymuszenia parabolicznego w (t) — •, == at2 — astatyzm trzeciego rzędu itd. Łatwo zauważyć, że wymagania te są niemożliwe do spełnienia bez wprowadzenia specjalnych członów korekcyjnych przyspieszających fazę, gdyż już dwa człony całkujące połączone szeregowo wprowadzają przesuniecie fazowe —180° i układ staje się strukturalnie niestabilny.
Na rysunku 7.22 przedstawiono przykładowe wykresy odpowiedzi układów statycznych i astatycznych pierwszego rzędu na wymuszenia skokowe i liniowo narastające. '
i Należy zaznaczyć, że w przypadku wymuszeń wprowadzanych na wejście '• obiektu, tzn. z(t) według rys. 7.1, do spełnienia podanych wyżej warunków koniecznych dla uzyskania est= O działanie całkujące musi być zlokalizowane w regulatorze, a nie w obiekcie.
7.3. Jakość dynamiczna
Dla zapewnienia określonych własności dynamicznych układu nie wystarcza •wymaganie stabilności. Jeżeli układ jest stabilny, to wiemy jedynie, że przebiegi przejściowe w tym układzie zanikpją, nie znamy jednak tak istotnych dla zastosowań praktycznych własności, jak rodzaj przebiegów, wartości od-chyleń maksymalnych, czas zanikania przebiegów przejściowych czy pasmo . częstotliwości, w którym zachodzi odtwarzanie sygnałów wymuszających z zadaną dokładnością. Wszystkie te własności składają się łącznie na pojęcie jakości dynamicznej.
Jakość dynamiczną określa się za pomocą szeregu wskaźników, odnoszących się do poszczególnych cech przebiegu przejściowego lub charakterystyk częstotliwościowych, bądź", za pomocą wskaźników całkowych umożliwiających przybliżoną ocenę całego przebiegu przejściowego, a nie jednej z jego odręb-nych cech.
•
7.3.1. Wskaźniki dotyczące cech odpowiedzi skokowej
Oznaczenia potrzebne do zdefiniowania tych wskaźników podano w tabl. 7.2, i wyróżniając dwa przypadki (porównaj rys. 7.20):j
1) wymuszenie skokowe na wejściu obiektu
z(t) = zati(t),
2) wymuszenie skokowe na wejściu regulatora (najczęściej zmiana wartości zadanej)
w(t)
Uwzględniono również typ regulatora; w układach z regulatorami asta-tycznymi (tzn. zawierającymi działanie całkujące) odchylenie statyczne eBt = O, natomiast w układach z regulatorami statycznymi (bez działania całkującego) esi ¥= 0.
a. Czas regulacji. Podczas przebiegu przejściowego, następującego po-zakłóceniu, odchylenie regulacji e zmienia się według jednej z krzywych podanych w tabl. 7.2. Czasem regulacji tr nazywamy czas liczony od chwili przyłożenia wymuszenia do chwili, po której odchylenie regulacji jest stale mniejsze od dopuszczalnych granic ±Ae. Zwykle przyjmuje się Ae = Q,05em, gdzie em jest odchyleniem maksymalnym, lub Ae=0,05eust, gdzie eust jest wartością odchylenia regulacji, jaka ustaliłaby się w układzie bez regulatora.
Przy doświadczalnym wyznaczaniu tr trzeba często inaczej określać Ae, • gdyż we wszystkich przypadkach, kiedy em lub euat jest mniejsze od 10-f-20% zakresu pomiarowego rejestratora, wartość 0,05em jest mniejsza od błędu rejestratora klasy 0,5-f-1, co nie pozwala wyznaczyć właściwie czasu tr. Wówczas przyjmuje się Ae = 0,5% lub 1% (rzadziej 2%) zakresu zmian wielkości regulowanej, zależnie od wymagań technologicznych i klasy niedokładności re- • jestratora.
łfiekiedy interpretuje się czas regulacji tr jako czas trwania przebiegu przejściowego, tzn. przyjmuje się, że układ wytracony z równowagi przez zakłócenie zewnętrzne'osiągnie ponownie stan ustalony po czasie tr. Interpretacja ta znajduje potwierdzenie doświadczanie, ponieważ stwierdzono, że rzeczy-. wisty czas trwania przebiegu przejściowego jest bliski wartości tr obliczonej przy założeniu Ae=0,05em. Teoretycznie, przy założeniach upraszczających obowiązujących dla układów liniowych, przebieg przejściowy zanika dopiero dla t—>oo, jednak w rzeczywistości — wskutek występowania tarcia, luzów i innych zjawisk nieliniowych — przebieg ten zanika w przybliżeniu po czasie tr.
b. Odchylenie maksymalne. Odchylenie maksymalne regulacji (dyna-, miczne) em określone zostało w tabl. 7.2.
c. Przeregulowanie. Przeregulowanie y, definiuje się
(7-43)
Im silniej tłumione są przebiegi oscylacyjne, tym mniejsza jest wartość «. Przeregulowanie rośnie w miarę zbliżania się do granicy stabilności, aby osiągnąć 100% (oscylacje niegasnące) na tej granicy. Zapasy modułu i fazy mają ,m. in. na celu zabezpieczenie układu przed zbyt dużymi przeregulowaniami. ~82> przykład przy zapasie modułu 6 dB należy się spodziewać k x 20%.
d. Aperiodyczność. Przebiegi przejściowe aperiodyczne charakteryzują się brakiem oscylacji (tabl. 7.2). Można traktować je jako przypadek szczególny, gdy «= 0%.
7.3.2. Wskaźniki dotyczące przebiegu charakterystyk częstotliwościowych
1. Pasmo przenoszenia. Jest to zakres częstotliwości, w którym wartości stosunku amplitud wyjścia do wejścia (modułu) oraz przesunięcia fazowego między wyjściem a wejściem (argumentu) utrzymane są w żądanych granicach.
Pasmo przenoszenia można wyznaczyć dysponując charakterystyką częstotliwościową danego elementu lub układu (zamkniętego). Na rysunku 7.23 pokazano to dla dwóch postaci charakterystyki częstotliwościowej: charakterystyki amplitudowo-fazowej oraz logarytmicznych charakterystyk amplitudowej i fazowej. k
Rys. 7.23. Wyznaczanie pasma przenoszonego O < oj < aia, w którym, spełnione są jednocześnie warunki — y, < <p(io) < <pŁ oraz M, < 31 (co) < 1^ (lub X2 < L (co) < JDJ
W warunkach technicznych dla niektórych elementów lub układów (zwłaszcza serwomechanizmów) pasmo przenoszenia jest narzucone. Warunki te mogą być sformułowane np. w następujący sposób:
Zaprojektować układ (element), który w zakresie częstotliwości do 20 Hz spełniać będzie warunki:
a) Jf (co) = (0,7—1,4) 3Ist lub, co jest równoważne,
£(w) = ist±3dB;
b) |<p(w)| < 45°, gdzie JJfBt — statyczny stosunek amplitud wyjścia do wejścia, Lai = 201og J}fst.
Zadanie projektanta będzie w tym przypadku polegać na takim doborze struktury i parametrów układu, aby charakterystyki częstotliwościowe układu spełniały wymienione warunki.
____„, ujjaauom automatyki
Maksymalna wartość modułu Mr charakterystyki częstotliwościowej układu zamkniętego, odpowiadająca częstotliwości rezonansowej wr, stanowi pewną miarę zapasu stabilności układu. Zwykle wymaga się, aby
lub >st < Mr
przy czym Lr = 20 log Mr.
Znajomość charakterystyki częstotliwościowej (minimalno-fazowej) pozwala również wyznaczyć przebieg odpowiedzi y (t) na wymuszenie skokowe. Opierając się na, odwrotnym przekształceniu Fouriera otrzymamy zależność analityczną w postaci
\ 2 "r P (to) .
y(t) = -\ -------smcatAa,, (7.49)
•k J a> o
gdzie P(a>) jest składową rzeczywistą charakterystyki częstotliwościowej. Praktyczne obliczanie tej całki polega na aproksymowaniu funkcji P(a>) odcinkami prostymi i wykorzystaniu tablic całek sinusowych. Szczegółowe zasady postępowania znaleźć można w książce [17], natomiast ogólne wnioski o związkach charakterystyki częstotliwościowej z odpowiedzią skokową wynikające ze wzoru (7.49) można ująć w dwóch punktach:
a) fc-krotne zwiększenie skali rzędnych P(w} powoduje takie samo zwiększenie skali rzędnych y (t),
b) &-krotne zwiększenie skali odciętych ca powoduje £- krotne zmniejszenie skali odciętych t; znaczy to, że odpowiedzi układu są tym szybsze, im szersze jest pasmo częstotliwości przenoszonych przez układ.
Wnioski te zostały zilustrowane przykładami na rys. 7.24. 2. Wskaźnik regulacji.
e(jo>) (z regulatorem)
?(JCU)=V(JW) (bez regulatora)' (7'50)
gdzie e jest odchyleniem regulacji.
'Wskaźnik ten dobrze charakteryzuje osiąganą w układzie, dzięki zastosowaniu regulatora, kompensację zakłóceń działających na obiekt regulacji oraz własności nadążne układu. Jeżeli wartości \g_(](o}\ dla kilku częstotliwości są narzucone, można określić obszar, w którym musi leżeć charakterystyka amplitudowa układu otwartego, aby projektowany układ spełniał te wymagania. Bliższe omówienie sposobu posługiwania się wskaźnikiem regulacji przy projektowaniu podano w rozdz. 8.
ll
Eys. 7.24. Związki pomiędzy składową rzeczywista P (co) charakterystyki częstotliwościowej
i odpowiedzią skokową y (t)
7.3.3. Całkowe wskaźniki jakości
Jakość dynamiczną układu regulacji oceniać można na podstawie wielkości pola regulacji, tzn. pola zawartego pomiędzy krzywą odchylenia regulacji i asymptotą, do której dąży ta krzywa (rys. 7.25). Im mniejsze jest to pole, tym lepsza jest jakość dynamiczna układu (lepsza w sensie ogólnym, gdyż nie wszystkie wskaźniki jakości omówione w punktach 7.3.1 ł 7.3.2 muszą być lepsze). Podejście takie ma również interpretację ekonomiczną, gdyż często straty są prostą funkcją wielkości i czasu trwania odchylenia regulacji, a celem sterowania jest minimalizacja tych strat.
Zależnie od rodzaju układu i spodziewanego charakteru'przebiegów przejściowych, oblicza się jeden z następujących wskaźników:
a) dla przebiegów aperiodycznych, w których lim e (t) = O,
(7.51)
b) dla przebiegów aperiodycznych, w których lim e (t) = est,
<-«0
oo
Ab = P» = / [«.t- e(t)]dt , o
c) dla przebiegów oscylacyjnych, w których lime(i) = O,
l-UX> 00 OO
I«„a = J e2(«)d« = - J e2(jo>)da> , o "o
d) dla przebiegów oscylacyjnych, w których lime(«) = est,
13
(7.52)
(7.53)
(7.54)
Rys. 7.25. Pole regulacji przy różnych rodzajach przebiegów przejściowych
Wskaźniki I10 i Ilb reprezentują odpowiednie pola zakreskowane na rys. 7.25, natomiast 72a i J^, kwadrat rzędnych tego pola (liczenie pola prowadziłoby do błędnych wyników, ze względu na odejmowanie się pól położonych nad i pod asymptotą).
Jeżeli transformata odchylenia regulacji ma postać
(7.55)
to wartości wskaźników I2a określone są za pomocą wyrażeń: dla n = l
I20=-^-, (7.56)
dla n = 2
dla n = 3
*_2e0c2) + —e* |
^- . (7.5l)
203(0! a„—00*3) Stosowane są również wskaźniki całkowe, zdefiniowane wzorami:
(7.59) (7.60)
W ostatnich dwóch przypadkach brak jest prostych związków wskaźników jakości z transformatami odchylenia regulacji.
TV przypadku typowych układów regulacji istnieje przybliżona odpowied-niość pomiędzy wskaźnikami dotyczącymi cech odpowiedzi skokowej a całkowymi •wskaźnikami jakości. !N"a przykład, minimum Jt jest równoważne z najkrócej trwającym przebiegiem aperiodycznym, minimum J1Jm odpowiada k ^20%, <rmin, natomiast minimum /„"odpowiada przypadkowi x w 45%,
|
8 |
|
Wykład |